Bài toán số phức phát triển đề tham khảo môn toán 2023 câu 35 42 45

Bài toán số phức phát triển đề tham khảo môn toán 2023 câu 35 42 45

 

Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2i \right|=1$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. $\left( 0;2 \right)$.       B. $\left( -2;0 \right)$.       C. $\left( 0;-2 \right)$.       D. $\left( 2;0 \right)$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$.

Từ giả thiết $\left| z+2i \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1$.

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( 0;-2 \right)$, bán kính $R=1$.

Câu 2. Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $\left| z-2+5i \right|=4$ một đường tròn tâm $I$, bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là

A. $I(2;-5),$ $R=2.$       B. $I(-2;5),$ $R=4.$       C. $I(2;-5),$ $R=4.$       D. $I(0;0),$ $R=2.$

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }(x,{ }y\in \mathbb{R})$.

Ta có $\left| z-2+5i \right|=4$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=16$

Đây là đường tròn tâm $I\left( 2;-5 \right);R=4$.

Câu 3. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$ là một đường tròn có tâm $I$ và bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là

A. $I(-3;-2),R=5.$       B. $I(3;-2),R=5.$       C. $I(3;2),R=5.$       D. $I(-3;2),R=5.$

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }(x,{ }y\in \mathbb{R})$.

Ta có $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow \left| x-yi-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=25$

Đây là đường tròn tâm $I\left( 3;2 \right);R=5$.

Câu 4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2$ là

A. đường tròn tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=2$.       B. đường tròn tâm $I\left( -1;-2 \right)$, bán kính $R=2$.       C. đường tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=2$.       D. đường tròn tâm $I\left( 1;-2 \right)$, bán kính $R=2$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi;\left( x,y\in R \right)$

Khi đó: $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)+\left( -y+2 \right)i \right|=2$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( -y+2 \right)}^{2}}}=2$

$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=2$.

Câu 5. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w=\bar{z}+i$  là  một đường tròn. Tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó là

A. $I\left( 0;\,1 \right)$.       B. $I\left( 0;\,-1 \right)$.       C. $I\left( -1;\,0 \right)$.       D. $I\left( 1;\,0 \right)$.

Lời giải:

Ta có $\left| {\bar{z}} \right|=\left| z \right|=5$.

Từ $w=\bar{z}+i\Rightarrow w-i=\bar{z}\Rightarrow \left| w-i \right|=\left| {\bar{z}} \right|\Rightarrow \left| w-i \right|=5$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( 0;\,1 \right)$.

Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa $\left| z-1+2i \right|=3$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=2z+i$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là một đường tròn. Tọa độ tâm của đường tròn đó là

A. $I\left( 2;-3 \right)$.       B. $I\left( 1;1 \right)$.       C. $I\left( 0;1 \right)$.       D. $I\left( 1;0 \right)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

Ta có $w=2z+i\Leftrightarrow z=\frac{w-i}{2}$.

Do đó $\left| z-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| \frac{w-i}{2}-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| w-2+3i \right|=6$ $\Leftrightarrow MI=6$, với $I\left( 2;-3 \right)$.

Do đó tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I\left( 2;-3 \right)$ và bán kính $R=6$.

Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$ là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. $I\left( 1;1 \right)$.       B. $I\left( 0\,;\,-1 \right)$.       C. $I\left( 0;1 \right)$.       D. $I\left( -1;0 \right)$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Ta có $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$.

$\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( 1+i \right)\left( x+yi \right) \right|$$\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( x-y \right)+\left( x+y \right)i \right|$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-1=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm $\left( 0\,;\,-1 \right)$.

Câu 8. Trong mặt phẳng tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-2i \right|=3$ là

A. đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=9$.       B. đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$.

C. đường tròn tâm $I(-1;-2)$, bán kính $R=3$.       D. đường thẳng có phương trình $x+2y-3=0$.

Lời giải:

Giả sử điểm $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$. Ta có:

$\left| z-1-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| (x-1)+(y-2)i \right|=3\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9$

Vậy điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$.

Câu 9. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức $z$ là

A. đường thẳng $3x+y+1=0$.       B. đường thẳng $3x-y+1=0$.

C. đường thẳng $3x+y-1=0$.       D. đường thẳng $3x-y-1=0$.

Lời giải:

Giả sử số phức $z$ có dạng: $z=x+yi\,\,\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

Ta có: $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-1+i \right|=\left| x+yi+2 \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| \left( x+2 \right)+yi \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1={{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}$

$\Leftrightarrow 6x-2y+2=0\Leftrightarrow 3x-y+1=0$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $3x-y+1=0$.

Câu 10. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $\left| z-2i \right|=3$ là đường tròn tâm $I.$ Tất cả giá trị $m$ thỏa mãn khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x+4y-m=0$ bằng $\frac{1}{5}$ là:

A. $m=-7;m=9$.       B. $m=-8;m=8$.       C. $m=7;m=9$.       D. $m=8;m=9$.

Lời giải:

$\left| z-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| x+\left( y-2 \right)i \right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow I\left( 0;2 \right)$

$d\left( I,\Delta  \right)=\frac{\left| 3.0+4.2-m \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{1}{5}\left| 8-m \right|$

$d\left( I,\Delta  \right)=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{5}\left| 8-m \right|=\frac{1}{5}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 8-m=1 \\ & 8-m=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=7 \\ & m=9 \\ \end{align} \right.$

Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-i \right|=1$ là

A. đường tròn tâm $A\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=1$.       B. đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=2$.       C. đường thẳng $y=1$.       D. đường thẳng $x=1$.

Lời giải:

Giả sử: $z=x+yi,z-i=x+\left( y-1 \right)i$ nên $\left| z-i \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\,\,\,\left( 1 \right)$

Như vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z=x+yi$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=1$ nằm trên đường tròn tâm $A\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=1$.

Câu 12. Cho số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x+6y$. Giá trị của $m+M$ bằng

A. $44-20\sqrt{10}$.       B. $\frac{9}{5}$.       C. $60-20\sqrt{10}$.       D. $52-20\sqrt{10}$.

Lời giải:

Gọi $N\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$.

Ta có $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\le 0$;

$\left| z-2+i \right|\le 5$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\le 25$ (hình tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$ bán kính $r=5$);

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$ thuộc miền $\left( T \right)$ (xem hình vẽ với $A\left( -2;2 \right),B\left( 2;-6 \right)$ ).

Ta có $P+25={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}$ $\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}=NJ$ (với $J\left( -4;-3 \right)$).

Bài toán trở thành tìm điểm $N$ thuộc miền $\left( T \right)$ sao cho $NJ$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta có $IJ-r\le NJ\le JB\Leftrightarrow 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\Leftrightarrow 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của đường thẳng $JI$ với đường tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$ bán kính $r=5$ và $NJ=2\sqrt{10}-5$.

$P$ đạt giá trị lớn nhất khi $N\equiv B$.

Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$.

Câu 13. Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2i|+|z+5-2i|=5$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|$ tương ứng là $a$ và $b$. Giá trị của $T=a+b$ bằng

A. $\sqrt{37}+2\sqrt{5}$.       B. $\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$.       C. $\sqrt{37}+2\sqrt{10}$.       D. $2\sqrt{13}+4\sqrt{5}$.

Lời giải:

Ta gọi điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ và điểm $A(0;2),B(-5;2)\Rightarrow AB=5$.

Suy ra $|z-2i|+|z+5-2i|=5\Leftrightarrow MA+MB=AB$. Do đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.

Gọi điểm $C(1;3),D(2;1)$. Suy ra, biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|=MC+MD$, với $M$ nằm trên đoạn $AB$.

Ta có $M$ trùng với $A$ thì giá trị của biểu thức $T$ đạt nhỏ nhất.

Suy ra ${{T}_{\min }}=AC+AD=\sqrt{2}+\sqrt{5}=b$ khi $M\equiv A$.

Giá trị của biểu thức $T$ lớn nhất khi điểm $M$ trùng với điểm $B$.

Suy ra ${{T}_{\max }}=BC+BD=\sqrt{37}+5\sqrt{2}=a$ khi $M\equiv B$.

Vậy $(a+b)=\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$.

Câu 14. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2?$

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có: ${\Delta }'={{(2m-1)}^{2}}-{{m}^{2}}=3{{m}^{2}}-4m+1$

TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow \frac{1}{3}<m<1.$

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$

Suy ra: $|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}=2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=-1 \\ \end{align} \right..$ (Không thỏa)

TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>1 \\ & m<\frac{1}{3} \\ \end{align} \right..$

Vì  nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt  hoặc

${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{(\left| {{z}_{1}}|+|{{z}_{2}} \right|)}^{2}}-2|{{z}_{1}}||{{z}_{2}}|=2$ $\Leftrightarrow {{\left| 4m-2 \right|}^{2}}-2{{m}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow 7{{m}^{2}}-8m+1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=\frac{1}{8} \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $m=\frac{1}{8}$ thỏa mãn. Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 15. Trên tập hợp số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ có nghiệm thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Khi đó $S$ bằng

A. 20.       B. 14.       C. 12.       D. 8.

Lời giải:

Xét phương trình: $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ $\left( * \right)$.

Ta có ${\Delta }'=9-9\left( 1-m \right)=9m$

Trường hợp 1: Nếu $\left( * \right)$ có nghiệm thực $\Leftrightarrow {\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow m\ge 0$.

$\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=1 \\ & z=-1 \\ \end{align} \right.$.

Với $z=1\Rightarrow m=16$ (thỏa mãn).

Với $z=-1\Rightarrow m=4$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $\left( * \right)$ có nghiệm phức $z=a+bi\,\left( b\ne 0 \right)$ $\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow m<0$.

Nếu $z$ là một nghiệm của phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ thì $\bar{z}$ cũng là một nghiệm của phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$.

Ta có $\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow z.\,\overline{z}=1\Leftrightarrow \frac{c}{a}=1\Leftrightarrow \frac{1-m}{9}=1\Leftrightarrow m=-8$ (thỏa mãn).

Vậy tổng các giá trị thực của $m$ bằng 12.

Câu 16. Cho phương trình $m{{z}^{2}}-4mz+n=0\,\,(m\ne 0,(m,n)=1)$ có hai nghiệm phức. Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều (với $O$ là gốc tọa độ). Khi đó

A. $m=3;n=16$.       B. $m=16;n=3$.       C. $m=3;n=-16$.       D. $m=16;n=-3$.

Lời giải:

Ta có: $m{{z}^{2}}-4mz+n=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}-4z+\frac{n}{m}=0$(*)

(*) có hai nghiệm phức$\Leftrightarrow $ ${\Delta }'=4-\frac{n}{m}=k<0$.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức: ${{z}_{1}}=2+\sqrt{k}\,i$; ${{z}_{2}}=2-\sqrt{k}\,i$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{z}_{1}};\,{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:

$A\left( 2\,;\,\sqrt{k} \right)$; $B\left( 2\,;\,-\sqrt{k} \right)$.

Ta có: $AB=2\sqrt{k}$; $OA=OB=\sqrt{4+k}$.

Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{k}=\sqrt{4+k}\Leftrightarrow 4k=4+k$

$\Leftrightarrow k=\frac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }'=-\frac{4}{3}$ hay $4-\frac{n}{m}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{n}{m}=\frac{16}{3}$.

Từ đó ta có $n=16;m=3$.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ với phần ảo khác 0 thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}$

A. 4.       B. 3.       C. 2.       D. 1.

Lời giải:

Ta có $\Delta =3-4\left( {{a}^{2}}-2a \right)=3-4{{a}^{2}}+8a$.

Phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức khi và chỉ khi

$\Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-8a-3>0\quad \left( * \right).$

Khi đó phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp của nhau và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|.$

Ta có

${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right|$.

Theo giả thiết có ${{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{a}^{2}}-2a=3 \\ & {{a}^{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-1 \\ & a=3 \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn

Vậy có 1 giá trị dương $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}-4z+{{\left( m-2 \right)}^{2}},m\in R\left( 1 \right)$.Tất cả giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ là

A. $m>4$.       B. $m<0$.       C. $\left[ \begin{align}& m<0 \\ & m>4 \\ \end{align} \right.$.       D. $0<m<4$.

Lời giải:

Ta có $\Delta =4-{{\left( m-2 \right)}^{2}}$

TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}<4\Leftrightarrow 0<m<4$

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}$ (do ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$)$\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$. Điều này vô lí vì theo định lí Viét ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4$

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}<4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>4 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp, luôn thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

Câu 19. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{(z-3)}^{2}}-9+m=0,m\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1)$. Gọi ${{m}_{0}}$ là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Hỏi trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị ${{m}_{0}}$$\in \mathbb{N}$?

A. 10.       B. 11.       C. 12.       D. 13.

Lời giải:

Ta xét phương trình: ${{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}$.

TH1: Nếu ${{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3$. Hay phương trình chỉ có một nghiệm. Trường hợp này không thỏa điều kiện bài toán.

TH2: Nếu ${{m}_{0}}<9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}$

Do: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}={{\left( 3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}$

$\left[ \begin{align}& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \\ & 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=-3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}\,\,\left( VN \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \sqrt{9-{{m}_{0}}}=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=9$ (thỏa mãn điều kiện).

TH3: Nếu ${{m}_{0}}>9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là:

${{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.$

Khi đó ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}$

Do đó ${{m}_{0}}>9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do bài toán đòi hỏi $m\in \left( 0;20 \right)$ nên $m\in \left\{ 10;11;...;19 \right\}.$

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Câu 20. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}-4z+m=0$, $m\in \mathbb{R}$ $\left( 1 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in { }\!\![\!\!{ }0;15]$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$.

A. 12.       B. 13.       C. 14.       D. 15.

Lời giải:

Ta có $\Delta ={{2}^{2}}-m=4-m$

TH1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\le 4$ phương trình có hai nghiệm thực thoả mãn ${{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\ & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=4$.

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow m>4$ Phương trình có hai nghiệm không thực liên hợp nên ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$ luôn thỏa mãn.

Câu 21. Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$?

A. 4.       B. 3.       C. 2.       D. 1.

Lời giải:

Ta có $\Delta =-3{{a}^{2}}-10a+9$.

+ TH1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$, khi đó

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| \sqrt{\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=\Delta $ $\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4a=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=-1 \\ \end{align} \right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta \ge 0$.

+ TH2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$, khi đó

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| i\sqrt{-\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=-\Delta $ $\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a-18=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=1 \\ & a=-9 \\ \end{align} \right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta <0$.

Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$?

A. 3.       B. 4.       C. 5.       D. 6.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$

Trường hợp 1: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<2 \\ & m>6 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:

$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (nhận)

Trường hợp 2: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.

Khi đó các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ liên hợp nhau nên luôn thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

Vậy ta có các giá trị nguyên của $m$ là 0, 3, 4, 5.

Câu 23. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=7?$

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1$.

+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=7\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 7$.

Thế ${{z}_{0}}=7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}-14m+35=0\Leftrightarrow m=7\pm \sqrt{14}$ (nhận).

Thế ${{z}_{0}}=-7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}+14m+63=0$, phương trình này vô nghiệm.

+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}={{7}^{2}}$ hay $m=7$ (loại) hoặc $m=-7$ (nhận).

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=7\pm \sqrt{14}$ và $m=-7$.

Câu 24. Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-4az+{{b}^{2}}+2=0$($a$, $b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $(a;\ b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

TH1: Nếu ${{z}_{1}}$ là số thực thì ${{z}_{2}}$ cũng là số thực.

Khi đó từ ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ suy ra $\left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}=3 \\ & {{z}_{2}}=3/2 \\ \end{align} \right.$ (1)

Áp dụng viet ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$ (2).

Thay (1) vào (2) được $\left\{ \begin{align} & 4a=9/2 \\  & {{b}^{2}}+2=9/2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=9/8 \\  & {{b}^{2}}=5/2 \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán

TH2: Nếu ${{z}_{1}}$ không là số thực, thì ${{z}_{2}}$ là số phức liên hợp của ${{z}_{1}}$ (vì hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực trong tập số phức khi $\Delta <0$ là số phức liên hợp của nhau )

Giả sử ${{z}_{1}}=m+in\ (m,\ n\in \mathbb{R})$ thay vào ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ ta được

$m+in+2i(m-in)=3+3i$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& m=1 \\ & n=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy có ${{z}_{1}}=1+i$; ${{z}_{2}}=1-i$.

Với $\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$ ta có $\left\{ \begin{align}& 4a=2 \\ & {{b}^{2}}+2=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1/2 \\  & {{b}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1/2 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$

Vậy có một cặp $(a;\ b)$

Kết luận: có 3 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 25. Xét phương trình ${{z}^{2}}-3z+{{a}^{2}}-4a=0$ ($a$ là tham số thực) trên tập hợp số phức. Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\sqrt{3}$?

A. 0.       B. 1.       C. 2.       D. 3.

Lời giải:

Ta có $\Delta =9-4\left( {{a}^{2}}-4a \right)=-4{{a}^{2}}+16a+9$.

+ TH1: $\Delta >0$ $\Leftrightarrow $$-4{{a}^{2}}+16a+9>0$$\Leftrightarrow $ $-\frac{1}{2}<a<\frac{9}{2}$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$. Theo định lí Viét ta có $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3 \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-4a \\ \end{align} \right.$.

Theo giả thiết ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=48\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=48$

$\Leftrightarrow $ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=48\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=48$

$\Leftrightarrow $${{3}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}-4a \right)+2\left| {{a}^{2}}-4a \right|=48$ $\Leftrightarrow 2\left| {{a}^{2}}-4a \right|=2{{a}^{2}}-8a+39$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{a}^{2}}-8a+39\ge 0 \\  & 2\left( {{a}^{2}}-4a \right)=2{{a}^{2}}-8a+39 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& 2{{a}^{2}}-8a+39\ge 0 \\ & 2\left( {{a}^{2}}-4a \right)=-2{{a}^{2}}+8a-39 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{a}^{2}}-8a+39\ge 0 \\ & 4{{a}^{2}}-16a+39=0\, \\ \end{align} \right.$ vô nghiệm.

+ TH2: $\Delta <0$ $\Leftrightarrow $ $-4{{a}^{2}}+16a+9<0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align} & a<-\frac{1}{2} \\ & a>\frac{9}{2} \\ \end{align} \right.$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}=\frac{3-i\sqrt{4{{a}^{2}}-16a-9}}{2}$; ${{z}_{2}}=\frac{3+i\sqrt{4{{a}^{2}}-16a-9}}{2}$.

Theo giả thiết: $\left| \frac{3-i\sqrt{4{{a}^{2}}-16a-9}}{2} \right|+\left| \frac{3+i\sqrt{4{{a}^{2}}-16a-9}}{2} \right|=4\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{4{{a}^{2}}-16a}=4\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow $ $4{{a}^{2}}-16a=48$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align}  & a=-2 \\ & a=6 \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn.

Câu 26. Xét các số phức $z$ thoả mãn  điều kiện $\left| {{z}^{2}}+2z+4+4i \right|=2\left| z+1 \right|$.  Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z+1 \right|$. Giá trị của $M-m$ bằng

A. 2.       B. $2\sqrt{6}$.       C. 14.       D. $4\sqrt{6}$.

Lời giải:

$\left| {{z}^{2}}+2z+4+4i \right|=2\left| z+1 \right|\Leftrightarrow \left| {{\left( z+1 \right)}^{2}}+3+4i \right|=2\left| z+1 \right|$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$2\left| z+1 \right|=\left| {{\left( z+1 \right)}^{2}}+3+4i \right|\ge \left| \left| {{\left( z+1 \right)}^{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z+1 \right|}^{2}}-5 \right|$     (Vì ${{\left| z+1 \right|}^{2}}=\left| {{\left( z+1 \right)}^{2}} \right|$)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $z+1=k\left( 3+4i \right)$.

Suy ra $4{{\left| z+1 \right|}^{2}}\ge {{\left( {{\left| z+1 \right|}^{2}}-5 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left| z+1 \right|}^{4}}-14{{\left| z+1 \right|}^{2}}+25\le 0$

$\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z+1 \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$

$\Leftrightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z+1 \right|\le \sqrt{6}+1$

Suy ra giá trị lớn nhất của $\left| z+1 \right|=\sqrt{6}+1$ đạt được khi và chỉ khi $z=-1\pm \frac{\sqrt{6}+1}{5}\left( 3+4i \right)$, giá trị nhỏ nhất của $\left| z+1 \right|=\sqrt{6}-1$ đạt được khi và chỉ khi $z=-1\pm \frac{\sqrt{6}-1}{5}\left( 3+4i \right)$.

Vậy $M-m=2$.

Câu 27. Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-3-4i \right|=2\left| z \right|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Giá trị của ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$ bằng

A. 28.       B. $18+4\sqrt{6}$.      C. 14.        D. $11+4\sqrt{6}$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$2\left| z \right|=\left| {{z}^{2}}-3-4i \right|\ge \left| \left| {{z}^{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z \right|}^{2}}-5 \right|$ (vì $\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}}$). Dấu “=” xảy ra khi ${{z}^{2}}=k\left( -3-4i \right)$.

Suy ra $4{{\left| z \right|}^{2}}\ge {{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-14{{\left| z \right|}^{2}}+25\le 0\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$.

$\Rightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z \right|\le \sqrt{6}+1$

Do đó, ta có $M=1+\sqrt{6}$ và $m=\sqrt{6}-1$.

Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}=14$.

Câu 28. Xét các số phức $z,$ ${w}$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$ và $\left| i.\overline{w} \right|=1$. Khi $\left| iz+w+3-4i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| z-{w} \right|$ bằng

A. $\sqrt{5}$.       B. $\frac{\sqrt{29}}{5}$.       C. 3.       D. $\frac{\sqrt{221}}{5}$.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $\left| iz+w+3-4i \right|\ge \left| 3-4i \right|-\left| iz+w \right|\ge 5-\left( \left| iz \right|+\left| w \right| \right)\ge 5-\left( 2+1 \right)=2$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& w={{k}_{1}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{1}}<0 \right) \\  & i.z={{k}_{2}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{2}}<0 \right) \\ \end{align} \right.\,\,$ và $\left\{ \begin{align}  & \left| w \right|=\left| i\overline{w} \right|=1\,\, \\ & \left| iz \right|\,=\left| z \right|=2\, \\ \end{align} \right.\,\,$.

Giải hệ trên suy ra ${{k}_{2}}=-\frac{2}{5}$; ${{k}_{1}}=-\frac{1}{5}$.

Hay $\left\{ \begin{align} & w=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\,\, \\ & iz=\frac{-2}{5}\left( 3-4i \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow -z=\frac{-2i}{5}\left( 3-4i \right)\Rightarrow z=-\frac{8}{5}-\frac{6}{5}i$

Khi đó $z-w=-1-2i$ $\Rightarrow \left| z-{w} \right|=\sqrt{5}$.

Cách 2:

Trong mặt phẳng $Oxy$: 

Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $iz$ $\Rightarrow OM=2$ $\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $z$ tâm $w$ bán kính $\left| z-4 \right|=1$.

Gọi $\left| iw-2 \right|=1$ là điểm biểu diễn của số phức $\left| z+2w \right|$ $\left| iz+w \right|$ $2\sqrt{5}$ $4\sqrt{2}-3$ thuộc đường tròn $\sqrt{6}$ tâm $4\sqrt{2}+3$ bán kính $A$.

Gọi $z$. Khi đó $B$ $-2w$.

Ta thấy $\left| z-4 \right|=1$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\Rightarrow A$ $\left( C \right)$ $I\left( 4;\,0 \right)$ thẳng hàng và $R=1$ và $\left| iw-2 \right|=1\Leftrightarrow \left| -w-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| -2w-4i \right|=2\Rightarrow B$ ngược hướng với $\left( {{C}'} \right)$

Đường thẳng $z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)$ có phương trình là $\left| z-2+3i \right|=4$.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|$ và đường tròn $5a-2b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}  & y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{\left( \frac{-4}{3}x \right)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$   Giải ra $\left\{ \begin{align}  & x=\frac{6}{5} \\ & y=\frac{-8}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{-6}{5} \\  & y=\frac{8}{5} \\ \end{align} \right.$.

Vậy $M\left( \frac{-6}{5};\frac{8}{5} \right)$.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $OE$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{\left( \frac{-4}{3}x \right)}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$   Giải ra $\left\{ \begin{align}  & x=\frac{3}{5} \\ & y=\frac{-4}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}  & x=\frac{-3}{5} \\  & y=\frac{4}{5} \\ \end{align} \right.$.

Vậy $N\left( \frac{-3}{5};\frac{4}{5} \right)$.

Do đó: $w=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$ và $i . z=-\frac{6}{5}+\frac{8}{5} i \Leftrightarrow z=-\frac{8}{5}-\frac{6}{5} i$.

Vậy $|z-{w}|=|-1-2i|=\sqrt{5}{. }$

Câu 29. Xét các số phức $z, w$ thỏa mãn $|z|=|{w}|=|z-2 {w}|$. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\frac{|\bar{z}|}{1+|z+{w}|^2}$ thuộc tập nào trong các tập dưới đây?

A. $[0,1]$.       B. $(1 ; 2]$.       C. $(2 ; 3]$.       D. $(3 ; 5]$.

Lời giải:

Trường hợp 1: xét $w=0 \Rightarrow|z|=|{w}|=|z-2 {w}|=0$. Khi đó: $T=\frac{|\bar{z}|}{1+|z+w|^2}=\frac{|z|}{1+|z+w|^2}=0$. (1) .

Trường hợp 2: xét $w \neq 0$, đặt $t=\frac{z}{w}=a+b i,(a ; b \in R)$.

Ta có: $\left| z \right|=\left| {w} \right|=\left| z\,-{2w} \right|$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| \frac{z}{{w}} \right|=1 \\ & \left| \frac{z}{{w}}-2 \right|=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| t \right|=1 \\ & \left| t-2 \right|=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\ & {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $t=1\Rightarrow z={w}$. Khi đó: $T=\frac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| {z}\,{+}\,{w} \right|}^{2}}}=\frac{\left| z \right|}{1+{{\left| {z}\,{+}\,{w} \right|}^{2}}}=\frac{\left| z \right|}{1+4{{\left| {z}\, \right|}^{2}}}\le \frac{\left| z \right|}{4\left| {z}\, \right|}=\frac{1}{4}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left| z \right|=\frac{1}{2}$. Vậy ${MaxT=}\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: ${MaxT=}\frac{1}{4}\,.\,$

Câu 30. Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z+2+2i \right|=1$ và $\left| w-1+2i \right|=\left| w-3i \right|$. Khi $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $\left| z+2w \right|$ bằng

A. $2\sqrt{13}$.       B. 7.       C. $2\sqrt{5}$.       D. $\sqrt{61}$.

Lời giải:

Giả sử điểm biểu diễn của $z,w$ lần lượt là $M,F$.

Do $\left| z+2+2i \right|=1$ nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;-2 \right)$, bán kính $R=1$.

Gọi $A\left( 1;-2 \right),B\left( 0;3 \right)$. Do $\left| w-1+2i \right|=\left| w-3i \right|$ nên $F$ nằm trên đường thẳng $d:x+y+1=0$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Gọi $C\left( 3;-3 \right)$. Khi đó $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|=MF+FC$. Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai đoạn thẳng này.

Giả sử $\left( {{C}'} \right)$ là đường tròn đối xứng với $\left( C \right)$ qua đường thẳng $d$. Suy ra $\left( {{C}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 3;3 \right)$, bán kính ${R}'=R=1$. Khi đó ứng với mỗi $M\in \left( C \right)$ luôn tồn tại ${M}'\in \left( {{C}'} \right)$ sao cho $MF={M}'F$.

Suy ra $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|=MF+FC={M}'F+FC$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${I}',{M}',F,C$ thẳng hàng.

Khi đó $F$ là giao điểm của $d$ và ${I}'C$ với ${I}'C:x=3$. Suy ra $F\left( 3;-2 \right)$.

Tương ứng ta có $M$ là giao điểm của đường thẳng $IF$ và đường tròn $\left( C \right)$, $M$ nằm giữa $I,F$.

Suy ra $M\left( -1;-2 \right)$.

Do đó $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $z=-1-2i,w=3-2i$.

Suy ra $z+2w=5-6i$ $\Rightarrow \left| z+2w \right|=\sqrt{61}$.

Câu 31. Giả sử ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức $z$ thoả mãn $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là một số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng

A. $5-\sqrt{21}$.       B. $20-4\sqrt{21}$.       C. $-5+\sqrt{73}$.       D. $20-2\sqrt{73}$.

Lời giải:

Gọi $A,B$ là các điểm biểu diễn cho ${{z}_{2}};{{z}_{1}}$

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)=\left[ \left( a-6 \right)+bi \right].\left[ \left( 8-b \right)-ai \right]$

Do $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là một số thực nên $-a.\left( a-6 \right)+b\left( 8-b \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6a-8b=0$

Suy ra $A,B$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$

Gọi $M$ điểm thoả mãn $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$

Ta có $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$; $IM=\sqrt{I{{H}^{2}}+M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Khi đó $M$ thuộc đường tròm tâm $I$, bán kính ${R}'=\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Xét biểu thức $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{MA}+\overleftarrow{MB} \right|=4OM$.

Ta có ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}=\left| OI-{R}' \right|=5-\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4\left( 5-\frac{\sqrt{73}}{2} \right)=20-2\sqrt{73}$.

Câu 32. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2?$

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có: ${\Delta }'=2m+1$

TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}.$

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$

Suy ra: $2\sqrt{{{m}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1{ }(l) \\ & m=-1 \\ \end{align} \right..$

TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}.$

Vì $a.c={{m}^{2}}\ge 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\ge 0$ hoặc ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\le 0.$

Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| 2m+1 \right|=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{3}{2} \\ & m=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}$

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có $\Delta =-4{{a}^{2}}+8a+3$.

Xét 2 trường hợp:

TH1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow -4{{a}^{2}}+8a+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{7}}{2}\le a\le \frac{2+\sqrt{7}}{2}$.

Khi đó, phương trình có nghiệm ${{z}_{0}}$ thì ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}$.

Theo đề bài: $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=\sqrt{3} \\  & {{z}_{0}}=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$.

* ${{z}_{0}}=-\sqrt{3}$, thay vào phương trình ta được ${{a}^{2}}-2a\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=0{ } \\ & a=2 \\ \end{align} \right.$.

* ${{z}_{0}}=\sqrt{3}$, thay vào phương trình ta được ${{a}^{2}}-2a+6=0$.

Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện suy ra $a=2$.

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow -4{{a}^{2}}+8a+3<0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}a<\frac{2-\sqrt{7}}{2}  \\ a>\frac{2+\sqrt{7}}{2}  \\\end{matrix} \right.$.

Khi đó phương trình có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thì ${{\overline{z}}_{0}}$ cũng là một nghiệm của phương trình.

Ta có ${{z}_{0}}.{{\overline{z}}_{0}}={{a}^{2}}-2a\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}={{a}^{2}}-2a\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-1 \\  & a=3{ } \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện suy ra $a=3$.

Vậy có 2 giá trị $a$ dương thỏa mãn là $a=2$; $a=3$.

Câu 34. Trên tập hợp các số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$ có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=1$. Khi đó $S$ bằng

A. 3.       B. $-4$.       C. 1.       D. $-2$.

Lời giải:

Xét phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$.

TH1: $m=0\Rightarrow $ Phương trình đã cho có dạng $2z+6=0\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow \left| z \right|=3$ không thõa mãn.

TH2: $m\ne 0$

Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( -m+6 \right)=2{{m}^{2}}-4m+1$.

Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le \frac{2-\sqrt{2}}{2} \\ & m\ge \frac{2+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right.$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực $\Rightarrow $ ${{z}_{0}}$ là số thực

Theo bài ra, ta có $\left| {{z}_{0}} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=1 \\ & {{z}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.$.

Với ${{z}_{0}}=1$, ta có $m+2m+2-m+6=0\Leftrightarrow m=-4$.

Với ${{z}_{0}}=-1$, ta có $m-2m-2-m+6=0\Leftrightarrow m=2$.

Nếu: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1<0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{2}}{2}<m<\frac{2+\sqrt{2}}{2}$, thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức

${{z}_{0}}$ là nghiệm của phương trình đã cho $\Rightarrow $ $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng hệ thức viét, ta có ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=\frac{-m+6}{m}$ mà ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=1\Rightarrow \frac{-m+6}{m}=1\Leftrightarrow m=3$

Vậy $m=-4;m=2\Rightarrow S=-2$.

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{z}^{2}}-2mz+9m-8=0$ có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}\,,\,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

A. 4.       B. 5.       C. 6.       D. 7.

Lời giải:

TH1: $\left\{ \begin{matrix}{\Delta }'>0  \\{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-9m+8>0  \\   m=0  \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=0$.

TH2: $\left\{ \begin{matrix}{\Delta }'<0  \\ \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|  \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 1<m<8$ $\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 2\,;\,3\,;\,4;5;6;7 \right\}.$

Vậy có tất cả 7 giá trị $m$ cần tìm.

Câu 36. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z$ ($a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $a$ để phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42$?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có: $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2\left( a+3 \right)z+{{a}^{2}}-1=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=6a+10$.

+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow a\ge -\frac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.

Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42$ $\Leftrightarrow {{\left[ 2\left( a+3 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)=42$ $\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+24a-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=-6+\sqrt{38} \\ & a=-6-\sqrt{38} \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $a\ge -\frac{5}{3}$, nhận $a=-6+\sqrt{38}$.

+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow a<-\frac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.

Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=42$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=21$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-22=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=\sqrt{22} \\  & a=-\sqrt{22} \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $a<-\frac{5}{3}$, nhận $a=-\sqrt{22}$.

Vậy có 2 giá trị của $a$ thỏa mãn.

Câu 37. Tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ là

A. 0.       B. 2.       C. 4.       D. 6.

Lời giải:

+) Trường hợp ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}$. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}{{z}_{0}}=2\text{  }  \\{{z}_{0}}=-2  \\\end{matrix} \right.$.

Nếu ${{z}_{0}}=2$ thì ${{a}^{2}}-2a+10=0$ không có nghiệm thực $a$.

Nếu ${{z}_{0}}=-2$ thì ${{a}^{2}}-2a-2=0$ luôn có nghiệm thực $a$ và theo định lý Viét tổng hai nghiệm thực này là 2  $\left( 1 \right)$.

+) Trường hợp phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}\notin \mathbb{R}$ thì ${{\bar{z}}_{0}}$ cũng là nghiệm phức của phương trình.

Vì $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ nên ${{z}_{0}}.{{\bar{z}}_{0}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=4$.

Theo định lý Viét ta có ${{z}_{0}}.{{\bar{z}}_{0}}=\frac{{{a}^{2}}-2a}{1}={{a}^{2}}-2a$ $\Rightarrow {{a}^{2}}-2a=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-4=0$ $\left( * \right)$.

Phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Viét ta có tổng các giá trị của số thực $a$ bằng 2  $\left( 2 \right)$.

+) Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ là 4.

Xem thêm:  Số phức Ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2023 phần 2

Số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán năm 2023 phần 3

Ôn thi tốt nghiệp THPT 2023 Số phức phần 4

 

Nguyễn Quốc Hoàn , 02/3/2023