0/5 trong 0 Đánh giá

Thứ ba, ngày 07/03/2023, 01:03 (GMT +7)

BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TỪ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM (phần 1)

BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TỪ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM (phần 1)

 

Câu 1.  Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}+2x-3$ có đồ thị là parabol $\left( P \right)$ và hàm số $y=6x+m$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm có hoành độ ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $-4<{{x}_{1}}<-3$ và $-1<{{x}_{2}}<0$.

Hướng dẫn câu 1:

Xét phương trình $-{{x}^{2}}+2x-3=6x+m$ $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-4x-3=m$. Giải ra $-3<m<0$.

 

Câu 2.  Cho tam thức bậc hai $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a\ne 0$, chứng minh rằng nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-\left( 4a+c \right)\le 2b\le 4a+c$.

Hướng dẫn câu 2:

$f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a>0\,,\,\,\,c>0 \\ & {{b}^{2}}-4ac\le 0\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.$.  

$\overset{\left( * \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,4{{b}^{2}}\le 16ac$ mà $16ac\le {{\left( 4a+c \right)}^{2}}$. Từ đó ra đpcm.

 

Câu 3.  Cho hàm số ${y}={x}^2-2 {x}-8$ có đồ thị là parabol $\left( P \right)$. Lấy hai điểm ${A}(-1 ;-5)$ và ${B}(5 ; 7)$ thuộc $({P})$. Tìm tọa độ điểm ${C}$ trên cung ${AB}$ của $({P})$ sao cho tam giác ${ABC}$ có diện tích lớn nhất và tính diện tích đó.

Hướng dẫn câu 3:

Điểm $C$ là tiếp điểm của đường thẳng $d$ với $\left( P \right)$, trong đó $d$ là tiếp tuyến của $\left( P \right)$ và $d$ song song với ${AB}$. Giải ra $C\left( 2\,;\,-8 \right)$ và diện tích tam giác ${ABC}$ bằng 27.

 

Câu 4.  Trong mặt phẳng tọa độ ${O xy}$, cho các điểm $A(0 ; 4), B(3 ; 4), C(3 ; 0)$. Tìm hệ số $a$ sao cho đường thẳng $y=a x$ chia hình chữ nhật ${O A B C}$ thành hai phần, trong đó diện tích phần chứa điểm $C$ gấp ba lần diện tích phần chứa điểm $A$.

Hướng dẫn câu 4:

Đường thẳng ${y=a x}$ phải cắt cạnh ${AB}$ của hình chữ nhật ${O A B C}$ tại điểm $D\left( \frac{4}{a};4 \right)$.

${{S}_{OABC}}=OA\cdot OC=4\cdot 3=12.$

${{S}_{OAE}}=\frac{1}{4}{{S}_{OABC}}=3.$   $AE=\frac{2.{{S}_{OCE}}}{AO}=\frac{3}{2}.$  

Từ đó $\frac{4}{a}=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow a=\frac{8}{3}$.

 

Câu 5.  Cho parabol ${(P)}$: $y\,\,=\,\,-{{x}^{2}}\,\,+\,\,1$ có đỉnh là $I$. Gọi $A,\,\,B$ là hai điểm phân biệt thuộc ${(P)}$ và không trùng đỉnh $I$, sao cho ${IA}$ vuông góc với ${IB}$. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ${IAB}$.

Hướng dẫn câu 5:

$I(0;1)\,;\,\,\,A\left( a;-{{a}^{2}}+1 \right)\in \left( P \right)\,,\,\,a\ne 0$.

Đường thẳng ${IB}$ có phương trình dạng $x-ay+a=0$.  $IB\cap \left( P \right)=\left\{ B \right\}$  Þ $B\left( \frac{-1}{a}\,;\,1-\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)$.

Chu vi tam giác ${IAB}$ bằng:  $2p=IA+IB+AB$$=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{4}}}+\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{4}}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}+{{a}^{4}}+\frac{1}{{{a}^{4}}}}$

$\ge \sqrt{2\sqrt{{{a}^{2}}.{{a}^{4}}}}+\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}.\frac{1}{{{a}^{4}}}}}+\sqrt{2\sqrt{{{a}^{2}}.\frac{1}{{{a}^{2}}}}+2\sqrt{{{a}^{4}}.\frac{1}{{{a}^{4}}}}}$$\ge 2\sqrt{\sqrt{2{{\left| a \right|}^{3}}}.\sqrt{\frac{2}{{{\left| a \right|}^{3}}}}}+2=2\sqrt{2}+2$.

$2p=2\sqrt{2}+2$ khi $a=\pm 1$.  Kết luận: …

 

Câu 6.  Cho đường thẳng $d:\,y=-2x+1$ và parabol $\left( P \right):\,y={{x}^{2}}+2x-3$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d$ sao cho $\Delta$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,\,\,B$ và $AB=12$.

Hướng dẫn câu 6:

Đáp số $y=-2x+\frac{1}{5}$.

 

Câu 7.  Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f\left( x \right)-2f\left( \frac{1}{x} \right)={{x}^{2}}-\frac{2}{{{x}^{2}}}+1$, với mọi $x\ne 0$. Tìm hàm số $y=f(x)$?

Hướng dẫn câu 7:

Có $\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)-2f\left( \frac{1}{x} \right)={{x}^{2}}-\frac{2}{{{x}^{2}}}+1 \\ & f\left( \frac{1}{x} \right)-2f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}-2{{x}^{2}}+1 \\ \end{align} \right.$, giải ra $f(x)={{x}^{2}}-1$.

 

Câu 8.  Cho hàm số $y=x^2-2 x-3$ có đồ thị là parabol $(P)$. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=m x-3 m$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác ${O A B}$ có diện tích bằng 18.

Hướng dẫn câu 8:

Đáp số $m=-2,\,\,m=6$.

 

Câu 9.  Cho parabol $\left( P \right):$ $y=-{{x}^{2}}+2x+3$ và đường thẳng $\left( d \right)$: $y=2mx+m+8$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:  $P\,\,=\,\,x_{1}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{2}}+25m+1$.

Hướng dẫn câu 9:

$-{{x}^{2}}+2x+3=2mx+m+8$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi $\left[ \begin{align}& m>4 \\  & m<-1 \\ \end{align} \right.$.

Có $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\left( m-1 \right) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m+5 \\ \end{align} \right.$.

$P=x_{1}^{2}-2\left( m-1 \right){{x}_{2}}+25m+1$$=x_{1}^{2}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right){{x}_{2}}+25m+1$$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+25m+1$

$=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m+5 \right)+25m+1$$=4{{\left( m+2 \right)}^{2}}-16\,\,\ge \,\,-16$ …

 

Câu 10.  Cho parabol ${(P)}$: $y\,\,=\,\,{{x}^{2}}\,\,+\,\,1$ có đỉnh là $I$.

Chứng minh đường thẳng $y\,\,=\,\,-2\left( m\,\,-\,\,1 \right)x\,\,+\,\,1\,\,+\,\,m$ luôn cắt ${(P)}$ tại hai điểm phân biệt.

Gọi $A,\,\,B$ là hai điểm phân biệt thuộc ${(P)}$ và không trùng $I$, sao cho ${IA}$ vuông góc với ${IB}$. Tìm quỹ tích trung điểm $K$ của đoạn thẳng ${AB}$ khi $A,\,\,B$ thay đổi.

Hướng dẫn câu 10:

Xét phương trình: ${{x}^{2}}+1=-2(m-1)x+1+m$ Û ${{x}^{2}}+2(m-1)x-m=0$

$\Delta '={{m}^{2}}-2m+1+m={{m}^{2}}-m+1>0\,,\,\,\forall m$  Þ đpcm.

$I(0;1)\,;\,\,\,A\left( a;{{a}^{2}}+1 \right)\in \left( P \right)\,,\,\,a\ne 0$

Đường thẳng ${IB}$ qua $I$ và nhận $\overset{\xrightarrow[{}]{}}{\mathop{IA}}\,=a\left( 1;a \right)$ làm VTPT nên có phương trình dạng $x+ay-a=0$

$IB\cap \left( P \right)=\left\{ B \right\}$  Þ $B\left( \frac{-1}{a}\,;\,1+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)$

$K\left( {{x}_{k}};{{y}_{k}} \right)$ là trung điểm ${AB}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{k}}=\frac{1}{2}\left( a-\frac{1}{a} \right)  \\ {{y}_{k}}=1+\frac{1}{2}\left( {{a}^{2}}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)  \\\end{array} \right.$  $\Rightarrow {{y}_{k}}=2+\frac{1}{2}{{\left( a-\frac{1}{a} \right)}^{2}}=2+2x_{k}^{2}$

Kết luận: tập hợp điểm $K$ là parabol $y=2{{x}^{2}}+2$.

 

Câu 11.  Một cầu treo có dây truyền đỡ là Parabol ${ACB}$ như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm ${A}$, ${B}$ trên mỗi trục $A A^{\prime}$ và $B B^{\prime}$ với độ cao $30 {~m}$. Chiều dài đoạn $A^{\prime} B^{\prime}$ trên nền cầu bằng $200 {~m}$. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là $CC'=5~m$. Gọi $Q^{\prime}, P^{\prime}, H^{\prime}, C^{\prime}, I^{\prime}, J^{\prime}, K^{\prime}$ là các điểm chia đoạn $A^{\prime} B^{\prime}$ thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền $Q Q^{\prime}, P P^{\prime}, H H^{\prime}, C C^{\prime}, I I^{\prime}, J J^{\prime}, K K^{\prime}$ gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo?

Hướng dẫn câu 11:

Chọn hệ trục ${Oxy}$ như hình vẽ.

Giả sử Parabol có dạng: $y=a{{x}^{2}}+bx+c,\ a\ne 0$.

Vì Parabol đi qua điểm $A\left( 100;30 \right)$ và đỉnh $C\left( 0;5 \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}  & 10000a+100b+c=30 \\  & \frac{-b}{2a}=0 \\  & c=5 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{1}{400} \\  & b=0 \\  & c=5 \\ \end{align} \right.$.

Vậy ${(P)}$: $y=\frac{1}{400}{{x}^{2}}+5$.

Đoạn $A'B'$ chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài là 25$m$.

Khi đó tổng độ dài của các dây cáp treo là:

$OC+2{{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+2{{y}_{3}}$$=5+2\left( \frac{1}{400}{{.25}^{2}}+5 \right)+2\left( \frac{1}{400}{{.50}^{2}}+5 \right)+2\left( \frac{1}{400}{{.75}^{2}}+5 \right)$=78,75 $m$.

 

Câu 12.  Trong mặt phẳng tọa độ ${O x y}$ cho parabol $(P): y=x^2-4 x+3$, điểm ${I}(1,4)$ và đường thẳng $d: y=m x+m+8$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A}$, $B$ sao cho tam giác ${I A B}$ cân tại $I$.

Hướng dẫn câu 12:

Xét phương trình: $x^2-4 x+3=m x+m+8 \Leftrightarrow x^2-(m+4) x-m-5=0$

Để đường thẳng ${d}$ cắt parabol $({P})$ tại hai điểm phân biệt ${A}, {B} \Leftrightarrow \Delta=(m+6)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 6$.

Tam giác ${I A B}$ cân tại $I$ khi và chỉ khi ${I, A, B}$ không thẳng hàng và $I A^2=I B^2$

* $I,A,B$ không thẳng hàng $\Leftrightarrow I \notin d \Leftrightarrow 2 m+8 \neq 4 \Leftrightarrow m \neq-2$

* $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-4 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-4 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{1}}+m+4 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{2}}+m+4 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ \left( 1+{{m}^{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{m}^{2}}+8m-2 \right]=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{1}}={{x}_{2}}  \\ \left( 1+{{m}^{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{m}^{2}}+8m-2=0  \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left( 1+{{m}^{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{m}^{2}}+8m-2=0$

$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+9m+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  m=-2-\sqrt{3}  \\  m=-2+\sqrt{3}  \\  m=-2  \\ \end{array} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa yêu cầu đề bài là $m=-2-\sqrt{3}, m=-2+\sqrt{3}$.

 

Câu 13.  Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí nguyên vật liệu là 80 ngàn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngàn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

Hướng dẫn câu 13:

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $x\left( m \right)\,;\,\,\left( x>0 \right)$ và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là $a\left( m \right),b\left( m \right);\,a>0;\,b>0$.

Khi đó diện tích của khu đất là $S=\left( a+b \right)x\left( {{m}^{2}} \right)$. Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có $3x.40000+\left( a+b \right)80000=20000000\Leftrightarrow 3x+4\left( a+b \right)=500$.

Ta có

$12S=3x\cdot 4(a+b)\le \frac{{{[3x+4(a+b)]}^{2}}}{4}=\frac{{{500}^{2}}}{4}$ $\Rightarrow S\le \frac{15625}{3}$.

$\max S=\frac{15625}{3}$ khi $a+b=\frac{175}{2};x=\frac{250}{3}$.

 

Câu 14.  Tìm $m$ để phương trình $-{{x}^{2}}+2x-2-m=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<-1<3<{{x}_{2}}$ .

Hướng dẫn câu 14:

Cách 1:

Phương trình $-{{x}^{2}}+2x-2-m=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<-1<3<{{x}_{2}}$ khi

$\left\{ \begin{align}  & {\Delta }'>0 \\  & ({{x}_{1}}+1)({{x}_{2}}+1)<0 \\  & ({{x}_{1}}-3)({{x}_{2}}-3)<0 \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1-2-m>0 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}+({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1<0 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}-3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+9<0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -1-m>0 \\  & 2+m+2+1<0 \\  & 2+m-6+9<0 \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<-1 \\  & m<-5 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<-5$.  Vậy $m<-5$.

Cách 2:

Ta có $-{{x}^{2}}+2x-2-m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+2=-m\ \left( * \right)$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số: $y={{x}^{2}}-2x+2\,\,\,\left( P \right)$ với đường thẳng $y=-m$.

Để phương trình (*) có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<-1<3<{{x}_{2}}$, vẽ đồ thị, ta có $-m>5\Leftrightarrow m<-5$.

 

Câu 15.  Đồ thị của hàm số $y=f(x)=a x^2+b x+c$ là một parabol $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Hãy tính ${a, b}$ và $c$, biết rằng phương trình $f(x)=f(-1-x)$ nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ bằng $\frac{5}{2}$.

Gọi $(d)$ là đường thẳng $y=-2 m x-m^2-4 m$ ($m$ là tham số). Hãy tìm các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho biểu thức $A=\left|x_1 \cdot x_2-2\left(x_1+x_2\right)\right|$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn câu 15:

Từ giả thiết ta có: $a>0, c=3$. $\frac{-\Delta}{4 a}=\frac{5}{2}$. Lập luận được $\frac{-b}{2 a}=-\frac{1}{2}$. Giải được $a=b=2$.

Kết luận $y=f(x)=2 x^2+2 x+3$.

$2{{x}^{2}}+2x+3=-2mx-{{m}^{2}}-4m$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2(1+m)x+{{m}^{2}}+4m+3=0$

${{\Delta }^{\prime }}=-{{m}^{2}}-6m-5\ge 0$ $\Leftrightarrow -5\le m\le -1$

$A=\left| \frac{{{m}^{2}}+8m+7}{2} \right|$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2(1+m)x+{{m}^{2}}+4m+3=0$

${{\Delta }^{\prime }}=-{{m}^{2}}-6m-5\ge 0$ $\Leftrightarrow -5\le m\le -1$

$A=\left| \frac{{{m}^{2}}+8m+7}{2} \right|$.  Lập luận được $A=-\frac{m^2+8 m+7}{2},-5 \leq m \leq-1$.  $A=-\frac{1}{2}(m+4)^2+\frac{9}{2} \leq \frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $m=-4$ (thỏa mãn).

Kết luận: $\max A=\frac{9}{2}$ khi $m=-4$.

 

Câu 16.  Cho hàm số $y={{x}^{2}}-4{x}+3$ có đồ thị $\left( P \right)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( {{d}_{m}} \right):y=x+m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=2$.

Hướng dẫn câu 16:

Xét phương trình: ${{x}^{2}}-4{x}+3=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5{x}+3-m=0$  $\left( * \right)$.

Xét theo yêu cầu bài toán thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt và khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta =4m+13>0 \\  & 3-m\ne 0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>-\frac{13}{4} \\  & m\ne 3 \\ \end{align} \right.$.

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.  Ta có: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=2\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$ $\left( ** \right)$.

Theo định lý Viet: $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-m \\ \end{align} \right.$ .  Thế vào $\left( ** \right)$ ta được: $2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m=\frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Câu 17.  Cho  hàm số $y=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m+2$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Hướng dẫn câu 17:

Với $m\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}  & a>0 \\  & \left( -\infty ;2 \right)\subset \left( -\infty ;-\frac{b}{2{a}} \right) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-1>0 \\  & \frac{m}{m-1}\ge 2 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>1 \\  & \frac{2-m}{m-1}\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 1<m\le 2$.  Vậy $1\le m\le 2$ là giá trị cần tìm.

 

Câu 18.  Cho parabol $\left( P \right):y=2{{x}^{2}}+6x-1$. Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng $\Delta :y=\left( k+6 \right)x+1$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ sao cho trung điểm của đoạn thẳng ${MN}$ nằm trên đường thẳng $d:y=-2x+\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn câu 18:

Xét phương trình: $2{{x}^{2}}+6x-1=\left( k+6 \right)x+1$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-kx-2=0$  (1).

Phương trình (1) có $\Delta ={{k}^{2}}+16>0,\,\forall k\in \mathbb{R}$ nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra với mọi giá trị của tham số $k$ thì đường thẳng $\Delta$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$.

Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ lần lượt là hai nghiệm của (1). Khi đó theo Vi-et ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{k}{2}$.

Ta có $M\left( {{x}_{1}};\left( k+6 \right){{x}_{1}}+1 \right);\,N\left( {{x}_{2}};\left( k+6 \right){{x}_{2}}+1 \right)$, nên tọa độ trung điểm $I$ của ${MN}$ là $I\left( \frac{k}{4};\frac{\left( k+6 \right)k}{4}+1 \right)$.

Điểm $I\in d$ khi và chỉ khi $\frac{\left( k+6 \right)k}{4}+1=-\frac{k}{2}+\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+8k-2=0\Leftrightarrow k=-4\pm 3\sqrt{2}$.

Vậy $k=-4\pm 3\sqrt{2}$.

 

Câu 19.  Giả sử phương trình bậc hai ẩn $x$ ($m$ là tham số): ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-{{m}^{3}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( 3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+8 \right)$.

Hướng dẫn câu 19:

Ta có $\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{m}^{3}}-{{\left( m+1 \right)}^{2}}={{m}^{3}}-4m$.

Phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}\le 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta '\ge 0 \\  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\le 4 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\left( {{m}^{2}}-4 \right)\ge 0 \\  & 2\left( m-1 \right)\le 4 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\in \left[ -2;0 \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right) \\  & m\le 3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m\in \left[ -2;0 \right]\cup \left[ 2;3 \right]$

Ta có $P=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( 3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+8 \right)$$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$={{\left[ 2\left( m-1 \right) \right]}^{3}}+8\left[ -{{m}^{3}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right]$

$=8\left( {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1 \right)-8{{m}^{3}}+8\left( {{m}^{2}}+2m+1 \right)$$=-16{{m}^{2}}+40m$

Xét $P=-16{{m}^{2}}+40m$  với $m\in \left[ -2;0 \right]\cup \left[ 2;3 \right]$.

Lập bảng biến thiên 

Vậy $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi $m=2$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-144$ khi $m=-2$.

 

Câu 20.  Trong mặt phẳng ${Oxy}$ cho parabol $\left( P \right):\,y={{x}^{2}}+mx+3m-2$, đường thẳng $\left( d \right):x-y+m=0$ ($m$ là tham số thực) và hai điểm $A\left( -1\,;\,-1 \right)$, $B\left( 2\,;\,2 \right)$. Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ sao cho $A\,,\,B\,,\,M\,,\,N$ là bốn đỉnh của hình bình hành.

Hướng dẫn câu 20:

Xét phương trình: ${{x}^{2}}+mx+3m-2=x+m$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+2m-2\,\,\,\left( 1 \right)$.

$\oplus$ Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( 2m-2 \right)>0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+9>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<1 \\  & m>9 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó, $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm $M\left( {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{1}}+m \right)$, $N\left( {{x}_{2}}\,;\,{{x}_{2}}+m \right)$ với ${{x}_{1}}\,,\,{{x}_{2}}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)$ (giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$).

$\oplus$ Bốn điểm $A\,,\,B\,,\,M\,,\,N$ là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ${ABNM}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MN}\Leftrightarrow 3={{x}_{2}}-{{x}_{1}}$.

Kết hợp với định lý Viet ta có hệ:  $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-2 \\  & {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-\frac{2+m}{2} \\  & {{x}_{2}}=\frac{4-m}{2} \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-2 \\ \end{align} \right.$

Nên $-\frac{2+m}{2}.\frac{4-m}{2}=2m-2$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=10 \\ \end{align} \right.$.

Với $m=0$, $\left( 1 \right)$ trở thành: ${{x}^{2}}-x-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=2 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}  & M\left( -1\,;\,-1 \right)\equiv A \\  & N\left( 2\,;\,2 \right)\equiv B \\ \end{align} \right.$  (loại).

Với $m=10$, $\left( 1 \right)$ trở thành: ${{x}^{2}}+9x+18=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-6 \\  & x=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}  & M\left( -6\,;\,4 \right) \\  & N\left( -3\,;\,7 \right) \\ \end{align} \right.$  thỏa mãn.

Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ${ANBM}$.

Khi đó, $I\left( \frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2} \right)$ là trung điểm của ${AB}$ cũng là trung điểm của ${MN}$ nên  $\left\{ \begin{align}  & \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{1}{2} \\  & \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2m}{2}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=0$  (loại).

Vậy $m=10$.

 

Câu 21.  Cho các số thực $x,\,y$ thỏa mãn: $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=1+xy$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=7\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$. Tính $M+m$.

Hướng dẫn câu 21:

$P=7\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}=7\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$  $=7{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-10{{x}^{2}}{{y}^{2}}=7{{\left( \frac{1+xy}{2} \right)}^{2}}-10{{x}^{2}}{{y}^{2}}$  $=\frac{7}{4}\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+2xy+1 \right)-10{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

$P=-\frac{33}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{7}{2}xy+\frac{7}{4}$.

Đặt $t=xy$, ta có  $1+xy=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge 4xy\Leftrightarrow xy\le \frac{1}{3}\Leftrightarrow t\le \frac{1}{3}$.

$2\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \right]=1+xy$ $\Leftrightarrow 2{{\left( x+y \right)}^{2}}=1+5xy\ge 0$ $\Leftrightarrow xy\ge -\frac{1}{5}\Leftrightarrow t\ge -\frac{1}{5}$.

$P=-\frac{33}{4}{{t}^{2}}+\frac{7}{2}t+\frac{7}{4}$   với $t\in \left[ -\frac{1}{5};\frac{1}{3} \right]$

$M=\frac{70}{33}$ xảy ra khi $t=\frac{7}{33}$ hay $x y=\frac{7}{33}$. Khi đó $x^2+y^2=\frac{20}{33}$

Ta có $\left\{ \begin{align}  & xy=\frac{7}{33} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{20}{33} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{\sqrt{\frac{34}{33}}+\sqrt{\frac{2}{11}}}{2} \\ & y=\frac{\sqrt{\frac{34}{33}}-\sqrt{\frac{2}{11}}}{2} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{\sqrt{\frac{34}{33}}-\sqrt{\frac{2}{11}}}{2} \\ & y=\frac{\sqrt{\frac{34}{33}}+\sqrt{\frac{2}{11}}}{2} \\ \end{align} \right.$.

$m=\frac{18}{25}$ xảy ra khi $t=-\frac{1}{5}$ hay $xy=-\frac{1}{5}$. Khi đó ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{2}{5}$.

Ta có $\left\{ \begin{align}  & xy=-\frac{1}{5} \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{2}{5} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{align}  & x=\frac{\sqrt{5}}{5} \\  & y=-\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}  & x=-\frac{\sqrt{5}}{5} \\  & y=\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{align} \right.$

Vậy $M+m=\frac{2344}{825}$.

 

Câu 22.  Cho $a, b \in R$ và $a>0$. Xét hai hàm số $f(x)=2 x^2-4 x+5$ và $g(x)=x^2+a x+b$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ biết giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là 8 đơn vị và đồ thị của hai hàm số trên có đúng một điểm chung.

Hướng dẫn câu 22:

Ta có giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là: $f(1)=3$

Giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ là: $g\left(-\frac{a}{2}\right)=b-\frac{a^2}{4}$

Do giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là 8 đơn vị nên ta có phương trình: $b-\frac{a^2}{4}+8=3 \Leftrightarrow b=\frac{a^2}{4}-5(1)$

Mặt khác đồ thị hai hàm số trên có đúng một điểm chung nên phương trình:

$2 x^2-4 x+5=x^2+a x+b$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow x^2-(a+4) x+5-b=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta=0 \Leftrightarrow(a+4)^2-4(5-b)=0(2)$

Từ (1) và (2) ta được: $(a+4)^2-4\left(5-\frac{a^2}{4}+5\right)=0 \Leftrightarrow a^2+4 a-12=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=2 \\ a=-6\end{array}\right.$

Do $a>0$ nên $a=2$ thỏa mãn. Thế $a=2$ trở lại (1) ta được $b=-4$.

Vậy $a=2, b=-4$.

 

Câu 23.  Cho hàm số $y=x^2+x-1$ có đồ thị là $(P)$. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-2 x-m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ sao cho tam giác ${O A B}$ vuông tại $O$ (với $O$ là gốc toạ độ).

Hướng dẫn câu 23:

Xét phương trình hoành: $x^2+x-1=-2 x-m \Leftrightarrow x^2+3 x+m-1=0$ (1)

Để $(d)$ cắt $({P})$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

$x_1, x_2 \Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow 9-4 m+4>0 \Leftrightarrow 13-4 m>0 \Leftrightarrow m<\frac{13}{4}$

Khi đó giả sử $A\left(x_1 ;-2 x_1-m\right) ; B\left(x_2 ;-2 x_2-m\right)$

Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-3 \\ x_1 \cdot x_2=m-1\end{array}\right.$

Tam giác ${O A B}$ vuông tại $O \Leftrightarrow \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0 \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2+\left(2 x_1+m\right)\left(2 x_2+m\right)=0$

$\Leftrightarrow 5{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow 5(m-1)-6m+{{m}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-5=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$.

Kết hợp điều kiện $(*)$ ta có $m=\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Câu 24.  Cho hàm số $y=(m-2){{x}^{2}}-2(m-1)x+m+2$ ($m$ là tham số)

Biết đồ thị là một đường Parabol có tung độ đỉnh bằng ${3m}$. Xác định giá trị của $m$.

Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Hướng dẫn câu 24:

Đồ thị hàm số $y=(m-2){{x}^{2}}-2(m-1)x+m+2$ là đường Parabol có tung độ đỉnh bằng ${3m}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-2\ne 0 \\  & \frac{-\Delta }{4a}=3m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 2 \\  & -\frac{{{(m-1)}^{2}}-(m-2).(m+2)}{m-2}=3m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 2 \\  & 3{{m}^{2}}-8m+5=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right.$.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ ta xét 2 trường hợp

Trường hợp 1: Hàm số $y=(m-2){{x}^{2}}-2(m-1)x+m+2$ là hàm bậc nhất $\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2$

Khi đó hàm số đã cho trở thành $y=-2x+4$ là hàm bậc nhất nghịch biến trên $R$

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$(thỏa mãn)

Trường hợp 2: Hàm số $y=(m-2){{x}^{2}}-2(m-1)x+m+2$ là hàm bậc hai

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ khi $\left\{ \begin{align}  & m-2>0 \\  & \frac{m-1}{m-2}\ge 2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-2>0 \\  & m-1\ge 2(m-2) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 2<m\le 3$

Kết luận $\forall m\in [2;3]$ thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  01/3/2023

Đánh giá và nhận xét

Đánh giá trung bình

(0 đánh giá)

0

  • 5
    0 đánh giá
  • 4
    0 đánh giá
  • 3
    0 đánh giá
  • 2
    0 đánh giá
  • 1
    0 đánh giá

Đánh giá*

Bạn cảm thấy thế nào về bài viết này

Chưa có bài đánh giá.
Bài viết liên quan

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12

  • Ngày đăng 27/09/2022
  • Lượt xem 760 lượt xem
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12

HÀM SỐ LIÊN TỤC

  • Ngày đăng 26/09/2022
  • Lượt xem 748 lượt xem
HÀM SỐ LIÊN TỤC

ĐẠO HÀM

  • Ngày đăng 27/09/2022
  • Lượt xem 965 lượt xem
ĐẠO HÀM

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

  • Ngày đăng 27/09/2022
  • Lượt xem 641 lượt xem
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhập địa chỉ e-mail để nhận tin từ hs.edu.vn nhé !