Đề thi học sinh giỏi toán 10 tỉnh Hà Tĩnh 2022 2023

Đề thi học sinh giỏi toán 10 tỉnh Hà Tĩnh 2022 2023

Câu 1.

a) Tìm $m$ để bất phương trình sau vô nghiệm $\frac{3 x^2+m x+7}{2 x^2-3 x+2}<1$.

b) Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

${{x}^{2}}-x+m=\sqrt{2x-m}{.}$

Câu 2. Ông ${A}$ đang ăn chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là ${X}$ và ${Y}$. Mỗi gói thực phẩm ${X}$ chứa 20 đơn vị can xi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin ${B}$. Mỗi gói thực phẩm ${Y}$ chứa 20 đơn vị can xi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin ${B}$. Yêu cầu hàng ngày với chế độ ăn kiêng là tối thiểu 240 đơn vị can xi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin ${B}$. Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Giá một gói loại ${X}$ là 20.000 đ, một gói loại ${Y}$ là 25.000 đ. Hỏi một ngày ông ${A}$ cần dùng mỗi loại thực phẩm bao nhiêu để chi phí mua là ít nhất.

Câu 3. Cho tam giác $\Delta ABC$ nhọn có 3 đường cao ${A D, B E, C F}$. Gọi diện tích các tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta FED$ lần lượt là $S_{A B C}, S_{D E F}$. Biết rằng: $S_{D E F}=\frac{3}{10} S_{A B C}$. Tính giá trị biểu thức:

$T=\frac{2022\left(\sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C\right)+2023}{\cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C}$.

Câu 4. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lý, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất, các cuốn sách cùng môn là giống nhau và mỗi em sẽ nhận hai cuốn sách khác loại. Trong 9 em thì có hai em An và Bình. Hỏi có bao nhiêu khả năng để An và Bình có phần thường giống nhau?

Câu 5.

a) Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là $2.000 .000 {đ} / 1$ phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ lên $200.000 {đ} / 1$ tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

b) Cho $f(x)=x^2+a x+b$, với $a,b\in \mathbb{R}$. Biết rằng $f(f(x))=0$ có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm có tổng bằng $-1$ . Chứng minh rằng: $b \leq-\frac{1}{4}$.

Câu 6. Với $n$ là một số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được một hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m\times k\,\,(2\le k,m\le n)$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật có cùng màu.