0/5 trong 0 Đánh giá

Thứ tư, ngày 15/03/2023, 11:03 (GMT +7)

Đề và đáp án môn toán 10 Olympic chọn học sinh giỏi cấp cụm Hà Nội 2022 2023

Đề và đáp án môn toán 10 Olympic chọn học sinh giỏi cấp cụm Hà Nội 2022 - 2023
 
Sáng nay 15/3/2023 tại tất cả các cụm trường THPT ở Hà Nội đã diễn ra kì thi học sinh giỏi cụm. Năm nay là năm đầu tiên lớp 10 học theo chương trình mới, nhiều trường học nhiều bộ sách khác nhau và năm nay cũng là năm đầu tiên kì thi cấp cụm mà các cụm trường THPT lại thi cùng 1 đề như này. Chính vì thế mà đề thi lớp 10 năm nay có nhiều thay đổi so với trước rất nhiều - đây là bỡ ngỡ và khó định hướng khi ôn luyện bồi dưỡng đội tuyển, với lớp 11 vẫn giữ ổn định như mọi năm.
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thầy cô và các em học sinh để thi và đáp án môn toán lớp 10 kì thi học sinh giỏi năm học 2022-2023
 

Bài 1 (4,0 điểm) Cho Parabol $(P): y=x^2-2 x-1$.

1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$.

2) Tìm giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d: y=m x+1$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 ; x_2$ thoả mãn $\left|x_1-x_2\right|$ nhỏ nhất ?

Bài 2 (3,0 điểm)

Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Cửa hàng cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Bài 3 (6,0 điểm)

1) Giải bất phương trình $\sqrt{2 x+5} \leq 2 x-1$.

2) Giải phương trình $10 \sqrt{x^3+1}=3\left(x^2+2\right)$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\cos ^2 1^{\circ}+\cos ^2 2^{\circ}+\cos ^2 3^{\circ}+\ldots+\cos ^2 180^{\circ}$.

Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ${A B C}$ có $A C=2 A B, A B=\sqrt{3}, \widehat{B A C}=60^{\circ}, A D$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$. Lấy điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}$, đường thẳng ${B I}$ cắt ${A C}$ tại $M$.

1) Chứng minh $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$;

2) Tính độ dài cạnh ${B C}$, ${A D}$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{A M}{A C}+\frac{B I}{B M}$.

Bài 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{O} x y$, cho hình chữ nhật ${A B C D}$ có diện tích bằng 12 , $B D=\sqrt{26}$ và điểm $A(2 ;-1)$. Biết điểm $C$ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.

1) Viết phương trình đường thẳng ${A C}$.

2) Tìm tọa độ điểm ${B}$ biết $B$ có hoành độ lớn hơn 4.

Hướng dẫn giải:

Bài 2.

Gọi ${x, y}$ lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ cần phài thuê.

Điều kiện: $0<x\le 12,\,\,0<y\le 10$.

Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám nên số lợn và cám xe lớn chở được là 50${x}$ con lợn và 5${x}$ tấn cám.

Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám nên số lợn và cám xe nhỏ chở được là 30${ y}$ con lợn và $y$ tấn cám.

Xe chở hết 450 con lợn và 35 tấn cám nên ta có hệ bất phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 12 \\0 \leq y \leq 10 \\50 x+30 y \geq 450 \\5 x+y \geq 35\end{array}\right.$

Tổng giá tiền thuê xe là $T=4 x+2 y$ triệu đồng.

Vẽ xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình ngũ giác ${A B C D E}$ với $A(6;5),\,\,B(9;0)$, $C(12 ; 0), D(12,10), E(5 ; 10)$ $D(12,10),$ $E(5;10)$.

Khi đó $T(A)=34;\,\,T(B)=36;\,\,T(C)=48;\,\,T(D)=68;\,\,T(E)=40$.

Vậy trang trại phải thuê 6 chiếc xe lớn và 5 chiếc xe nhỏ để chi phí thuê xe là ít nhất.

 

Bài 3.

1)  $\sqrt{2x+5}\le 2x-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2x+5\ge 0  \\  2x-1\ge 0  \\ 2x+5\le {{(2x-1)}^{2}}  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge \frac{1}{2}  \\ 4{{x}^{2}}-6x-4\ge 0  \\ \end{array} \right.$  . . .  $x\ge 2$. Kết luận: . . .

2)  Điều kiện $x \geqslant-1$.

Đặt $\sqrt{x+1}=a\ge 0;$ $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=b>0$.

Có $10ab=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=3b  \\ b=3a  \\ \end{array} \right.$.

Có tiếp $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{x+1}=3\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}  \\\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=3\sqrt{x+1}  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 9{{x}^{2}}-10x+8=0  \\  {{x}^{2}}-10x-8=0  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$. Kết luận: . . .

3)  $P=2\left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{3}^{{}^\circ }}+\cdots  \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+{{\cos }^{2}}{{90}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{180}^{{}^\circ }}$

$=2\left[ \left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+\left( {{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{88}^{{}^\circ }} \right)+\cdots +\left( {{\cos }^{2}}{{44}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{46}^{{}^\circ }} \right) \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{45}^{{}^\circ }} \right]+0+1$$=2\left(44+\frac{1}{2}\right)+1=90.$

Bài này đã sử dụng các công thức: $\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}-\alpha  \right)=-\cos \alpha$,  $\cos \left( {{90}^{{}^\circ }}-\alpha  \right)=\sin \alpha$,  ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1.$

 

Bài 4.

1)  Có $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ $\Leftrightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow BD=\frac{1}{2}DC$ $\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$ $=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

2)  $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos A$ $=3+12-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=9$ $\Rightarrow BC=3$.

${{\overrightarrow{AD}}^{2}}=\frac{4}{9}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\frac{1}{9}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}+2\cdot \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=\frac{4}{9}\cdot A{{B}^{2}}+\frac{1}{9}A{{C}^{2}}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CC}|\cdot \cos \left( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right)=4$ $\Rightarrow AD=2$.

3)  Giả sử $\overrightarrow{AM}=k\cdot \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\frac{4}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{9} \overrightarrow{A C}$ $=\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right)$ $=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$

${B, M, I}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A I}$ với $x+y=1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  k=\frac{2y}{9}  \\  x+\frac{4y}{9}=0  \\   x+y=1  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  y=\frac{9}{5}  \\  x=\frac{-4}{5}  \\  k=\frac{2}{5}  \\\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{5}$.

$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{BM}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow{BI}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow 9\overrightarrow{BI}=5\overrightarrow{BM}$ $\Rightarrow \frac{BI}{BM}=\frac{5}{9}$. Suy ra $P=\frac{AM}{AC}+\frac{BI}{BM}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{43}{45}.$

 

Bài 5.

1)   $C(c;c+1)\in d;\,\,c>0$

$A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=26$ $\Leftrightarrow {{(c-2)}^{2}}+{{(c+1+1)}^{2}}=26$ $.\,.\,.\,\,\Rightarrow C(3;4)$.

2)   Cách 1:

Có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}  \\   AB\cdot BC={{S}_{ABCD}}  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=26  \\   AB.BC=12  \\\end{array} \right.$ giải ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=8  \\   B{{C}^{2}}=18  \\\end{array} \right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=18  \\  B{{C}^{2}}=8  \\\end{array} \right.$.

Gọi $B(x ; y)$ với $x>4$.

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=8  \\  B{{C}^{2}}=18  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=8 \\  & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3  \\   {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-7  \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x=5-5y  \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3  \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=18  \\ B{{C}^{2}}=8  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=18 \\  & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13  \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-17  \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=15-5y  \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13  \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Kết luận:  . . .

Cách 2:

Gọi $B(a,b)\,\,\,(a>4)$

Vì ${A B C D}$ là hình chữ nhật nên suy ra $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow(a-3)(a-2)+(b-4)(b+1)=0(1)$

Ta có $S_{A B C D}=A C \cdot d(B, A C)=12 \Leftrightarrow d(B, A C)=\frac{12}{\sqrt{26}} \Leftrightarrow \frac{|5 a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$  $\Leftrightarrow d(B,AC)=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{|5a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 {a}-b=23 \\5 {a}-b=-1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   5{a}-b=23  \\   5{a}-b=-1  \\\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $5 {a}-b=-1 \Rightarrow b=5 {a}+1$ thay vào $(1)$ ta có $(a-3)(a-2)+(5a+1-4)(5{a}+1+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-10{a}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0(l)  \\ a=\frac{5}{13}(l)  \\ \end{array} \right.$

Trường hợp 2: $5 {a}-b=23 \Rightarrow b=5 {a}-23$ thay vào (1) ta có $(a-3)(a-2)+(5a-23-4)(5{a}-23+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-250{a}+600=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  a=5\Rightarrow b=2  \\ a=\frac{60}{13}\Rightarrow b=\frac{1}{13}  \\ \end{array} \right.$.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn đề bài là $B(5,2)$ hoặc $B\left(\frac{60}{13}, \frac{1}{13}\right)$.

 

 

Ấn đây tải file Word đề thi này 

Nguyễn Quốc Hoàn ,  15/3/2023

Đánh giá và nhận xét

Đánh giá trung bình

(0 đánh giá)

0

  • 5
    0 đánh giá
  • 4
    0 đánh giá
  • 3
    0 đánh giá
  • 2
    0 đánh giá
  • 1
    0 đánh giá

Đánh giá*

Bạn cảm thấy thế nào về bài viết này

Chưa có bài đánh giá.
Bài viết liên quan

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 CÁC (...)

  • Ngày đăng 15/03/2023
  • Lượt xem 5040 lượt xem
Dành cho học sinh khá giỏi ôn luyện

Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT (...)

  • Ngày đăng 26/03/2023
  • Lượt xem 2671 lượt xem
Câu hỏi vận dụng và vận dụng cao ôn thi TH THPT 2023

Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz

  • Ngày đăng 20/03/2023
  • Lượt xem 3057 lượt xem
Dành ôn luyện thi tốt nghiệp THPT 2023, vận dụng và vận dụng (...)

Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian m (...)

  • Ngày đăng 20/03/2023
  • Lượt xem 1145 lượt xem
Ôn thi TN THPT môn toán năm 2023
Nhập địa chỉ e-mail để nhận tin từ hs.edu.vn nhé !