Đề và đáp án môn toán 10 Olympic chọn học sinh giỏi cấp cụm Hà Nội 2022 2023

Bài 1 (4,0 điểm) Cho Parabol $(P): y=x^2-2 x-1$.

1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$.

2) Tìm giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d: y=m x+1$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 ; x_2$ thoả mãn $\left|x_1-x_2\right|$ nhỏ nhất ?

Bài 2 (3,0 điểm)

Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Cửa hàng cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Bài 3 (6,0 điểm)

1) Giải bất phương trình $\sqrt{2 x+5} \leq 2 x-1$.

2) Giải phương trình $10 \sqrt{x^3+1}=3\left(x^2+2\right)$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\cos ^2 1^{\circ}+\cos ^2 2^{\circ}+\cos ^2 3^{\circ}+\ldots+\cos ^2 180^{\circ}$.

Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ${A B C}$ có $A C=2 A B, A B=\sqrt{3}, \widehat{B A C}=60^{\circ}, A D$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$. Lấy điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}$, đường thẳng ${B I}$ cắt ${A C}$ tại $M$.

1) Chứng minh $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$;

2) Tính độ dài cạnh ${B C}$, ${A D}$.

3) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{A M}{A C}+\frac{B I}{B M}$.

Bài 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{O} x y$, cho hình chữ nhật ${A B C D}$ có diện tích bằng 12 , $B D=\sqrt{26}$ và điểm $A(2 ;-1)$. Biết điểm $C$ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.

1) Viết phương trình đường thẳng ${A C}$.

2) Tìm tọa độ điểm ${B}$ biết $B$ có hoành độ lớn hơn 4.

Hướng dẫn giải:

Bài 2.

Gọi ${x, y}$ lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ cần phài thuê.

Điều kiện: $0<x\le 12,\,\,0<y\le 10$.

Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám nên số lợn và cám xe lớn chở được là 50${x}$ con lợn và 5${x}$ tấn cám.

Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám nên số lợn và cám xe nhỏ chở được là 30${ y}$ con lợn và $y$ tấn cám.

Xe chở hết 450 con lợn và 35 tấn cám nên ta có hệ bất phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 12 \\0 \leq y \leq 10 \\50 x+30 y \geq 450 \\5 x+y \geq 35\end{array}\right.$

Tổng giá tiền thuê xe là $T=4 x+2 y$ triệu đồng.

Vẽ xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình ngũ giác ${A B C D E}$ với $A(6;5),\,\,B(9;0)$, $C(12 ; 0), D(12,10), E(5 ; 10)$ $D(12,10),$ $E(5;10)$.

Khi đó $T(A)=34;\,\,T(B)=36;\,\,T(C)=48;\,\,T(D)=68;\,\,T(E)=40$.

Vậy trang trại phải thuê 6 chiếc xe lớn và 5 chiếc xe nhỏ để chi phí thuê xe là ít nhất.

Bài 3.

1)  $\sqrt{2x+5}\le 2x-1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2x+5\ge 0  \\  2x-1\ge 0  \\ 2x+5\le {{(2x-1)}^{2}}  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x\ge \frac{1}{2}  \\ 4{{x}^{2}}-6x-4\ge 0  \\ \end{array} \right.$  . . .  $x\ge 2$. Kết luận: . . .

2)  Điều kiện $x \geqslant-1$.

Đặt $\sqrt{x+1}=a\ge 0;$ $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=b>0$.

Có $10ab=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=3b  \\ b=3a  \\ \end{array} \right.$.

Có tiếp $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{x+1}=3\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}  \\\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=3\sqrt{x+1}  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 9{{x}^{2}}-10x+8=0  \\  {{x}^{2}}-10x-8=0  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$. Kết luận: . . .

3)  $P=2\left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{3}^{{}^\circ }}+\cdots  \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+{{\cos }^{2}}{{90}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{180}^{{}^\circ }}$

$=2\left[ \left( {{\cos }^{2}}{{1}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{89}^{{}^\circ }} \right)+\left( {{\cos }^{2}}{{2}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{88}^{{}^\circ }} \right)+\cdots +\left( {{\cos }^{2}}{{44}^{{}^\circ }}+{{\cos }^{2}}{{46}^{{}^\circ }} \right) \right.\left. +{{\cos }^{2}}{{45}^{{}^\circ }} \right]+0+1$$=2\left(44+\frac{1}{2}\right)+1=90.$

Bài này đã sử dụng các công thức: $\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}-\alpha  \right)=-\cos \alpha$,  $\cos \left( {{90}^{{}^\circ }}-\alpha  \right)=\sin \alpha$,  ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1.$

Bài 4.

1)  Có $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ $\Leftrightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow BD=\frac{1}{2}DC$ $\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$ $=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

2)  $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos A$ $=3+12-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=9$ $\Rightarrow BC=3$.

${{\overrightarrow{AD}}^{2}}=\frac{4}{9}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\frac{1}{9}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}+2\cdot \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=\frac{4}{9}\cdot A{{B}^{2}}+\frac{1}{9}A{{C}^{2}}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CC}|\cdot \cos \left( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right)=4$ $\Rightarrow AD=2$.

3)  Giả sử $\overrightarrow{AM}=k\cdot \overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\frac{4}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{9} \overrightarrow{A C}$ $=\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right)$ $=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$

${B, M, I}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A I}$ với $x+y=1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  k=\frac{2y}{9}  \\  x+\frac{4y}{9}=0  \\   x+y=1  \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  y=\frac{9}{5}  \\  x=\frac{-4}{5}  \\  k=\frac{2}{5}  \\\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{5}$.

$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{BM}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow{BI}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow 9\overrightarrow{BI}=5\overrightarrow{BM}$ $\Rightarrow \frac{BI}{BM}=\frac{5}{9}$. Suy ra $P=\frac{AM}{AC}+\frac{BI}{BM}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{43}{45}.$

Bài 5.

1)   $C(c;c+1)\in d;\,\,c>0$

$A{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}=26$ $\Leftrightarrow {{(c-2)}^{2}}+{{(c+1+1)}^{2}}=26$ $.\,.\,.\,\,\Rightarrow C(3;4)$.

2)   Cách 1:

Có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=B{{D}^{2}}  \\   AB\cdot BC={{S}_{ABCD}}  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=26  \\   AB.BC=12  \\\end{array} \right.$ giải ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=8  \\   B{{C}^{2}}=18  \\\end{array} \right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=18  \\  B{{C}^{2}}=8  \\\end{array} \right.$.

Gọi $B(x ; y)$ với $x>4$.

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=8  \\  B{{C}^{2}}=18  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=8 \\  & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3  \\   {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-7  \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x=5-5y  \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=3  \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  A{{B}^{2}}=18  \\ B{{C}^{2}}=8  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=18 \\  & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13  \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=-17  \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=15-5y  \\  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y=13  \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp.

Kết luận:  . . .

Cách 2:

Gọi $B(a,b)\,\,\,(a>4)$

Vì ${A B C D}$ là hình chữ nhật nên suy ra $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow(a-3)(a-2)+(b-4)(b+1)=0(1)$

Ta có $S_{A B C D}=A C \cdot d(B, A C)=12 \Leftrightarrow d(B, A C)=\frac{12}{\sqrt{26}} \Leftrightarrow \frac{|5 a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$  $\Leftrightarrow d(B,AC)=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{|5a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 {a}-b=23 \\5 {a}-b=-1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   5{a}-b=23  \\   5{a}-b=-1  \\\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $5 {a}-b=-1 \Rightarrow b=5 {a}+1$ thay vào $(1)$ ta có $(a-3)(a-2)+(5a+1-4)(5{a}+1+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-10{a}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0(l)  \\ a=\frac{5}{13}(l)  \\ \end{array} \right.$

Trường hợp 2: $5 {a}-b=23 \Rightarrow b=5 {a}-23$ thay vào (1) ta có $(a-3)(a-2)+(5a-23-4)(5{a}-23+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-250{a}+600=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  a=5\Rightarrow b=2  \\ a=\frac{60}{13}\Rightarrow b=\frac{1}{13}  \\ \end{array} \right.$.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn đề bài là $B(5,2)$ hoặc $B\left(\frac{60}{13}, \frac{1}{13}\right)$.

Ấn đây tải file Word đề thi này