Phát triển câu 46 đề tham khảo toán 12 của Bộ GD&ĐT năm 2023

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(2;4;3\right)$, mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua $A$ và cách trục $Ox$ một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ $M\left(0;1;2\right)$đến mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ bằng

A. 1.       B. 2.       C. 3.        D. 4.

Lời giải:

+ Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của A trên trục $Ox\Rightarrow A'\left(2;0;0\right).$

+ Để khoảng cách từ trục $Ox$ đến $\left(\alpha\right)$là lớn nhất thì $\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}}=\overrightarrow{A'A}=\left(0;4;3\right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng$\left(\alpha\right)$là: $4\left(y-4\right)+3(z-3)=0\Leftrightarrow  4y+3z-25=0$

Suy ra $d\left(M,\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left|4.1+2.3-25\right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=3.$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=2+4t\\ &y=-6t\\ &z=-1-8t\end{align}\right.,t\in \mathbb{R}$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-7}{-6}=\dfrac{y-2}{9}=\dfrac{z}{12}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d$ và $\Delta $. Khoảng cách từ điểm $M\left(1;2;3\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{152}{\sqrt{870}}.$        B. $\dfrac{125}{\sqrt{870}}.$        C. $\dfrac{512}{\sqrt{870}}.$          D. $\dfrac{215}{\sqrt{870}}.$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left(2;0;-1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(4;-6;-8\right)$ ; đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $B\left(7;2;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{b}=\left(-6;9;12\right)$.

Ta có $\dfrac{4}{-6}=\dfrac{-6}{9}=\dfrac{-8}{12}$ suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Mặt khác ta thấy $A\left(2;0;-1\right)\notin \Delta $.

Vậy $d\text {//}\Delta $.

Lấy điểm $C\left(6;-6;-9\right)\in d$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-1;-8;-9\right);\overrightarrow{BA}=\left(-5;-2;-1\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]=\left(10;-44;-38\right)=2\left(5;-22;-19\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;0;-1\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;-22;-19\right)$ có phương trình là :

$5x-22y-19z-29=0$.

Vậy $d\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|5.1-22.2-19.3-29\right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left(-22\right)}^{2}}+{{\left(-19\right)}^{2}}}}=\dfrac{125}{\sqrt{870}}$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó côsin của góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right):-x+3y-3z+2023=0$ bằng

A. $\dfrac{-1}{3\sqrt{19}}.$        B. $\dfrac{1}{3\sqrt{13}}.$        C. $\dfrac{1}{3\sqrt{19}}.$        D. $\dfrac{13}{3\sqrt{19}}.$

Lời giải:

Lấy $B\left(2;1;1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;-1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(2;4;4\right)=2\left(1;2;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;2;2\right)$.

Gọi $\alpha$là góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$

Ta có $\cos \alpha=\left|\cos (\overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|.\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|}=\dfrac{\left|-1+6-6\right|}{\sqrt{1+4+4}.\sqrt{1+9+9}}=\dfrac{1}{3\sqrt{19}}$

Vậy $\cos \alpha=\dfrac{1}{3\sqrt{19}}$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz,$phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $A\left(1;-7;-8\right)$, $B\left(2;-5;-9\right)$ sao cho khoảng cách từ $M\left(7;-1;-2\right)$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b;4).$ Giá trị của tổng $a+b$ là

A. 2.        B. $-1.$        C. 6.           D. 3.

Lời giải:

Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$ và $\left(P\right)$$\Rightarrow d\left(M;(P)\right)=MK$

Ta có $\Delta MHK$ vuông tại $M\Rightarrow MK\le MH$

$\Rightarrow d{{\left(M;(P)\right)}_{\max}}\Leftrightarrow  MK=MH\Leftrightarrow  K\equiv H$

Khi đó $MH\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MH}$ là 1 VTPT của (P).

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;2;-1\right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $AB$:

$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z+8}{-1}\Rightarrow H\left(t+1;2t-7;-t-8\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-6;2t-6;-t-6)\bot \overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow 1.(t-6)+2.(2t-6)-1.(-t-6)=0$

$\Leftrightarrow  6t-12=0\Leftrightarrow  t=2\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(-4;-2;-8)=-2(2;1;4)$

$\Rightarrow a=2;b=1\Rightarrow a+b=3$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;-3;2\right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ tại $A$, $B$, $C$ mà $OA=OB=OC\ne 0$?

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Gọi $A\left(a;0;0\right)$, $B\left(0;b;0\right)$, $C\left(0;0;c\right)$. Từ đó ta có $OA=\left|a\right|$, $OB=\left|b\right|$, $OC=\left|c\right|$

Mặt phẳng qua các điểm $A$,$B$,$C$ có phương trình theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\,\,\,\left(P\right)$.

Vì $M\in \left(P\right)$ nên $\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1$. Vì $OA=OB=OC\Rightarrow \left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{align}&\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\\ &\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\end{align}\right.$ $\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\\ &\left|a\right|=\left|b\right|\\ &\left|b\right|=\left|c\right|\end{align}\right.$ $\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&a=b=-c=-4\\ &a=-b=c=6\\ &a=-b=-c=2\end{align}\right.$.

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left(S\right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6y-4z-2=0$, mặt phẳng $\left(\alpha\right):\,x+4y+z-11=0$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\left(\alpha\right),\,\left(P\right)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v}=\left(1;\,6;\,2\right)$ và $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là

A. $2x-y+2z-2=0$ và $x-2y+z-21=0$.        B. $x-2y+2z+3=0$ và $x-2y+z-21=0$.        C. $2x-y+2z+3=0$ và $2x-y+2z-21=0$.        D. $2x-y+2z+5=0$ và $2x-y+2z-2=0$.

Lời giải:

$\left(S\right)$ có tâm $I\left(1;\,-3;\,2\right)$ và bán kính $R=4$. Vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha\right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}}=\left(1;\,4;\,1\right)$.

Suy ra VTPT của $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}},\,\overrightarrow{v}\right]$$=\left(2;\,-1;\,2\right)$.

Do đó $\left(P\right)$ có dạng: $2x-y+2z+d=0$.

Mặt khác $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$ nên $d\left(I,\,\left(P\right)\right)=4$

Hay $\dfrac{\left|2+3+4+d\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4$ $\Rightarrow \left[\begin{align}&d=-21\\ &d=3\end{align}\right.$.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\,\left\{\begin{align}&x=1+2t\\ &y=-3-t\\ &z=-4+3t\end{align}\right.$ và điểm$A\left(-3;6;-3\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và có khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất là

A. $\left(P\right):\,\,x-4y-2z-21=0.$        B. $\left(P\right):\,2\,x-y+3z-7=0.$        C. $\left(P\right):\,\,x-2y-2z+17=0.$         D. $\left(P\right):\,\,2x+y-4z+3=0.$

Lời giải:

Ta gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left(P\right)$. Kẻ $HI\bot d$ tại $I$ $\Rightarrow AI\bot d$.

Khi đó $d\left(A,\left(P\right)\right)=AH\le d\left(A,d\right)=AI$. Mà $AI$ không đổi. Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ là lớn nhất khi chỉ khi $AI\bot \left(P\right)$ tại $I$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(1;-3;-4\right)$ và có VTCP .

Gọi $I\left(1+2t;-3-t;\,\,-4+3t\right)\in d$.

$\overrightarrow{AI}=\left(2t+4;-t-9;\,\,3t-1\right)$

Từ $\overrightarrow{AI}\bot \overrightarrow{{{a}_{d}}}\Leftrightarrow  14t+14=0\Leftrightarrow  t=-1$. Vậy $\overrightarrow{AI}=\left(2;-8;-4\right)=2\left(1;-4;-2\right)$

$\Rightarrow \left(P\right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;-2\right)$

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M\left(1;-3;-4\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;-2\right)$.

$\Rightarrow \left(P\right):\,\,x-4y-2z-21=0$

Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left(2;\,5;\,3\right)$ và đường thẳng $d:\,\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M\left(1;\,2;\,-1\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{11\sqrt{18}}{18}.$        B. $3\sqrt{2}.$        C. $\dfrac{\sqrt{11}}{18}.$         D. $\dfrac{4}{3}.$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$; $K$ là hình chiếu của $A$ trên $\left(P\right)$.

Ta có $d\left(A,~\left(P\right)\right)=AK~\le AH$ (Không đổi)

$\Rightarrow $ GTLN của $d\left(d,\,\left(P\right)\right)$ là $AH$

 $d\left(A,~\left(P\right)\right)$ lớn nhất khi $K~\equiv H$.

Gọi $H\left(1+2t;t;2+2t\right)\in d$, suy ra $\overrightarrow{AH}=\left(2t-1;t-5;2t-1\right)$.

Vì $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow  \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow  2\left(2t-1\right)+t-5+2\left(2t-1\right)=0\Leftrightarrow  t=1$.

Nên $H\left(3;1;4\right)$, $\left(P\right)$ qua $H$ và vuông góc với $AH$.

$\Rightarrow \,\left(P\right):\,x-4y+z-3=0$

Vậy $d\left(M,\,\left(P\right)\right)=\,\dfrac{11\sqrt{18}}{18}$.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-1;3;2\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{7\sqrt{10}}{15}.$        B. $\dfrac{14\sqrt{10}}{15}.$        C. $\dfrac{7\sqrt{10}}{3}.$        D. $\dfrac{14}{\sqrt{10}}.$

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left(2;-2;1\right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left(1;3;-2\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$. Do mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\right]=\left(1;5;8\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;5;8\right)$ là $x+5y+8z-16=0$.

$\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{10}}{15}$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-2=0.$ Có bao nhiêu điểm $M$thuộc $d$ sao cho $M$ cách đều gốc tọa độ $O$ và mặt phẳng $(P)$?

A. 4.        B. 0.        C. 2.           D. 1.

Lời giải:

Vì $M\in d\Rightarrow M\left(-2t;1+t;t\right).$

$M$ cách đều gốc tọa độ $O$ và mặt phẳng $(P)$ nên $OM=d\left( M;\left( P \right) \right)$ $\Rightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}=\dfrac{\left| -3t-3 \right|}{3}$ $\Rightarrow t=0$.

Vậy có 1 điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1;3\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 5.        B. $\dfrac{1}{3}$.        C. 1.        D. $\dfrac{11}{3}$.

Lời giải:

Lấy $B\left(2;1;1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;-1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(2;4;4\right)=2\left(1;2;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;2;2\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z-6=0$

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+2{{y}_{M}}+2{{z}_{M}}-6\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(-1;2;4\right)$ và $B\left(0;1;5\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $\left(P\right)$ là lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.        B. $\sqrt{3}$.        C. $\dfrac{1}{3}$.        D. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$. Khi đó ta có $BH$ là khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$. Ta luôn có $BH\le AB$ do đó khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ lớn nhất khi $H\equiv A$, khi đó $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)$  là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(-1;2;4\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)$ là  $x-y+z-1=0$.

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là $d\left(O;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;0;-2\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=1-2t\\ &y=t\\ &z=-1-t\end{align}\right.$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$. Tổng khoảng cách từ điểm $N\left(-3;-2;1\right)$ và $Q\left(-1;3;0\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.        B. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$.        C. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.        D. $\dfrac{5}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Lấy $A\left(1;0;-1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{MA}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(-1;-2;0\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(0;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-1=0$.

Vậy $\text {d}\left(N,\left(P\right)\right)+\text {d}\left(Q,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{N}}+2{{y}_{N}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}+\dfrac{\left|{{x}_{Q}}+2{{y}_{Q}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}+\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;0;-2\right)$; đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=1-2t\\ &y=t\\ &z=-1-t\end{align}\right.$ và ${d}':\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$. Khoảng cách giữa đường thẳng ${d}'$ và $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.        B. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.        C. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$.        D. $\dfrac{5}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Lấy $A\left(1;0;-1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{MA}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(-1;-2;0\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(0;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-1=0$.

Đường thẳng ${d}'$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left(2;-1;1\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0$$\Rightarrow {d}'\,\text {//}\left(P\right)$.

Lấy $N\left(1;-2;0\right)\in {d}'$.

Vậy $\text {d}\left({d}',\left(P\right)\right)\text {=d}\left(N,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{N}}+2{{y}_{N}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(2\,;\,3\,;\,-1\right)$; mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y-z+5=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{\begin{align}&x=3+{{t}_{1}}\\ &y=2+2{{t}_{1}}\\ &z=5-3{{t}_{1}}\end{align}\right.$; ${{d}_{2}}:\left\{\begin{align}&x=2+2{{t}_{2}}\\ &y=3+{{t}_{2}}\\ &z=-5+{{t}_{2}}\end{align}\right.$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}$; ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Do $B\in {{d}_{1}}$ nên tọa độ $B$ có dạng $B\left(3+{{t}_{1}}\,;\,2+2{{t}_{1}}\,;\,5-3{{t}_{1}}\right)$; $C\in {{d}_{2}}$ nên tọa độ $C$ có dạng $C\left(2+2{{t}_{2}}\,;\,3+{{t}_{2}}\,;\,-5+{{t}_{2}}\right)$$\Rightarrow $$\overrightarrow{AB}=\left(1+{{t}_{1}}\,;\,-1+2{{t}_{1}}\,;\,6-3{{t}_{1}}\right)$; $\overrightarrow{AC}=\left(2{{t}_{2}}\,;\,{{t}_{2}}\,;\,-4+{{t}_{2}}\right)$.

Do $A$; $B$; $C$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&1+{{t}_{1}}=2k{{t}_{2}}\\ &-1+2{{t}_{1}}=k{{t}_{2}}\\ &6-3{{t}_{1}}=k\left(-4+{{t}_{2}}\right)\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&1+{{t}_{1}}=2k{{t}_{2}}\\ &3{{t}_{1}}-3=0\\ &-7+5{{t}_{1}}=4k\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&{{t}_{1}}=1\\ &k=-\dfrac{1}{2}\\ &{{t}_{2}}=-2\end{align}\right.$$\Rightarrow $$B\left(4\,;\,4\,;\,2\right)$; $C\left(-2\,;\,1\,;\,-7\right)$.

Vậy tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$d\left(B;\left(P\right)\right)+d\left(C;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2.4-2.4-2+5\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-2\right)}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}}}+\dfrac{\left|2.\left(-2\right)-2.1+7+5\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-2\right)}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}}}=3$.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1\,;\,1\,;\,1\right)$; $B\left(11\,;\,15\,;\,4\right)$; $C\left(3\,;\,9\,;\,-2\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=-4+3t\\ &y=-3+2t\\ &z=-2+2t\end{align}\right.$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho biểu thức $S=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Q\right):2x+y+2z-3=0$ bằng

A. 8.        B. 9.        C. 10.        D. 11.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $E\left(-4\,;\,-3\,;\,-2\right)$ và có một vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3\,;\,2\,;\,2\right)$.

$\Rightarrow $$\overrightarrow{AE}=\left(-3\,;\,-4\,;\,-3\right)$   $\Rightarrow$ $\left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{u} \right]=\left( \left| \begin{matrix}-4 & -3  \\ 2 & 2  \\\end{matrix} \right|\,;\,\left| \begin{matrix} -3 & -3  \\   2 & 3  \\\end{matrix} \right|\,;\,\left| \begin{matrix}   -3 & -4  \\ 3 & 2  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( -2\,;\,-3\,;\,6 \right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$ nên có một vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2\,;\,3\,;\,-6\right)$.

$\Rightarrow $Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là: $2\left(x+1\right)+3\left(y-1\right)-6\left(y-1\right)=0$ hay $2x+3y-6z+5=0$.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow $ $I\left(7\,;\,12\,;\,1\right)$.

Ta có: $S=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^{2}}+{{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^{2}}=$

$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+{{\overrightarrow{IC}}^{2}}+\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=2I{{M}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}\ge2{{\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}=const$.

Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow  $ $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$.

Khi đó đường thẳng $IM$ đi qua điểm $I\left(7\,;\,12\,;\,1\right)$ và có một vector chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(2\,;\,3\,;\,-6\right)$.

$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $IM$ là: $\left\{\begin{align}&x=7+2{{t}_{1}}\\ &y=12+3{{t}_{1}}\\ &z=1-6{{t}_{1}}\end{align}\right.$.

Do $M=IM\bigcap \left(P\right)$ nên tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{align}&x=7+2{{t}_{1}}\\ &y=12+3{{t}_{1}}\\ &z=1-6{{t}_{1}}\\ &2x+3y-6z+5=0\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&{{t}_{1}}=-1\\ &x=5\\ &y=9\\ &z=7\end{align}\right.$

$\Rightarrow $ $M\left(5\,;\,9\,;\,7\right)$.

Vậy $d\left(M;\left(Q\right)\right)=\dfrac{\left|2.5+9+2.7-3\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=10$.

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(1;-1;2\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa trục $Oz$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-3;1;4\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 3.        B. $\sqrt{2}$.        C. 1.        D. $3\sqrt{2}$.

Lời giải:

Ta có $\left[\overrightarrow{AO},\overrightarrow{j}\right]=\left(1;1;0\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $oz$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+y=0$

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+{{y}_{M}}\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{2}$.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=0\\ &y=3-t\\ &z=t\end{align}\right.\text {},t\in R$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ một góc ${{45}^{0}}$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-3;2;5\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 3.        B. $\sqrt{2}$.        C. 1.        D. $2\sqrt{2}$.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;3;0)$ và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;-1;1)$

Gọi $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;p)$ là VTPT của mặt phẳng $\left(P\right)$, khi đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}\ne 0$.

Ta có phương trình $(p):mx+ny+pz-3n=0$. Vì $\overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow n=p\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;n)$

Mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0\,;\,0\,;\,1\right)$.

Ta có: $\cos \left(\left(P\right);\left(Oxy\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{k}\right)\right|\Leftrightarrow  \cos 45{}^\circ=\dfrac{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}\Leftrightarrow  \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|n\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow  \sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=\sqrt{2}\left|n\right|\Leftrightarrow  {{m}^{2}}=0\Leftrightarrow  m=0$.

Chọn $n=1\Rightarrow \left(P\right):y+z-3=0$.

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ và  ${{d}_{2}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-2}$. Gọi mặt phẳng $\left(P\right)$ là chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ . Khoảng cách từ điểm $M\left(1;1;1\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\sqrt{10}$.        B. $\dfrac{1}{\sqrt{53}}$.        C. $\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.        D. $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left(2;-2;1\right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left(1;3;-2\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$. Do mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\right]=\left(1;5;8\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;5;8\right)$ là $x+5y+8z-16=0$.

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm $M\left(1;2;3\right)$ và cắt các trục $Ox,$ $Oy,$ $Oz$ lần lượt tại $A,$ $B,$ $C$ (khác gốc tọa độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0$. Tổng $T=a+b+c$ bằng

A. 8.        B. 14.        C. 6.         D. 11.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ cắt các trục $Ox,$ $Oy,$ $Oz$ lần lượt tại $A\left(m;0;0\right),$ $B\left(0;n;0\right),$ $C\left(0;0;p\right)$, $m,n,p\ne 0$. Ta có phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ có dạng $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.

Mà $M\in \left(\alpha\right)\Leftrightarrow  \dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{p}=1$. $\left(1\right)$

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(1-m;2;3\right),$ $\overrightarrow{BM}=\left(1;2-n;3\right),$ $\overrightarrow{BC}=\left(0;-n;p\right),$$\overrightarrow{AC}=\left(-m;0;p\right)$.

$M$ là trực tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} &\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\ & \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3p-2n=0 \\  & 3p-m=0 \\ \end{align} \right.$  $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $m=14;$ $n=7;$ $p=\dfrac{14}{3}$.

Suy ra $\left(\alpha\right)$ có phương trình $\dfrac{x}{14}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{3z}{14}=1\Leftrightarrow  x+2y+3z-14=0$.

Vậy $T=a+b+c=1+2+3=6$.

Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+25}{-2}$ và điểm $M\left(2;3;-1\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right):2x+by+cz+d=0$ chứa đường thẳng $\Delta $. Khi khoảng cách từ $M$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất, giá trị của $b+c+d$ bằng

A. 151.        B. 149.        C. 148.        D. 141.

Lời giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng $\Delta $.

Khi đó $MH\le MK$ nên $d{{\left(M,\left(P\right)\right)}_{\max}}=MK$.

Giả sử $K\left(5+3t;2t;-25-2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(3+3t;2t-3;-24-2t\right)$ mà $\overrightarrow{MK}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ nên:

$3\left(3+3t\right)+2\left(2t-3\right)+2\left(24+2t\right)=0\Leftrightarrow  t=-3\Rightarrow K\left(-4;-6;-19\right)\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(-6;-9;-18\right)$

Chọn $\overrightarrow{{{n}_{\left(P\right)}}}=\left(2;3;6\right)$ thì $\left(P\right):2x+3y+6z+140=0$

Vậy $b+c+d=149$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(0;1;2\right)$ và chứa đường thẳng $\left(\Delta \right):\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-m}.$ Giá trị $m$ thuộc khoảng nào dưới đây sao cho khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1;3\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ lớn nhất?

A. $\left(1;2\right).$        B. $\left(0;1\right).$        C. $\left(-2;-1\right).$        D. $\left(-1;0\right).$

Lời giải:

$\left(\Delta \right)$ đi qua $B\left(2;1;1\right)$ và có vtcp $\vec{u}\left(2;2;-m\right).$

$\overrightarrow{AB}\left(2;0;-1\right),\,\,\left[\overrightarrow{AB},\,\vec{u}\right]=\left(2;2m-2;4\right)=2\left(1;m-1;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và nhận $\vec{n}\left(1;m-1;2\right)$ làm vtpt nên có phương trình:

$x+\left(m-1\right)y+2z-3-m=0$

$d\left(M;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|9-2m\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}}$

Đặt $f\left(m\right)=\dfrac{\left|9-2m\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}}$

$\Rightarrow {f}'\left(m\right)=\dfrac{14{{m}^{2}}-57m-27}{\left|9-2m\right|{{\left(\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}\right)}^{3}}},$ với $m\ne \dfrac{9}{2},$ ${f}'\left(m\right)=0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&m=\dfrac{9}{2}\\ &m=\dfrac{-3}{7}\end{align}\right.$

Bảng biến thiên

Vậy $maxf\left(m\right)=\dfrac{\sqrt{345}}{5}$ tại $m=\dfrac{-3}{7}.$

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(8;-8;8)$. Gọi $M$ là điểm sao cho $MA=3MO$ (Với $O$ là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right):\,\,2x+2y+z+19=0$ đạt giá trị nhỏ nhất là

A. $6+3\sqrt{3}$.        B. $3\sqrt{3}$.        C. $6-3\sqrt{3}$.         D. 6.

Lời giải:

Gọi $M\left(x;y;z\right)$. Khi đó $MA=3MO$

$\Leftrightarrow  {{\left(x-8\right)}^{2}}+{{\left(y+8\right)}^{2}}+{{\left(z-8\right)}^{2}}=9\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\right)\Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y+2z-24=0$

Suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa $MA=3MO$ là mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I\left(-1;1;-1\right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}.$

Vì $d\left(I,\left(P\right)\right)=6>R$ nên $\left(P\right)$ không cắt $\left(S\right)$.

Do đó khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất là

${{d}_{\min}}=d\left(I,\left(P\right)\right)-R=6-3\sqrt{3}.$

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu$\left(S\right):\,\,{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}+{{\left(z-1\right)}^{2}}=16$, điểm $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$. Gọi mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ và cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left(C\right)$ có diện tích nhỏ nhất. Khoảng cách từ $M\left(2;-1;4\right)$ đến $\left(P\right)$ là

A. $\dfrac{1}{3}$.        B. 2.        C. $\dfrac{5}{3}$.        D. 6.

Lời giải:

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1\,;\,2\,;\,1\right)$, bán kính $R=4$.

Ta có $IA=3<R$$\Rightarrow A$ nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$.

Do đó mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ luôn cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left(C\right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$.

Ta luôn có $IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}$.

Diện tích của hình tròn $\left(C\right)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tức là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow  H\equiv A$.

Khi đó $IA\bot \left(P\right)$ $\Rightarrow $ mặt phẳng $\left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,-2\,;\,1\right)$ làm một VTPT.

$\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$: $2\left(x-1\right)-2y+\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow  2x-2y+z-4=0.$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là $d\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|4+2+4-4\right|}{3}=2$.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa điểm $M\left(1;3;-2\right)$, cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $\dfrac{OA}{1}=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{OC}{4}$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ bằng

A. $\dfrac{8\sqrt{21}}{21}$.        B. $\dfrac{2\sqrt{12}}{3}$.        C. $\dfrac{\sqrt{21}}{21}$.        D. $\dfrac{7\sqrt{21}}{21}$.

Lời giải:

Phương trình mặt chắn cắt tia $Ox$ tại $A\left(a;0;0\right)$, cắt tia $Oy$ tại $B\left(0;b;0\right)$, cắt tia $Oz$ tại $C\left(0;0;c\right)$ có dạng là $\left(P\right)$: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$,$c>0$).

Theo đề: $\dfrac{OA}{1}=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{OC}{4}$ $\Leftrightarrow  \dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{4}$ $\Rightarrow \left\{\begin{align}&a=\dfrac{b}{2}\\ &c=2b\end{align}\right.$.

Vì $M\left(1;3;-2\right)$ nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$ nên ta có: $\dfrac{1}{\dfrac{b}{2}}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{-2}{2b}=1$$\Leftrightarrow  \dfrac{4}{b}=1$$\Leftrightarrow  b=4$.

Khi đó $a=2$, $c=8$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{8}=1$$\Leftrightarrow  4x+2y+z-8=0$.

Vậy $d\left(O,\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left|-8\right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left(2\right)}^{2}}+{{\left(1\right)}^{2}}}}=\dfrac{8\sqrt{21}}{21}$.

Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):\,{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}+{{\left(z-3\right)}^{2}}=8$ và điểm $A\left(1\,;\,3\,;\,2\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biết $\left(P\right)$ có dạng $ax+by+cz+6=0$. Tổng $a+b+c$ bằng

A. 4.        B. 2.        C. $-4$.        D. $-6$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1\,;\,2\,;\,3\right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,1\,;\,-1\right)$; $AI=\sqrt{6}<R$, suy ra điểm $A$ nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$, khi đó mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$, do đó $r$nhỏ nhất khi và chỉ khi $IH$ lớn nhất.

Mặt khác ta luôn có $IH\le IA$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $H$ trùng với $A$, hay $\left(P\right)\bot IA$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ có VTPT $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,1\,;\,-1\right)$và qua $A\left(1\,;\,3\,;\,2\right)$có phương trình

$2\left(x-1\right)+\left(y-3\right)-1\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow  2x+y-z-3=0\Leftrightarrow  -4x-2y+2z+6=0$

Vậy $a+b+c=-4$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  02/3/2023