0/5 trong 0 Đánh giá

Thứ tư, ngày 03/05/2023, 10:05 (GMT +7)

Phát triển câu 46 đề tham khảo toán 12 của Bộ GD&ĐT năm 2023

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(2;4;3\right)$, mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua $A$ và cách trục $Ox$ một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ $M\left(0;1;2\right)$đến mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ bằng

A. 1.       B. 2.       C. 3.        D. 4.

Lời giải:

+ Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của A trên trục $Ox\Rightarrow A'\left(2;0;0\right).$

+ Để khoảng cách từ trục $Ox$ đến $\left(\alpha\right)$là lớn nhất thì $\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}}=\overrightarrow{A'A}=\left(0;4;3\right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng$\left(\alpha\right)$là: $4\left(y-4\right)+3(z-3)=0\Leftrightarrow  4y+3z-25=0$

Suy ra $d\left(M,\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left|4.1+2.3-25\right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=3.$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=2+4t\\ &y=-6t\\ &z=-1-8t\end{align}\right.,t\in \mathbb{R}$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-7}{-6}=\dfrac{y-2}{9}=\dfrac{z}{12}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d$ và $\Delta $. Khoảng cách từ điểm $M\left(1;2;3\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{152}{\sqrt{870}}.$        B. $\dfrac{125}{\sqrt{870}}.$        C. $\dfrac{512}{\sqrt{870}}.$          D. $\dfrac{215}{\sqrt{870}}.$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left(2;0;-1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(4;-6;-8\right)$ ; đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $B\left(7;2;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{b}=\left(-6;9;12\right)$.

Ta có $\dfrac{4}{-6}=\dfrac{-6}{9}=\dfrac{-8}{12}$ suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Mặt khác ta thấy $A\left(2;0;-1\right)\notin \Delta $.

Vậy $d\text {//}\Delta $.

Lấy điểm $C\left(6;-6;-9\right)\in d$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-1;-8;-9\right);\overrightarrow{BA}=\left(-5;-2;-1\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]=\left(10;-44;-38\right)=2\left(5;-22;-19\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;0;-1\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;-22;-19\right)$ có phương trình là :

$5x-22y-19z-29=0$.

Vậy $d\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|5.1-22.2-19.3-29\right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left(-22\right)}^{2}}+{{\left(-19\right)}^{2}}}}=\dfrac{125}{\sqrt{870}}$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó côsin của góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right):-x+3y-3z+2023=0$ bằng

A. $\dfrac{-1}{3\sqrt{19}}.$        B. $\dfrac{1}{3\sqrt{13}}.$        C. $\dfrac{1}{3\sqrt{19}}.$        D. $\dfrac{13}{3\sqrt{19}}.$

Lời giải:

Lấy $B\left(2;1;1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;-1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(2;4;4\right)=2\left(1;2;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;2;2\right)$.

Gọi $\alpha$là góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$

Ta có $\cos \alpha=\left|\cos (\overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\right|}{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|.\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|}=\dfrac{\left|-1+6-6\right|}{\sqrt{1+4+4}.\sqrt{1+9+9}}=\dfrac{1}{3\sqrt{19}}$

Vậy $\cos \alpha=\dfrac{1}{3\sqrt{19}}$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz,$phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $A\left(1;-7;-8\right)$, $B\left(2;-5;-9\right)$ sao cho khoảng cách từ $M\left(7;-1;-2\right)$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b;4).$ Giá trị của tổng $a+b$ là

A. 2.        B. $-1.$        C. 6.           D. 3.

Lời giải:

Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$ và $\left(P\right)$$\Rightarrow d\left(M;(P)\right)=MK$

Ta có $\Delta MHK$ vuông tại $M\Rightarrow MK\le MH$

$\Rightarrow d{{\left(M;(P)\right)}_{\max}}\Leftrightarrow  MK=MH\Leftrightarrow  K\equiv H$

Khi đó $MH\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MH}$ là 1 VTPT của (P).

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;2;-1\right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $AB$:

$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z+8}{-1}\Rightarrow H\left(t+1;2t-7;-t-8\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-6;2t-6;-t-6)\bot \overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow 1.(t-6)+2.(2t-6)-1.(-t-6)=0$

$\Leftrightarrow  6t-12=0\Leftrightarrow  t=2\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(-4;-2;-8)=-2(2;1;4)$

$\Rightarrow a=2;b=1\Rightarrow a+b=3$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;-3;2\right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ tại $A$, $B$, $C$ mà $OA=OB=OC\ne 0$?

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Gọi $A\left(a;0;0\right)$, $B\left(0;b;0\right)$, $C\left(0;0;c\right)$. Từ đó ta có $OA=\left|a\right|$, $OB=\left|b\right|$, $OC=\left|c\right|$

Mặt phẳng qua các điểm $A$,$B$,$C$ có phương trình theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\,\,\,\left(P\right)$.

Vì $M\in \left(P\right)$ nên $\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1$. Vì $OA=OB=OC\Rightarrow \left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{align}&\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\\ &\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\end{align}\right.$ $\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}=1\\ &\left|a\right|=\left|b\right|\\ &\left|b\right|=\left|c\right|\end{align}\right.$ $\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&a=b=-c=-4\\ &a=-b=c=6\\ &a=-b=-c=2\end{align}\right.$.

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left(S\right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6y-4z-2=0$, mặt phẳng $\left(\alpha\right):\,x+4y+z-11=0$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\left(\alpha\right),\,\left(P\right)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v}=\left(1;\,6;\,2\right)$ và $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là

A. $2x-y+2z-2=0$ và $x-2y+z-21=0$.        B. $x-2y+2z+3=0$ và $x-2y+z-21=0$.        C. $2x-y+2z+3=0$ và $2x-y+2z-21=0$.        D. $2x-y+2z+5=0$ và $2x-y+2z-2=0$.

Lời giải:

$\left(S\right)$ có tâm $I\left(1;\,-3;\,2\right)$ và bán kính $R=4$. Vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha\right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}}=\left(1;\,4;\,1\right)$.

Suy ra VTPT của $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[\overrightarrow{{{n}_{\alpha}}},\,\overrightarrow{v}\right]$$=\left(2;\,-1;\,2\right)$.

Do đó $\left(P\right)$ có dạng: $2x-y+2z+d=0$.

Mặt khác $\left(P\right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$ nên $d\left(I,\,\left(P\right)\right)=4$

Hay $\dfrac{\left|2+3+4+d\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4$ $\Rightarrow \left[\begin{align}&d=-21\\ &d=3\end{align}\right.$.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\,\left\{\begin{align}&x=1+2t\\ &y=-3-t\\ &z=-4+3t\end{align}\right.$ và điểm$A\left(-3;6;-3\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và có khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất là

A. $\left(P\right):\,\,x-4y-2z-21=0.$        B. $\left(P\right):\,2\,x-y+3z-7=0.$        C. $\left(P\right):\,\,x-2y-2z+17=0.$         D. $\left(P\right):\,\,2x+y-4z+3=0.$

Lời giải:

Ta gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left(P\right)$. Kẻ $HI\bot d$ tại $I$ $\Rightarrow AI\bot d$.

Khi đó $d\left(A,\left(P\right)\right)=AH\le d\left(A,d\right)=AI$. Mà $AI$ không đổi. Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ là lớn nhất khi chỉ khi $AI\bot \left(P\right)$ tại $I$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(1;-3;-4\right)$ và có VTCP .

Gọi $I\left(1+2t;-3-t;\,\,-4+3t\right)\in d$.

$\overrightarrow{AI}=\left(2t+4;-t-9;\,\,3t-1\right)$

Từ $\overrightarrow{AI}\bot \overrightarrow{{{a}_{d}}}\Leftrightarrow  14t+14=0\Leftrightarrow  t=-1$. Vậy $\overrightarrow{AI}=\left(2;-8;-4\right)=2\left(1;-4;-2\right)$

$\Rightarrow \left(P\right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;-2\right)$

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M\left(1;-3;-4\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;-2\right)$.

$\Rightarrow \left(P\right):\,\,x-4y-2z-21=0$

Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left(2;\,5;\,3\right)$ và đường thẳng $d:\,\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M\left(1;\,2;\,-1\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{11\sqrt{18}}{18}.$        B. $3\sqrt{2}.$        C. $\dfrac{\sqrt{11}}{18}.$         D. $\dfrac{4}{3}.$

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$; $K$ là hình chiếu của $A$ trên $\left(P\right)$.

Ta có $d\left(A,~\left(P\right)\right)=AK~\le AH$ (Không đổi)

$\Rightarrow $ GTLN của $d\left(d,\,\left(P\right)\right)$ là $AH$

 $d\left(A,~\left(P\right)\right)$ lớn nhất khi $K~\equiv H$.

Gọi $H\left(1+2t;t;2+2t\right)\in d$, suy ra $\overrightarrow{AH}=\left(2t-1;t-5;2t-1\right)$.

Vì $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow  \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow  2\left(2t-1\right)+t-5+2\left(2t-1\right)=0\Leftrightarrow  t=1$.

Nên $H\left(3;1;4\right)$, $\left(P\right)$ qua $H$ và vuông góc với $AH$.

$\Rightarrow \,\left(P\right):\,x-4y+z-3=0$

Vậy $d\left(M,\,\left(P\right)\right)=\,\dfrac{11\sqrt{18}}{18}$.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-2}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-1;3;2\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{7\sqrt{10}}{15}.$        B. $\dfrac{14\sqrt{10}}{15}.$        C. $\dfrac{7\sqrt{10}}{3}.$        D. $\dfrac{14}{\sqrt{10}}.$

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left(2;-2;1\right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left(1;3;-2\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$. Do mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\right]=\left(1;5;8\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;5;8\right)$ là $x+5y+8z-16=0$.

$\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{7\sqrt{10}}{15}$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-2=0.$ Có bao nhiêu điểm $M$thuộc $d$ sao cho $M$ cách đều gốc tọa độ $O$ và mặt phẳng $(P)$?

A. 4.        B. 0.        C. 2.           D. 1.

Lời giải:

Vì $M\in d\Rightarrow M\left(-2t;1+t;t\right).$

$M$ cách đều gốc tọa độ $O$ và mặt phẳng $(P)$ nên $OM=d\left( M;\left( P \right) \right)$ $\Rightarrow \sqrt{6{{t}^{2}}+2t+1}=\dfrac{\left| -3t-3 \right|}{3}$ $\Rightarrow t=0$.

Vậy có 1 điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1;3\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 5.        B. $\dfrac{1}{3}$.        C. 1.        D. $\dfrac{11}{3}$.

Lời giải:

Lấy $B\left(2;1;1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;-1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(2;4;4\right)=2\left(1;2;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;2;2\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2z-6=0$

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+2{{y}_{M}}+2{{z}_{M}}-6\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(-1;2;4\right)$ và $B\left(0;1;5\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $\left(P\right)$ là lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.        B. $\sqrt{3}$.        C. $\dfrac{1}{3}$.        D. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$. Khi đó ta có $BH$ là khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$. Ta luôn có $BH\le AB$ do đó khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ lớn nhất khi $H\equiv A$, khi đó $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)$  là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(-1;2;4\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;1\right)$ là  $x-y+z-1=0$.

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là $d\left(O;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;0;-2\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=1-2t\\ &y=t\\ &z=-1-t\end{align}\right.$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$. Tổng khoảng cách từ điểm $N\left(-3;-2;1\right)$ và $Q\left(-1;3;0\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.        B. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$.        C. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.        D. $\dfrac{5}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Lấy $A\left(1;0;-1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{MA}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(-1;-2;0\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(0;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-1=0$.

Vậy $\text {d}\left(N,\left(P\right)\right)+\text {d}\left(Q,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{N}}+2{{y}_{N}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}+\dfrac{\left|{{x}_{Q}}+2{{y}_{Q}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}+\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(1;0;-2\right)$; đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=1-2t\\ &y=t\\ &z=-1-t\end{align}\right.$ và ${d}':\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$. Khoảng cách giữa đường thẳng ${d}'$ và $\left(P\right)$ bằng

A. $\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.        B. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.        C. $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$.        D. $\dfrac{5}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Lấy $A\left(1;0;-1\right)\in d$ ta có $\overrightarrow{MA}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{{{u}_{d}}}\right]=\left(-1;-2;0\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $M$ và chứa $d$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(0;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-1=0$.

Đường thẳng ${d}'$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left(2;-1;1\right)$

Ta thấy $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0$$\Rightarrow {d}'\,\text {//}\left(P\right)$.

Lấy $N\left(1;-2;0\right)\in {d}'$.

Vậy $\text {d}\left({d}',\left(P\right)\right)\text {=d}\left(N,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{N}}+2{{y}_{N}}-1\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(2\,;\,3\,;\,-1\right)$; mặt phẳng $\left(P\right):2x-2y-z+5=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{\begin{align}&x=3+{{t}_{1}}\\ &y=2+2{{t}_{1}}\\ &z=5-3{{t}_{1}}\end{align}\right.$; ${{d}_{2}}:\left\{\begin{align}&x=2+2{{t}_{2}}\\ &y=3+{{t}_{2}}\\ &z=-5+{{t}_{2}}\end{align}\right.$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}$; ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Do $B\in {{d}_{1}}$ nên tọa độ $B$ có dạng $B\left(3+{{t}_{1}}\,;\,2+2{{t}_{1}}\,;\,5-3{{t}_{1}}\right)$; $C\in {{d}_{2}}$ nên tọa độ $C$ có dạng $C\left(2+2{{t}_{2}}\,;\,3+{{t}_{2}}\,;\,-5+{{t}_{2}}\right)$$\Rightarrow $$\overrightarrow{AB}=\left(1+{{t}_{1}}\,;\,-1+2{{t}_{1}}\,;\,6-3{{t}_{1}}\right)$; $\overrightarrow{AC}=\left(2{{t}_{2}}\,;\,{{t}_{2}}\,;\,-4+{{t}_{2}}\right)$.

Do $A$; $B$; $C$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&1+{{t}_{1}}=2k{{t}_{2}}\\ &-1+2{{t}_{1}}=k{{t}_{2}}\\ &6-3{{t}_{1}}=k\left(-4+{{t}_{2}}\right)\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&1+{{t}_{1}}=2k{{t}_{2}}\\ &3{{t}_{1}}-3=0\\ &-7+5{{t}_{1}}=4k\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&{{t}_{1}}=1\\ &k=-\dfrac{1}{2}\\ &{{t}_{2}}=-2\end{align}\right.$$\Rightarrow $$B\left(4\,;\,4\,;\,2\right)$; $C\left(-2\,;\,1\,;\,-7\right)$.

Vậy tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là:

$d\left(B;\left(P\right)\right)+d\left(C;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2.4-2.4-2+5\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-2\right)}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}}}+\dfrac{\left|2.\left(-2\right)-2.1+7+5\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(-2\right)}^{2}}+{{\left(-1\right)}^{2}}}}=3$.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1\,;\,1\,;\,1\right)$; $B\left(11\,;\,15\,;\,4\right)$; $C\left(3\,;\,9\,;\,-2\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=-4+3t\\ &y=-3+2t\\ &z=-2+2t\end{align}\right.$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho biểu thức $S=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(Q\right):2x+y+2z-3=0$ bằng

A. 8.        B. 9.        C. 10.        D. 11.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $E\left(-4\,;\,-3\,;\,-2\right)$ và có một vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3\,;\,2\,;\,2\right)$.

$\Rightarrow $$\overrightarrow{AE}=\left(-3\,;\,-4\,;\,-3\right)$   $\Rightarrow$ $\left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{u} \right]=\left( \left| \begin{matrix}-4 & -3  \\ 2 & 2  \\\end{matrix} \right|\,;\,\left| \begin{matrix} -3 & -3  \\   2 & 3  \\\end{matrix} \right|\,;\,\left| \begin{matrix}   -3 & -4  \\ 3 & 2  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( -2\,;\,-3\,;\,6 \right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $d$ và điểm $A$ nên có một vector pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2\,;\,3\,;\,-6\right)$.

$\Rightarrow $Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là: $2\left(x+1\right)+3\left(y-1\right)-6\left(y-1\right)=0$ hay $2x+3y-6z+5=0$.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow $ $I\left(7\,;\,12\,;\,1\right)$.

Ta có: $S=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^{2}}+{{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^{2}}=$

$=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+{{\overrightarrow{IC}}^{2}}+\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=2I{{M}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}\ge2{{\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}=const$.

Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow  $ $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$.

Khi đó đường thẳng $IM$ đi qua điểm $I\left(7\,;\,12\,;\,1\right)$ và có một vector chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(2\,;\,3\,;\,-6\right)$.

$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $IM$ là: $\left\{\begin{align}&x=7+2{{t}_{1}}\\ &y=12+3{{t}_{1}}\\ &z=1-6{{t}_{1}}\end{align}\right.$.

Do $M=IM\bigcap \left(P\right)$ nên tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{align}&x=7+2{{t}_{1}}\\ &y=12+3{{t}_{1}}\\ &z=1-6{{t}_{1}}\\ &2x+3y-6z+5=0\end{align}\right.$$\Leftrightarrow  $$\left\{\begin{align}&{{t}_{1}}=-1\\ &x=5\\ &y=9\\ &z=7\end{align}\right.$

$\Rightarrow $ $M\left(5\,;\,9\,;\,7\right)$.

Vậy $d\left(M;\left(Q\right)\right)=\dfrac{\left|2.5+9+2.7-3\right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=10$.

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(1;-1;2\right)$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa trục $Oz$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-3;1;4\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 3.        B. $\sqrt{2}$.        C. 1.        D. $3\sqrt{2}$.

Lời giải:

Ta có $\left[\overrightarrow{AO},\overrightarrow{j}\right]=\left(1;1;0\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và chứa $oz$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left(1;1;0\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):x+y=0$

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+{{y}_{M}}\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{2}$.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{align}&x=0\\ &y=3-t\\ &z=t\end{align}\right.\text {},t\in R$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ một góc ${{45}^{0}}$. Khoảng cách từ điểm $M\left(-3;2;5\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. 3.        B. $\sqrt{2}$.        C. 1.        D. $2\sqrt{2}$.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;3;0)$ và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;-1;1)$

Gọi $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;p)$ là VTPT của mặt phẳng $\left(P\right)$, khi đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}\ne 0$.

Ta có phương trình $(p):mx+ny+pz-3n=0$. Vì $\overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow n=p\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;n)$

Mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0\,;\,0\,;\,1\right)$.

Ta có: $\cos \left(\left(P\right);\left(Oxy\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{k}\right)\right|\Leftrightarrow  \cos 45{}^\circ=\dfrac{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{{{n}_{P}}}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}\Leftrightarrow  \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|n\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow  \sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=\sqrt{2}\left|n\right|\Leftrightarrow  {{m}^{2}}=0\Leftrightarrow  m=0$.

Chọn $n=1\Rightarrow \left(P\right):y+z-3=0$.

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ và  ${{d}_{2}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-2}$. Gọi mặt phẳng $\left(P\right)$ là chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ . Khoảng cách từ điểm $M\left(1;1;1\right)$ đến $\left(P\right)$ bằng

A. $\sqrt{10}$.        B. $\dfrac{1}{\sqrt{53}}$.        C. $\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.        D. $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left(2;-2;1\right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left(1;3;-2\right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$. Do mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left(P\right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\right]=\left(1;5;8\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(2;6;-2\right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;5;8\right)$ là $x+5y+8z-16=0$.

Vậy $\text {d}\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|{{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16\right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ đi qua điểm $M\left(1;2;3\right)$ và cắt các trục $Ox,$ $Oy,$ $Oz$ lần lượt tại $A,$ $B,$ $C$ (khác gốc tọa độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0$. Tổng $T=a+b+c$ bằng

A. 8.        B. 14.        C. 6.         D. 11.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ cắt các trục $Ox,$ $Oy,$ $Oz$ lần lượt tại $A\left(m;0;0\right),$ $B\left(0;n;0\right),$ $C\left(0;0;p\right)$, $m,n,p\ne 0$. Ta có phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ có dạng $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.

Mà $M\in \left(\alpha\right)\Leftrightarrow  \dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{p}=1$. $\left(1\right)$

Ta có $\overrightarrow{AM}=\left(1-m;2;3\right),$ $\overrightarrow{BM}=\left(1;2-n;3\right),$ $\overrightarrow{BC}=\left(0;-n;p\right),$$\overrightarrow{AC}=\left(-m;0;p\right)$.

$M$ là trực tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} &\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \\ & \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3p-2n=0 \\  & 3p-m=0 \\ \end{align} \right.$  $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $m=14;$ $n=7;$ $p=\dfrac{14}{3}$.

Suy ra $\left(\alpha\right)$ có phương trình $\dfrac{x}{14}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{3z}{14}=1\Leftrightarrow  x+2y+3z-14=0$.

Vậy $T=a+b+c=1+2+3=6$.

Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+25}{-2}$ và điểm $M\left(2;3;-1\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right):2x+by+cz+d=0$ chứa đường thẳng $\Delta $. Khi khoảng cách từ $M$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất, giá trị của $b+c+d$ bằng

A. 151.        B. 149.        C. 148.        D. 141.

Lời giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$ và đường thẳng $\Delta $.

Khi đó $MH\le MK$ nên $d{{\left(M,\left(P\right)\right)}_{\max}}=MK$.

Giả sử $K\left(5+3t;2t;-25-2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(3+3t;2t-3;-24-2t\right)$ mà $\overrightarrow{MK}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$ nên:

$3\left(3+3t\right)+2\left(2t-3\right)+2\left(24+2t\right)=0\Leftrightarrow  t=-3\Rightarrow K\left(-4;-6;-19\right)\Rightarrow \overrightarrow{MK}=\left(-6;-9;-18\right)$

Chọn $\overrightarrow{{{n}_{\left(P\right)}}}=\left(2;3;6\right)$ thì $\left(P\right):2x+3y+6z+140=0$

Vậy $b+c+d=149$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A\left(0;1;2\right)$ và chứa đường thẳng $\left(\Delta \right):\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{-m}.$ Giá trị $m$ thuộc khoảng nào dưới đây sao cho khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1;3\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ lớn nhất?

A. $\left(1;2\right).$        B. $\left(0;1\right).$        C. $\left(-2;-1\right).$        D. $\left(-1;0\right).$

Lời giải:

$\left(\Delta \right)$ đi qua $B\left(2;1;1\right)$ và có vtcp $\vec{u}\left(2;2;-m\right).$

$\overrightarrow{AB}\left(2;0;-1\right),\,\,\left[\overrightarrow{AB},\,\vec{u}\right]=\left(2;2m-2;4\right)=2\left(1;m-1;2\right)$

Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và nhận $\vec{n}\left(1;m-1;2\right)$ làm vtpt nên có phương trình:

$x+\left(m-1\right)y+2z-3-m=0$

$d\left(M;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|9-2m\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}}$

Đặt $f\left(m\right)=\dfrac{\left|9-2m\right|}{\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}}$

$\Rightarrow {f}'\left(m\right)=\dfrac{14{{m}^{2}}-57m-27}{\left|9-2m\right|{{\left(\sqrt{{{m}^{2}}-2m+6}\right)}^{3}}},$ với $m\ne \dfrac{9}{2},$ ${f}'\left(m\right)=0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&m=\dfrac{9}{2}\\ &m=\dfrac{-3}{7}\end{align}\right.$

Bảng biến thiên

Vậy $maxf\left(m\right)=\dfrac{\sqrt{345}}{5}$ tại $m=\dfrac{-3}{7}.$

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(8;-8;8)$. Gọi $M$ là điểm sao cho $MA=3MO$ (Với $O$ là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right):\,\,2x+2y+z+19=0$ đạt giá trị nhỏ nhất là

A. $6+3\sqrt{3}$.        B. $3\sqrt{3}$.        C. $6-3\sqrt{3}$.         D. 6.

Lời giải:

Gọi $M\left(x;y;z\right)$. Khi đó $MA=3MO$

$\Leftrightarrow  {{\left(x-8\right)}^{2}}+{{\left(y+8\right)}^{2}}+{{\left(z-8\right)}^{2}}=9\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\right)\Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y+2z-24=0$

Suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa $MA=3MO$ là mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I\left(-1;1;-1\right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}.$

Vì $d\left(I,\left(P\right)\right)=6>R$ nên $\left(P\right)$ không cắt $\left(S\right)$.

Do đó khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất là

${{d}_{\min}}=d\left(I,\left(P\right)\right)-R=6-3\sqrt{3}.$

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu$\left(S\right):\,\,{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}+{{\left(z-1\right)}^{2}}=16$, điểm $A\left(1\,;\,0\,;\,2\right)$. Gọi mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ và cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left(C\right)$ có diện tích nhỏ nhất. Khoảng cách từ $M\left(2;-1;4\right)$ đến $\left(P\right)$ là

A. $\dfrac{1}{3}$.        B. 2.        C. $\dfrac{5}{3}$.        D. 6.

Lời giải:

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1\,;\,2\,;\,1\right)$, bán kính $R=4$.

Ta có $IA=3<R$$\Rightarrow A$ nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$.

Do đó mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ luôn cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left(C\right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$.

Ta luôn có $IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}$.

Diện tích của hình tròn $\left(C\right)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tức là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow  H\equiv A$.

Khi đó $IA\bot \left(P\right)$ $\Rightarrow $ mặt phẳng $\left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,-2\,;\,1\right)$ làm một VTPT.

$\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$: $2\left(x-1\right)-2y+\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow  2x-2y+z-4=0.$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là $d\left(M,\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|4+2+4-4\right|}{3}=2$.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa điểm $M\left(1;3;-2\right)$, cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $\dfrac{OA}{1}=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{OC}{4}$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ bằng

A. $\dfrac{8\sqrt{21}}{21}$.        B. $\dfrac{2\sqrt{12}}{3}$.        C. $\dfrac{\sqrt{21}}{21}$.        D. $\dfrac{7\sqrt{21}}{21}$.

Lời giải:

Phương trình mặt chắn cắt tia $Ox$ tại $A\left(a;0;0\right)$, cắt tia $Oy$ tại $B\left(0;b;0\right)$, cắt tia $Oz$ tại $C\left(0;0;c\right)$ có dạng là $\left(P\right)$: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$,$c>0$).

Theo đề: $\dfrac{OA}{1}=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{OC}{4}$ $\Leftrightarrow  \dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{4}$ $\Rightarrow \left\{\begin{align}&a=\dfrac{b}{2}\\ &c=2b\end{align}\right.$.

Vì $M\left(1;3;-2\right)$ nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$ nên ta có: $\dfrac{1}{\dfrac{b}{2}}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{-2}{2b}=1$$\Leftrightarrow  \dfrac{4}{b}=1$$\Leftrightarrow  b=4$.

Khi đó $a=2$, $c=8$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{8}=1$$\Leftrightarrow  4x+2y+z-8=0$.

Vậy $d\left(O,\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left|-8\right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left(2\right)}^{2}}+{{\left(1\right)}^{2}}}}=\dfrac{8\sqrt{21}}{21}$.

Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):\,{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}+{{\left(z-3\right)}^{2}}=8$ và điểm $A\left(1\,;\,3\,;\,2\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biết $\left(P\right)$ có dạng $ax+by+cz+6=0$. Tổng $a+b+c$ bằng

A. 4.        B. 2.        C. $-4$.        D. $-6$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(-1\,;\,2\,;\,3\right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,1\,;\,-1\right)$; $AI=\sqrt{6}<R$, suy ra điểm $A$ nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $\left(P\right)$, khi đó mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$, do đó $r$nhỏ nhất khi và chỉ khi $IH$ lớn nhất.

Mặt khác ta luôn có $IH\le IA$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $H$ trùng với $A$, hay $\left(P\right)\bot IA$.

Mặt phẳng $\left(P\right)$ có VTPT $\overrightarrow{IA}=\left(2\,;\,1\,;\,-1\right)$và qua $A\left(1\,;\,3\,;\,2\right)$có phương trình

$2\left(x-1\right)+\left(y-3\right)-1\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow  2x+y-z-3=0\Leftrightarrow  -4x-2y+2z+6=0$

Vậy $a+b+c=-4$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  02/3/2023

Đánh giá và nhận xét

Đánh giá trung bình

(0 đánh giá)

0

  • 5
    0 đánh giá
  • 4
    0 đánh giá
  • 3
    0 đánh giá
  • 2
    0 đánh giá
  • 1
    0 đánh giá

Đánh giá*

Bạn cảm thấy thế nào về bài viết này

Chưa có bài đánh giá.
Bài viết liên quan

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 CÁC (...)

  • Ngày đăng 15/03/2023
  • Lượt xem 3148 lượt xem
Dành cho học sinh khá giỏi ôn luyện

Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz

  • Ngày đăng 20/03/2023
  • Lượt xem 863 lượt xem
Dành ôn luyện thi tốt nghiệp THPT 2023, vận dụng và vận dụng (...)

Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian m (...)

  • Ngày đăng 20/03/2023
  • Lượt xem 486 lượt xem
Ôn thi TN THPT môn toán năm 2023

Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2

  • Ngày đăng 19/03/2023
  • Lượt xem 426 lượt xem
Ôn thi TN THPT môn Toán năm 2023
Nhập địa chỉ e-mail để nhận tin từ hs.edu.vn nhé !