Thứ ba, ngày 02/05/2023, 10:05 (GMT +7)
Phát triển đề tham khảo câu 47 môn toán Bộ GD&ĐT năm 2023
Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn
${\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{3}}x+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x\right)?$
A. 89. B. 48. C. 90. D. 49.
Lời giải:
Điều kiện: $x>0$.
Ta có: ${\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{3}}x+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x\right)-{\log_{3}}x\le{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x\right)-{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x}{x}\right)\le{\log_{2}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(1+\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}\right)\le{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}+1\right)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)\le0.\text {}$
Đặt: $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log_{3}}(1+t)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{t}\right)\le0$ (1).
Xét hàm số $f(t)={\log_{3}}(1+t)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{t}\right)$ có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(1+t)\ln3}+\dfrac{24}{\left({{t}^{2}}+24t\right)\ln2}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f(8)={\log_{3}}(1+8)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{8}\right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)\le f(8)\Leftrightarrow t\le8\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}\le8\Leftrightarrow {{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}\le16$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
Ta có: ${{(x-4)}^{2}}\le16\Leftrightarrow 0\le x\le8$, mà $x>0$ nên $0<x\le8$.
Với $x=1,x=7\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 10 cặp.
Với $x=2,x=6\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.
Với $x=3,x=5\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.
Với $x=4\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 9 cặp.
Với $x=8\Rightarrow y=0$ có 1 cặp.
Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 2. Có bao nhiêu bộ $\left(x;y\right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le x,y\le2020$ thỏa mãn$\left(xy+2x+4y+8\right){\log_{3}}\left(\dfrac{2y}{y+2}\right)\le\left(2x+3y-xy-6\right){\log_{2}}\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)$?
A. 4034. B. 2. C. 2017. D. 2017x2020.
Lời giải:
+ Điều kiện $\left\{ \begin{align}& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\& \frac{2x+1}{x-3}>0,\frac{2y}{y+2}>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\ & x>3,y>0 \\ \end{align} \right.$.
BPT cho có dạng $\left(x-3\right)\left(y-2\right){\log_{2}}\left(\dfrac{x+4}{x-3}+1\right)+\left(x+4\right)\left(y+2\right){\log_{3}}\left(\dfrac{y-2}{y+2}+1\right)\le0$.
+ Xét $y=1$ thì thành $-\left(x-3\right){\log_{2}}\left(\dfrac{x+4}{x-3}+1\right)+3\left(x+4\right){\log_{3}}\left(\dfrac{2}{3}\right)\le0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>3$ vì
$-\left(x-3\right)<0;{\log_{2}}\left(\dfrac{x+4}{x-3}+1\right)>{\log_{2}}\left(0+1\right)=0;3\left(x+4>0\right);{\log_{3}}\dfrac{2}{3}<0$.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng $2017$ bộ $\left(x;y\right)=\left(x,1\right)$ với $4\le x\le2020,x\in \mathbb{N}$.
+ Xét $y=2$ thì thành $4\left(x+4\right){\log_{3}}1\le0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $4\le x\le2020,x\in \mathbb{N}$.
Trường hợp này cho ta $2017$ cặp $\left(x;y\right)$ nữa.
+ Với $y>2,x>3$ thì $VT\left(*\right)>0$ nên không xảy ra.
Vậy có đúng 4034 bộ số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn $0<y<2020$ và ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{\log_{3}}{{y}^{3}}$?
A. 9. B. 7. C. 8. D. 2019.
Lời giải:
Ta có: ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{\log_{3}}{{y}^{3}}$ $\Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x-6=9y+3{\log_{3}}y$
$\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-2=3y+{\log_{3}}y$ $\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-1=3y+{\log_{3}}\left(3y\right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+x-1={{3}^{{\log_{3}}\left(3y\right)}}+{\log_{3}}\left(3y\right)$.
Xét hàm số $f\left(t\right)={{3}^{t}}+t$. Ta có: ${f}'\left(t\right)=1+{{3}^{t}}.\ln3>0,\,\,\forall t$.
Suy ra hàm số $f\left(t\right)$ liên tục và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\Leftrightarrow f\left(x-1\right)=f\left({\log_{3}}\left(3y\right)\right)\Leftrightarrow x-1={\log_{3}}\left(3y\right)\Leftrightarrow x-2={\log_{3}}y\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}$.
Vì $y\in \left(0;2020\right)$ nên ${{3}^{x-2}}<2020$$\Leftrightarrow x-2<{\log_{3}}2020\Leftrightarrow x<2+{\log_{3}}2020$
Do $x;y\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{2;3;4;5;6;7;8\right\}$. Ứng với mỗi giá trị nguyên của $x$ cho ta 1 giá trị nguyên của $y$. Vậy có 7 cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với số nguyên $y$ có tối đa $1000$ số nguyên $x$ thỏa mãn ${{3}^{y-2x}}\ge{\log_{5}}\left(x+{{y}^{2}}\right)$.
A. 63. B. 17. C. 61. D. 20.
Lời giải:
Điều kiện: $x>-{{y}^{2}}$
Xét hàm số $f\left(x\right)={{3}^{y-2x}}-{\log_{5}}\left(x+{{y}^{2}}\right)$ ta có:
${f}'\left(x\right)=-{{2.3}^{y-2x}}.\ln3-\dfrac{1}{\left(x+{{y}^{2}}\right).\ln5}<0$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-{{y}^{2}};\,{{x}_{0}}\right]$. Để có tối đa 1000 số nguyên $x$ thì $f\left(-{{y}^{2}}+1001\right)<0$$\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-2002}}-{\log_{5}}1001<0\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-2002}}<{\log_{5}}1001$
$\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+y-2002-{\log_{3}}\left({\log_{5}}1001\right)<0\Leftrightarrow -31,94<y<31,44$.
Vậy có 63 giá trị nguyên của $y$.
Câu 5. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện $x\le2023$ và $3\left({{9}^{y}}+2y\right)+2\le x+{\log_{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}$?
A. 3780. B. 3778. C. 2. D. 3776.
Lời giải:
Ta có $3\left({{9}^{y}}+2y\right)+2\le x+{\log_{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}\Leftrightarrow {{3.9}^{y}}+6y+2\le x+3{\log_{3}}\left(x+1\right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left(2y+1\right)\le\left(x+1\right)+3{\log_{3}}\left(x+1\right)$. (*)
Xét hàm số $f\left(t\right)={{3}^{t}}+3t$ có ${f}'\left(t\right)={{3}^{t}}.\ln3+3>0,\text {}\forall t$.
Suy ra hàm số $f\left(t\right)={{3}^{t}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left(*\right)\Leftrightarrow f\left(2y+1\right)\le f\left({\log_{3}}\left(x+1\right)\right)\Leftrightarrow 2y+1\le{\log_{3}}\left(x+1\right)\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}-1\le x$.
Vì $x\le2023$ nên ${{3}^{2y+1}}-1\le2023\Leftrightarrow y\le\dfrac{{\log_{3}}2023-1}{2}\approx 2,96$.
Với giả thiết $y$ nguyên dương suy ra $y\in \left\{1;2\right\}$.
Với $y=1$ có $26\le x\le2023$ suy ra có 1998 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.
Với $y=2$ có $242\le x\le2023$ suy ra có 1782 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.
Vậy có tất cả 3780 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 6. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x\,;\,y\right)$ thỏa mãn $1\le x\le2023$ và $x+{{x}^{2}}-{{9}^{y}}={{3}^{y}}$.
A. 2020. B. 1010. C. 6. D. 7.
Lời giải:
Ta có $x+{{x}^{2}}-{{9}^{y}}={{3}^{y}}\Leftrightarrow x+{{x}^{2}}={{3}^{y}}+{{\left({{3}^{y}}\right)}^{2}}$ (1).
Xét hàm $f(t)=t+{{t}^{2}}$, $\left(t>0\right)$.
Ta có: ${{f}^{'}}(t)=1+2t>0,\,\forall t>0$ $\Rightarrow f(t)$ là hàm đồng biến trên $\left(0\,;\,+\infty \right)$.
Vì vậy (1) $\Leftrightarrow f(x)=f\left({{3}^{y}}\right)\Leftrightarrow x={{3}^{y}}$.
Theo giả thiết $1\le x\le2023\Leftrightarrow 1\le{{3}^{y}}\le2023\Leftrightarrow 0\le y\le{\log_{3}}2023$.
Vì $y$ nguyên nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 7 cặp $\left(x\,;\,y\right)$ thỏa mãn.
Câu 7. Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ thuộc đoạn $[1;2023]$ thỏa mãn $y$ là số nguyên và $x+\lnx=y+{{e}^{y}}$?
A. 2021. B. 2022. C. 7. D. 6.
Lời giải:
Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{{e}^{t}}$ $\Rightarrow {f}'\left(t\right)=1+{{e}^{t}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ (1).
$x+\ln x=y+{{e}^{y}}$ $\Leftrightarrow f\left(\ln x\right)=f\left(y\right)$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\ln x=y$ $\Leftrightarrow x={{e}^{y}}$
Để $1\le x\le2020$ thì $1\le{{e}^{y}}\le2023\Leftrightarrow 0\le y\le\ln2023$.
Mà $y$ nguyên và $y\in [1;2023]$ nên $y\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$.
Với mỗi giá trị $y\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$ta có 1 giá trị $x$tương ứng thuộc đoạn $[1;2020]$.
Vậy có 7 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.
Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên$(x,y)$ thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2\right){{.4}^{x}}$.
A. 3. B. 6. C. 5. D. 7.
Lời giải:
Nhận xét ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2>0,\,\,\forall x;y$
Bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2\right){{.4}^{x}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2\right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2\right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$. Bất phương trình $\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1$ $\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le0$
Đặt $f\left(t\right)={{2}^{t}}-t-1$. Ta thấy $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$.
Ta có ${f}'\left(t\right)={{2}^{t}}\ln2-1$
${f}'\left(t\right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln2=1\Leftrightarrow t={\log_{2}}\left(\dfrac{1}{\ln2}\right)\approx 0,52$
Từ BBT ta thấy $f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1$
$0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1$ $\Leftrightarrow {{\left(x-1\right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\Rightarrow {{(x-1)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow 0\le x\le 2$
- Với $x=0\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
- Với $x=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Rightarrow y=0;y=\pm 1$ ta có 3 cặp
- Với $x=2\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
Vậy có tất cả 5 cặp $(x,y)$ thỏa mãn.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $y$ để bất phương trình ${{6}^{{{x}^{2}}}}+9y{{.3}^{x}}\le{{3}^{{{x}^{2}}}}y+{{2}^{{{x}^{2}}}}{{.3}^{x+2}}$ có 5 giá trị $x$nguyên?
A. 65024. B. 65021. C. 65022. D. 65023.
Lời giải:
Biến đổi bất phương trình ${{6}^{{{x}^{2}}}}+9y{{.3}^{x}}\le{{3}^{{{x}^{2}}}}y+{{2}^{{{x}^{2}}}}{{.3}^{x+2}}$
$\begin{align}&\Leftrightarrow ({{3}^{{{x}^{2}}}}{{.2}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}}}y)+(9y{{.3}^{x}}-{{2}^{{{x}^{2}}}}{{.3}^{x+2}})\le 0\\ &\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}({{2}^{{{x}^{2}}}}-y)+{{9.3}^{x}}(y-{{2}^{{{x}^{2}}}})\le 0\\ &\Leftrightarrow ({{2}^{{{x}^{2}}}}-y)({{3}^{{{x}^{2}}}}-{{9.3}^{x}})\le 0\end{align}$
$\left({{3}^{{{x}^{2}}-x}}-9\right)\left({{2}^{{{x}^{2}}}}-y\right)\le 0$ (1)
- Th1: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-x}}-9=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=2\Leftrightarrow \left[\begin{align}&x=-1\\ &x=2\end{align}\right.$ là nghiệm của bất phương trình (1).
- Th2: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-x}}-9>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x>2\Leftrightarrow \left[\begin{align}&x<-1\\ &x>2\end{align}\right.$.
Khi đó $(1)\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}\le y\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le{\log_{2}}y\,\,(2)$
Nếu $y<1$ thì (2) vô nghiệm.
Nếu $y\ge 1$ thì $(2)\Leftrightarrow -\sqrt{{\log_{2}}y}\le x\le\sqrt{{\log_{2}}y}$.
Do đó, để (1) có 5 nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \left(\left(-\infty ;-1\right)\cup\left(2;+\infty \right)\right)\cap\left[-\sqrt{{\log_{2}}y};\sqrt{{\log_{2}}y}\right]$ có 3 giá trị nguyên $\sqrt{{\log_{2}}y}\in \left[3;4\right)\Leftrightarrow 512\le y<65536$ (thỏa đk $y\ge 1$). Suy ra có 65024 giá trị $y$ nguyên thỏa mãn.
- Th3: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-x}}-9<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<2\Leftrightarrow -1<x<2$. Vì $\left(-1;2\right)$ chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị $y$ nào để bất phương trình (1) có 5 nghiệm nguyên.
Vậy có tất cả 65024 giá trị $y$ nguyên thỏa ycbt.
Câu 10. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{3}}\left(2x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+48x\right)?$
A. 189. B. 196. C. 190. D. 168.
Lời giải:
Điều kiện: $x>0$.
Ta có: ${\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{3}}\left(2x\right)+{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+48x\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x\right)-{\log_{3}}\left(2x\right)\le{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+48x\right)-{\log_{2}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x}{2x}\right)\le{\log_{2}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+48x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(1+\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}\right)\le{\log_{2}}\left(1+\dfrac{48x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{3}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}+1\right)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{48x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)\le0.\text {}$
Đặt: $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log_{3}}(1+t)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{t}\right)\le0$ (1).
Xét hàm số $f(t)={\log_{3}}(1+t)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{t}\right)$ có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(1+t)\ln3}+\dfrac{24}{\left({{t}^{2}}+24t\right)\ln2}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f(8)={\log_{3}}(1+8)-{\log_{2}}\left(1+\dfrac{24}{8}\right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)\le f(8)\Leftrightarrow t\le8\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2x}\le 8\Leftrightarrow {{(x-8)}^{2}}+{{y}^{2}}\le64$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
Ta có: ${{(x-8)}^{2}}\le64\Leftrightarrow 0\le x\le16$, mà $x>0$ nên $0<x\le16$.
Với $x=1,x=15\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.
Với $x=2,x=14\Rightarrow y=\{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Với $x=3,x=13\Rightarrow y=\{\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 26 cặp.
Với $x=4;x=12\Rightarrow y=\{\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 26 cặp.
Với $x=5,x=11\Rightarrow y=\{\pm 7;\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 30 cặp.
Với $x=6;x=10\Rightarrow y=\{\pm 7;\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 30 cặp.
Với $x=7,x=9\Rightarrow y=\{\pm 7;\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 30 cặp.
Với $x=8\Rightarrow y=\{\pm 8;\pm 7;\pm 6;\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ có 17 cặp.
Với $x=16\Rightarrow y=0$ có 1 cặp.
Vậy có 196 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 11. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $x$ và $y$ sao cho đẳng thức sau được thỏa mãn ${\log_{2022}}{{\left({{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023\right)}^{{{y}^{2}}+101}}\le20y+1$?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Lời giải:
Ta có ${\log_{2022}}{{\left({{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023\right)}^{{{y}^{2}}+101}}\le20y+1\Leftrightarrow {\log_{2022}}\left({{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023\right)\le\dfrac{20y+1}{{{y}^{2}}+101}$
$VT={\log_{2022}}\left({{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2023\right)={\log_{2022}}\left({{\left({{2}^{x}}-1\right)}^{2}}+2022\right)\ge1$. Dấu bằng xảy ra khi $x=0$.
$VP=f\left(y\right)=\dfrac{20y+1}{{{y}^{2}}+101};f'\left(y\right)=\dfrac{-20{{y}^{2}}-2y+2020}{{{\left({{y}^{2}}+101\right)}^{2}}}$, $f'\left(y\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}&y=10\\ &y=-\dfrac{101}{10}\end{align}\right.$
BBT:
Từ BBT suy ra $VP\le1$. Dấu bằng xảy ra khi $y=10$.
Vậy đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow VT=VP=1\Leftrightarrow \left(x;y\right)=\left(0;10\right)$.
Câu 12. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện $x\le2020$ và $3\left({{9}^{y}}+2y\right)\le x+{\log_{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}-2$?
A. 4. B. 2. C. 3772. D. 3774.
Lời giải:
Ta có $3\left({{9}^{y}}+2y\right)\le x+{\log_{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}-2\Leftrightarrow {{3.9}^{y}}+6y\le x+3{\log_{3}}\left(x+1\right)-2$
$\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}+3\left(2y+1\right)\le\left(x+1\right)+3{\log_{3}}\left(x+1\right)$. (*)
Xét hàm số $f\left(t\right)={{3}^{t}}+3t$ có ${f}'\left(t\right)={{3}^{t}}.\ln3+3>0,\text {}\forall t$.
Suy ra hàm số $f\left(t\right)={{3}^{t}}+3t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $\left(*\right)\Leftrightarrow f\left(2y+1\right)\le f\left({\log_{3}}\left(x+1\right)\right)\Leftrightarrow 2y+1\le{\log_{3}}\left(x+1\right)\Leftrightarrow {{3}^{2y+1}}-1\le x$.
Vì $x\le2020$ nên ${{3}^{2y+1}}-1\le2020\Leftrightarrow y\le\dfrac{{\log_{3}}2021-1}{2}\approx 2,9$.
Với giả thiết $y$ nguyên dương suy ra $y\in \left\{1;2\right\}$.
Với $y=1$ có $26\le x\le2020$ suy ra có 1995 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.
Với $y=2$ có $242\le x\le2020$ suy ra có 1779 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn.
Vậy có tất cả 3774 cặp số $\left(x;y\right)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 13. Có bao nhiêu cặp số nguyên không âm $\left(x;y\right)$ thoả mãn điều kiện ${\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}+1\ge{\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{2x+3y+4}$?
A. 43. B. 49. C. 42. D. 45.
Lời giải:
Với $x,y\ge0$. Ta có ${\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}+1\ge{\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{2x+3y+4}$$\Leftrightarrow {\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge{\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{2x+3y+4}-1$$\Leftrightarrow {\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge{\log_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{4x+6y+8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{4x+6y+8}$.
Đặt $a={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5;b=4x+6y+8\left(a,b>0\right)$.
Suy ra $\dfrac{a+1}{b+1}\ge\dfrac{a}{b}$$\Leftrightarrow \left(a+1\right).b\ge a\left(b+1\right)$$\Leftrightarrow b\ge a$.
Do đó $4x+6y+8\ge{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5\Leftrightarrow {{\left(x-2\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}\le16$.
Suy ra $-4\le x-2\le4\Leftrightarrow -2\le x\le6$; mà $x\ge 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên ta có có các trường hợp sau
Trường hợp 1: $x=0\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le 12\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2}\le y\le3+2\sqrt{3}$.
Do $y\ge0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 2: $x=1\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le15\Leftrightarrow 3-\sqrt{15}\le y\le 3+\sqrt{15}$.
Do $y\ge0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 3: $x=2\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le16\Leftrightarrow -1\le y\le7$.
Do $y\ge0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}$.
Suy ra có 8 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 4: $x=3\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le15\Leftrightarrow 3-\sqrt{15}\le y\le3+\sqrt{15}$.
Do $y\ge0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 5: $x=4\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le15\Leftrightarrow 3-2\sqrt{3}\le y\le3+2\sqrt{3}$.
Do $y\ge0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 6: $x=5\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le7\Leftrightarrow 3-\sqrt{7}\le y\le3+\sqrt{7}$.
Do $y\ge0$ và nên $y\in \left\{1;2;3;4;5\right\}$.
Suy ra có 5 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Trường hợp 7: $x=6\Rightarrow {{\left(y-3\right)}^{2}}\le0\Rightarrow y=3$.
Suy ra có 1 cặp $\left(x;y\right)$ thoả mãn.
Vậy có tất cả 42 cặp số nguyên không âm $\left(x;y\right)$ thoả mãn điều kiện bài toán.
Câu 14. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log_{5}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y\right)+{\log_{4}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{5}}y+{\log_{4}}\left(2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8y\right)$?
A. 12. B. 13. C. 11. D. 10.
Lời giải:
Điều kiện: $y>0$.
Ta có:
Bpt $\Leftrightarrow {\log_{5}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y\right)-{\log_{5}}y\le{\log_{4}}\left(2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8y\right)-{\log_{4}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y}{y}\right)\le{\log_{4}}\left(\dfrac{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}+1\right)\le{\log_{4}}\left(2+\dfrac{8y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left(\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}+1\right)-{\log_{4}}\left(2+\dfrac{8y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\right)\le0$
Đặt: $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log_{5}}(t+1)-{\log_{4}}\left(2+\dfrac{8}{t}\right)\le0$ (1).
Xét hàm số $f(t)={\log_{5}}(t+1)-{\log_{4}}\left(2+\dfrac{8}{t}\right)\le0$
có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(1+t)\ln5}+\dfrac{4}{\left({{t}^{2}}+4t\right)\ln4}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f(4)={\log_{5}}(4+1)-{\log_{4}}\left(2+\dfrac{8}{4}\right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)\le f(4)\Leftrightarrow t\le4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}\le4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\le4$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$ bằng cách vẽ đường tròn có phương trình trên hệ trục toạ độ ${{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4$. Ta đếm được 12 điểm thoả mãn.
Muốn bài khó hơn ta biến đổi bất phương trình
${\log_{5}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y\right)+{\log_{4}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)-\dfrac{1}{2}\le{\log_{5}}y+{\log_{4}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y\right)$?.
Câu 15. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log_{4}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+12y\right)+{\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\right)\le{\log_{4}}y+{\log_{3}}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+24y\right)?$
A. 14. B. 13. C. 12. D. 15.
Lời giải:
Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0$
Ta có:
${\log_{4}}\left(t+12y\right)+{\log_{3}}\left(t\right)\le{\log_{4}}y+{\log_{3}}\left(t+24y\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(\dfrac{t+12y}{y}\right)\le{\log_{3}}\left(\dfrac{t+24y}{t}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(12+m\right)\le{\log_{3}}\left(1+\dfrac{24}{m}\right)\quad\quad$ Đặt $m=\dfrac{t}{y}\quad\left(m>0\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(12+m\right)-{\log_{3}}\left(1+\dfrac{24}{m}\right)\le0$ $\left(*\right)$
Đặt $f\left(m\right)={\log_{4}}\left(12+m\right)-{\log_{3}}\left(1+\dfrac{24}{m}\right)$
$f'\left(m\right)=\dfrac{1}{\left(12+m\right)\ln4}+\dfrac{24}{{{m}^{2}}}\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{24}{m}\right)\ln3}>0,\forall m>0$
Suy ra hàm số $f\left(m\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Mà $f\left(4\right)=0$ nên $f\left(m\right)\le0\Leftrightarrow f\left(m\right)\le f\left(4\right)$
Từ đó suy ra: $0<m\le4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}\le4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}\le4$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
Với $x=\pm 2\Rightarrow {{\left(y-2\right)}^{2}}\le0\Rightarrow y=2$ nên có 2 cặp.
Với $x=\pm 1\Rightarrow {{\left(y-2\right)}^{2}}\le3\Rightarrow y=1;2;3$ nên có 6 cặp.
Với $x=0\Rightarrow {{\left(y-2\right)}^{2}}\le4\Rightarrow y=0;1;2;3;4$ nên có 5 cặp.
Vậy có 13 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 16. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $2\le x\le2023$ và ${{2}^{y}}-{\log_{2}}\left(x+{{2}^{y-1}}\right)=2x-y$?
A. 2022. B. 10. C. 2023. D. 11.
Lời giải:
Đặt $t={\log_{2}}\left(x+{{2}^{y-1}}\right)\Rightarrow {{2}^{t}}=x+{{2}^{y-1}}\Rightarrow x={{2}^{t}}-{{2}^{y-1}}$
Do đó ${{2}^{y}}-{\log_{2}}\left(x+{{2}^{y-1}}\right)=2x-y\Leftrightarrow {{2}^{y}}-t={{2}^{t+1}}-{{2}^{y}}-y$
$\Leftrightarrow {{2}^{y+1}}+y={{2}^{t+1}}+t$
Xét hàm số $f(u)={{2}^{u+1}}+u$, $u\in \mathbb{R}$
$f'\left(u\right)={{2}^{u+1}}\ln2+1>0\,\,\forall u\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow \,f\left(u\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà $f\left(y\right)=f\left(t\right)\Rightarrow y=t$ $\Leftrightarrow {\log_{2}}\left(x+{{2}^{y-1}}\right)=y\Leftrightarrow x+{{2}^{y-1}}={{2}^{y}}$
$\Leftrightarrow 2x={{2}^{y}}$
Vì $2\le x\le2023$ $\Rightarrow 2\le{{2}^{y-1}}\le2023\Leftrightarrow 1\le y-1\le{\log_{2}}2023\Leftrightarrow 2\le y\le{\log_{2}}2023+1$
Mà $y$ nguyên nên $y\in \left\{2;3;...;11\right\}$
Mỗi giá trị nguyên của $y$ tương ứng cho một giá trị nguyên của $x$.
Vậy có 10 cặp cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 17. Có tất cả bao nhiêu cặp số $\left(a;b\right)$với $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn ${\log_{5}}\left(a+b\right)+{{\left(a+b\right)}^{3}}=5\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\right)+ab\left(3a+3b-5\right)+1$.
A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.
Lời giải:
Với $a,b$ là các số nguyên dương, ta có:
${\log_{5}}\left(a+b\right)+{{\left(a+b\right)}^{3}}=5\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\right)+ab\left(3a+3b-5\right)+1$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left(a+b\right)=5\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\right)+3ab\left(a+b\right)+1$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left({{a}^{3}}+{{b}^{3}}\right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={\log_{5}}\left[5\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\right)\right]+5\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\right)\,\,\,\left(1\right)$
Xét hàm số: $f\left(t\right)={\log_{5}}t+t$ trên $\left(0;+\infty \right)$.
$f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t\ln5}+1>0,\,\forall t>0$ nên hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.
Khi đó phương trình $\left(1\right)$ trở thành $f\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)=f\left[ 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right]$ $\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\left( a+b-5 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab=0\,\,\left( 2 \right) \\ & a+b-5=0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.$
Do $a,b\in \mathbb{N}_{{}}^{*}$ nên phương trình $\left(2\right)$ vô nghiệm. Từ $\left(3\right)$suy ra: $a+b=5$.
Mà $a,b$ là các số nguyên dương nên $\left\{\begin{align}&0<a<5\\ &0<b<5\\ &a+b=5\\ &a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}\end{align}\right.$.
Nên $\left(a;b\right)\in \left\{\left(1,4\right);\left(4,1\right);\left(2,3\right);\left(3;2\right)\right\}$.
Vậy có 4 cặp số $\left(a;b\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $0<y\le2023$ và ${{2}^{x}}+2x=4+4y+{\log_{2}}{{y}^{2}}$?
A. 2022. B. 10. C. 11. D. 2023.
Lời giải:
Với $0<y\le 2023$ ta có:
${{2}^{x}}+2x=4+4y+{\log_{2}}{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+2x-2=4y+2+2{\log_{2}}y$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1=2y+1+{\log_{2}}y$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1=2y+{\log_{2}}\left(2y\right)$
Đặt ${{2}^{x-1}}=u\Rightarrow x-1={\log_{2}}u\,,\left(u>0\right)$, suy ra: $u+{\log_{2}}u=2y+{\log_{2}}\left(2y\right)$. $\left(1\right)$
Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\log_{2}}t$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left(t\right)=1+\dfrac{1}{t\ln2}>0$, $\forall t>0$ nên: $\left(1\right)$$\Leftrightarrow f\left(u\right)=f\left(2y\right)\Leftrightarrow u=2y$
Khi đó ta có: $2y={{2}^{x-1}}\Leftrightarrow y={{2}^{x-2}}$ $\left(2\right)$
Theo giả thiết: $\left\{\begin{align}&y\in \mathbb{Z}\\ &0<y\le2023\end{align}\right.\Rightarrow 1\le y\le2023$, suy ra:
$\left\{ \begin{align} & x\in \mathbb{Z} \\ & 1\le {{2}^{x-2}}\le 2023 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\in \mathbb{Z} \\ & 0\le x-2\le {{\log }_{2}}2023\approx 10,982 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\in \mathbb{Z} \\ & 0\le x-2\le 10 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\in \mathbb{Z} \\ & 2\le x\le 12 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow x\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \right\}$ (có 11 số)
Từ $\left(2\right)$ ta có: Ứng với mỗi giá trị của $x$, cho duy nhất một giá trị của $y$ nên có $11$ cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $0<y\le2023$.
Câu 19. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log_{4}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y\right)+{\log_{3}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}\right)<{\log_{4}}y+{\log_{3}}\left(684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y\right)?$
A. 48. B. 56. C. 64. D. 76.
Lời giải:
Điều kiện: $y>0$.
Ta có: ${\log_{4}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y\right)+{\log_{3}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}\right)<{\log_{4}}y+{\log_{3}}\left(684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y\right)-{\log_{4}}y<{\log_{3}}\left(684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y\right)-{\log_{3}}\left(9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y}{y}\right)<{\log_{3}}\left(\dfrac{684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}\right)$$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112\right)<{\log_{3}}\left(\dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76\right)$
$\Leftrightarrow {\log_{4}}\left(\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112\right)-{\log_{3}}\left(\dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76\right)<0$
Đặt: $t=\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}(t>0)$
Bất phương trình trở thành: ${\log_{4}}(t+112)-{\log_{3}}\left(\dfrac{720}{t}+76\right)<0$ (1).
Xét hàm số $f(t)={\log_{4}}(t+112)-{\log_{3}}\left(\dfrac{720}{t}+76\right)$
có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(t+112)\ln4}+\dfrac{720}{\left(76{{t}^{2}}+720t\right)\ln3}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Mà $f(144)={\log_{4}}(144+112)-{\log_{3}}\left(\dfrac{720}{144}+76\right)=0$
Từ đó $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(144)\Leftrightarrow t<144\Leftrightarrow \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}<144\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{-16{{y}^{2}}+144y}{9}$(vì $y>0$)
Điều kiện: $-16{{y}^{2}}+144y>0\Leftrightarrow 0<y<9$
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
Với $y=1 \ hay\ y=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{128}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{2}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $14$ cặp.
Với $y=2 \ hay\ y=7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{224}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{4\sqrt{14}}{3}<x<\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $18$ cặp.
Với $y=3\ hay\ y=6\Leftrightarrow {{x}^{2}}<32\Leftrightarrow -4\sqrt{2}<x<4\sqrt{2}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Với $y=4\ hay\ y=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{320}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{5}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Vậy có 76 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $-48\le x\le 50$ và ${\log_{5}}\left(5{{x}^{2}}-10x+10\right)+{{x}^{2}}-2x\le{{25}^{y}}+2y-1$
A. 53. B. 54. C. 55. D. 99.
Lời giải:
Ta có: ${\log_{5}}\left(5{{x}^{2}}-10x+10\right)+{{x}^{2}}-2x\le{{25}^{y}}+2y-1$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}5\left({{x}^{2}}-2x+2\right)+{{x}^{2}}-2x+1\le{{5}^{2y}}+2y$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}5+{\log_{5}}\left[{{\left(x-1\right)}^{2}}+1\right]+{{\left(x-1\right)}^{2}}\le{{5}^{2y}}+2y$$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left[{{\left(x-1\right)}^{2}}+1\right]+{{\left(x-1\right)}^{2}}+1\le{{5}^{2y}}+2y\,\,\,\,\,\,\left(1\right)$
Đặt $u={\log_{5}}\left[{{\left(x-1\right)}^{2}}+1\right]$, mà $-48\le x\le50$nên $0\le u\le{\log_{5}}2402$
$\Rightarrow {{\left(x-1\right)}^{2}}+1={{5}^{u}}$
Phương trình trở thành $u+{{5}^{u}}\le2y+{{5}^{2y}}\,\,\,\,\,\,\,\left(2\right)$
Xét hàm số đặc trưng
$f(t)=t+{{5}^{t}}$ có ${f}'(t)=1+{{5}^{t}}\ln5>0,\forall t\in \left[0;{\log_{5}}2402\right]$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng$\left(0;{\log_{5}}2402\right)$.
Từ đó suy ra: $\left(2\right)\Leftrightarrow u\le2y$.
$\Rightarrow 0\le2y\le{\log_{5}}2402$
$\Leftrightarrow 0\le y\le\dfrac{{\log_{5}}2402}{2}\approx 2,41825$
$\Rightarrow y=\{0;1;2\}$
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
+ Với $y=0\Rightarrow {{\left(x-1\right)}^{2}}+1\le1\Leftrightarrow x=1$ nên có 1 cặp.
+ Với $y=1\Rightarrow {{\left(x-1\right)}^{2}}+1\le5\Leftrightarrow -2\le x-1\le\pm 2\Leftrightarrow -1\le x\le3$ nên có 4 cặp.
+ Với $y=2\Rightarrow {{\left(x-1\right)}^{2}}+1\le{{5}^{4}}\Leftrightarrow -4\sqrt{39}\le x-1\le4\sqrt{39}$
$\Leftrightarrow -23,97999\le x\le 25,97999$ nên có 49 cặp.
Vậy có 54 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Câu 21. Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn bất phương trình ${{4.2}^{\dfrac{{\log_{2}}x+3y+3}{4}}}\ge x+{{3.2}^{y+1}}$. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x-y$ nằm trong khoảng nào sau đây?
A. $\left(\dfrac{9}{50},\dfrac{1}{5}\right)$. B. $\left(\dfrac{11}{50},\dfrac{6}{25}\right)$. C. $\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{11}{50}\right)$. D. $\left(\dfrac{6}{25},\dfrac{1}{4}\right)$.
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Côsi: $x+{{3.2}^{y+1}}=x+{{2}^{y+1}}+{{2}^{y+1}}+{{2}^{y+1}}\ge4\sqrt[4]{x{{.2}^{3y+3}}}={{4.2}^{\dfrac{{\log_{2}}x+3y+3}{4}}}$,$(1)$.
Theo đề ra, ta có: ${{4.2}^{\dfrac{{\log_{2}}x+3y+3}{4}}}\ge x+{{3.2}^{y+1}}$,$(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $x={{2}^{y+1}}\Rightarrow P=x-y={{2}^{y+1}}-y$.
Xét hàm số: $f(y)={{2}^{y+1}}-y\Rightarrow f'(y)={{2}^{y+1}}\ln2-1,f'(y)=0\Leftrightarrow y={\log_{2}}\left(\dfrac{1}{\ln2}\right)-1$.
Khảo sát sự biến thiên, dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ nhất của $f(y)$ là
$f\left({\log_{2}}\left(\dfrac{1}{\ln2}\right)-1\right)\approx 1,914$.
Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn ${\log_{7}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)+{\log_{5}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|-5\right)-{\log_{7}}5<{\log_{7}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|+4\right)$
A. 128. B. 120. C. 144. D. 149.
Lời giải:
Điều kiện: $\left|x\right|+\left|y\right|-5>0$.
Ta có: ${\log_{5}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|-5\right)<{\log_{7}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|+4\right)-{\log_{7}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)+{\log_{7}}5$
$\Leftrightarrow {\log_{5}}\left(\left|x\right|+\left|y\right|-5\right)<{\log_{7}}\left(\dfrac{5\left|x\right|+5\left|y\right|+20}{\left|x\right|+\left|y\right|}\right)$
Đặt: $t=\left|x\right|+\left|y\right|-5\,\,(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log_{5}}\left(t\right)<{\log_{7}}\left(5+\dfrac{20}{t+5}\right)$ $\Leftrightarrow {\log_{5}}\left(t\right)-{\log_{7}}\left(5+\dfrac{20}{t+5}\right)<0$ (1).
Xét hàm số $f(t)={\log_{5}}\left(t\right)-{\log_{7}}\left(5+\dfrac{20}{t+5}\right)$ ta có ${f}'(t)=\dfrac{1}{t\ln5}+\dfrac{20}{\left[5{{\left(t+5\right)}^{2}}+20\left(t+5\right)\right]\ln7}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Ta có $f(5)={\log_{5}}5-{\log_{7}}\left(5+\dfrac{20}{10}\right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(5)\Leftrightarrow 0<t<5\Leftrightarrow \left|x\right|+\left|y\right|-5<5\Leftrightarrow 5<\left|x\right|+\left|y\right|<10$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$
Ta có: $\left|x\right|+\left|y\right|<10$, mà $\left|y\right|\ge0$ nên $\left|x\right|<10$.
Với $\left|x\right|=0\Rightarrow y=\{\pm 6;\pm 7;\pm 8;\pm 9\}$ nên có 8 cặp.
Với $\left|x\right|=1\Rightarrow y=\{\pm 5;\pm 6;\pm 7;\pm 8\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left|x\right|=2\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 5;\pm 6;\pm 7\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left|x\right|=3\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 4;\pm 5;\pm 6\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left|x\right|=4\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5\}$ có 16 cặp.
Với $\left|x\right|=5\Rightarrow y=\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left|x\right|=6\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2;\pm 3\}$ nên có 14 cặp.
Với $\left|x\right|=7\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2\}$ có 10 cặp.
Với $\left|x\right|=8\Rightarrow y=\{0;\pm 1\}$ có 6 cặp.
Với $\left|x\right|=9\Rightarrow y=\left\{0\right\}$ có 2 cặp.
Vậy có 120 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.
Nguyễn Quốc Hoàn , 02/3/2023
Đánh giá và nhận xét
Đánh giá trung bình
(1 đánh giá)
5