BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TỪ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM (phần 2)

BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TỪ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM (phần 2)

 

Câu 25.  Cho ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-3x+a=0$; ${{x}_{3}}$ và ${{x}_{4}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-12x+b=0$. Biết rằng $\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{3}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{4}}}{{{x}_{3}}}$. Tìm $a$ và $b$.

Hướng dẫn câu 25:

Phương trình ${{x}^{2}}-3x+a=0$ có hai nghiệm $\Leftrightarrow \Delta =9-4a\ge 0\Leftrightarrow a\le \frac{9}{4}$.   (1)

Phương trình ${{x}^{2}}-12x+b=0$ có hai nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '=36-b\ge 0\Leftrightarrow b\le 36$. (2)

Với điều kiện trên, theo Viet ta có: $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3{   } \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=a{      } \\ & {{x}_{3}}+{{x}_{4}}=12{ } \\  & {{x}_{3}}.{{x}_{4}}=b{      } \\ \end{align} \right. (I)$

Đặt $\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{3}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{4}}}{{{x}_{3}}}=t$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{2}}=t{{x}_{1}} \\  & {{x}_{3}}=t{{x}_{2}}={{t}^{2}}{{x}_{1}} \\ & {{x}_{4}}=t{{x}_{3}}={{t}^{3}}{{x}_{1}} \\ \end{align} \right.$

Thế vào hệ (I) ta được:  $\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+t{{x}_{1}}=3{   } \\  & {{x}_{1}}.t{{x}_{1}}=a{      } \\  & {{t}^{2}}{{x}_{1}}+{{t}^{3}}{{x}_{1}}=12{ } \\  & {{t}^{2}}{{x}_{1}}.{{t}^{3}}{{x}_{1}}=b{      } \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+t{{x}_{1}}=3{          }\left( 3 \right) \\  & {{x}_{1}}.t{{x}_{1}}=a{             }\left( 4 \right){   } \\  & {{t}^{2}}({{x}_{1}}+t{{x}_{1}})=12{   }\left( 5 \right){ } \\  & {{t}^{2}}{{x}_{1}}.{{t}^{3}}{{x}_{1}}=b{         }\left( 6 \right){  } \\ \end{align} \right.$

Thế (3) vào (5) ta được ${{t}^{2}}=4\Leftrightarrow t=\pm 2$.

Với $t=2$ thay vào (3) ta được ${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{2}}=2;{ }{{x}_{3}}=4;{ }{{x}_{4}}=8$.

Khi đó $\left\{ \begin{align}  & a={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1.2=2 \\  & b={{x}_{3}}.{{x}_{4}}=4.8=32 \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn)

Với $t=-2$ thay vào (3) ta được ${{x}_{1}}=-3\Rightarrow {{x}_{2}}=6;{ }{{x}_{3}}=-12;{ }{{x}_{4}}=24$.

Khi đó $\left\{ \begin{align}  & a={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3.6=-18 \\  & b={{x}_{3}}.{{x}_{4}}=-12.24=-288 \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy $\left\{ \begin{align}  & a=2 \\  & b=32 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& a=-18 \\ & b=-288 \\ \end{align} \right.$.

 

Câu 26.  Cho hàm số $y={{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x-2m+2\,\,\,\,\left( 1 \right)$.  Xác định $m$ để đồ thị hàm số $\left( 1 \right)$ cắt đường thẳng $y=3x-1$ tại hai điểm $A,\,B$ phân biệt sao cho $\Delta OAB$ vuông tại $O$ (với $O$ là gốc tọa độ).

Hướng dẫn câu 26:

Xét phương trình: ${{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x-2m+2=3x-1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-2m+3=0$ $\left( * \right)$

ycbt $\Leftrightarrow$ phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m<-3  \\   m>1  \\\end{matrix} \right.$

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$, ta có $\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m  \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2m+3  \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $A\left( {{x}_{1}}\,;\,3{{x}_{1}}-1 \right),B\left( {{x}_{2}}\,;\,3{{x}_{2}}-1 \right)$

$\Delta OAB$ vuông tại $O$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$ $\Leftrightarrow 10{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1=0$ $\Leftrightarrow -26m+31=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{31}{26}$ (thỏa mãn)

Vậy $m=\frac{31}{26}$.

 

Câu 27.  Cho parabol $(P): {y}=-{x}^2+4 {x}+5$ và điểm ${E}(1 ; 4)$. Tìm trên $({P})$ hai điểm ${M}, {N}$ đối xứng nhau qua điểm ${E}$.

Hướng dẫn câu 27:

+ Đường thẳng qua ${E}$ với hệ số góc $m$ có phương trình: $y=mx-m+4$ (vì cắt $({P})$ tại 2 điểm).

+ Điều kiện phương tình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

+ Dùng ${E}$ là trung điểm của ${MN}$ để giải ra ${m}=2$.

+ Đáp số $M\left( -1\,;\,0 \right)$, $N\left( 3\,;\,8 \right)$.

 

Câu 28.  Tìm ${m}$ để đường thẳng ${d}: {y}={x}-1$ cắt parabol $({P}): {y}={x}^2+{mx}+1$ tại hai điểm ${P}, {Q}$ mà độ dài đoạn ${PQ}=3$

Hướng dẫn câu 28:

Đáp số $m=1\pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

 

Câu 29.  Cho parabol $({P}): {y}=-{x}^2$ và đường thẳng $({d})$ đi qua điểm $I(0 ;-1)$ và có hệ số góc là $k(k \in R)$. Gọi ${A}, {B}$ là các giao điểm của $({P})$ và $({d})$. Giả sử ${A}, {B}$ lần lượt có hoành độ là ${x}_1, {x}_2$.

1. Tìm $k$ để trung điểm của đoạn thẳng ${AB}$ nằm trên trục tung.
2. Chứng minh rằng: $\left|x_1^3-x_2^3\right| \geq 2$.

Hướng dẫn câu 29:

1. Tìm $k$ để trung điểm của đoạn thẳng ${A B}$ nằm trên trục tung.

Đường thẳng $({d})$ có phương trình: $y=k x-1$

Xét phương tình: $-{{x}^{2}}=kx-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+kx-1=0(*)$

(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ vì $\Delta ={{k}^{2}}+4>0\left( \forall k\in R \right)$

Trung điểm $M$ của ${AB}$ có hoành độ $\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=\frac{-k}{2}$; $M$ nằm trên trục tung $\Leftrightarrow$$\frac{-k}{2}=0\Leftrightarrow k=0$.

2. Theo Viet có: $x_1+x_2=-k, x_1 x_2=-1$ ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1$.

Ta có: $\left|x_1^3-x_2^3\right|=\left|\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1 x_2\right]\right|=\left|x_1-x_2\right| \cdot\left|\left(x_1+x_2\right)^2-x_1 x_2\right|$ $=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\cdot \left| {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|$

Có $\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=k^2+4$

$\Rightarrow\left|x_1^3-x_2^3\right|=\sqrt{k^2+4} \cdot\left(k^2+1\right) \geq 2, \forall k \in R$. Đẳng thức xảy ra khi $k=0$.

 

Câu 30.  Cho hàm số $y={{x}^{2}}-2(~m+1)x-{{m}^{2}}-m-1$ $\left( {{P}_{m}} \right)$.

1. Tìm ${m}$ để đồ thị hàm số cắt trục ${Ox}$ tại 2 điểm phân biệt $x_1, x_2\left(\right.$ với $\left.x_1<x_2\right)$ sao cho $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|<4$
2. Tìm ${m}$ để qua $A\left(0 ; \frac{-17}{4}\right)$ kẻ được 2 tiếp tuyến tiếp xúc với $\left( {{P}_{m}} \right)$ sao cho 2 tiếp tuyến đó vuông góc.

Hướng dẫn câu 30:

1. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2(m+1) x-m^2-m-1=0$

Có ${ac}=-{m}^2-{m}-1<0$ với $\forall m$ nên $\left({P}_{{m}}\right)$ luôn cắt tại 2 điểm $x_1, x_2$ và $x_1<0<x_2$.

Khi đó $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|<4 \Leftrightarrow-\left(x_1+x_2\right)<4 \Leftrightarrow 2(m+1)>-4 \Leftrightarrow m>-3$.

2. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ có hệ số góc $k$, ta có phương trình $d: y=k x-\frac{17}{4}$

Xét phương trình: $x^2-2(m+1) x-m^2-m-1=k x-\frac{17}{4} \Leftrightarrow x^2-[2(m+1)+k] x-m^2-m+\frac{13}{4}=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-[2(m+1)+k]x-{{m}^{2}}-m+\frac{13}{4}=0$

Điều kiện để $d$ tiếp xúc $\left(P_m\right)$ là phương trình (1) có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta =0$

$\Leftrightarrow {{[2(m+1)+k]}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}+m-\frac{13}{4} \right)=0$ $\Leftrightarrow {{k}^{2}}+4k(m+1)+4{{(m+1)}^{2}}+4{{m}^{2}}+4m-13=0$

$\Leftrightarrow {{k}^{2}}+4k(m+1)+8{{m}^{2}}+12m-9=0\,\,\,\,(2)$

Qua $A\left(0 ; \frac{-17}{4}\right)$ kẻ được 2 tiếp tuyến đến $\left(P_m\right)$ sao cho 2 tiếp tuyến đó vuông góc khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $k_1, k_2$ sao cho $k_1 \cdot k_2=-1 \Leftrightarrow 8 m^2+12 m-9=-1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+12m-9=-1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} m=-2  \\  m=\frac{1}{2}  \\ \end{array} \right.$.

 

Câu 31.  Cho hàm số $y=f(x)={{x}^{2}}+\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-1$ có đồ thị là parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=9-x$

1. Tìm tất cả các giá trị $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\,B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thỏa mãn $2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=1$.
2. Tìm tất cả các giá trị $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số$f(x)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng 1.

Hướng dẫn câu 31:

1. Xét phương trình: ${{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-10=0$,  $\Delta '=2m+11$

${d}$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ $\Leftrightarrow m>-11/2$

Ta có $\left\{ \begin{align} & 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m-2 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-10 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{-2m-1}{3} \\  & {{x}_{2}}=\frac{-4m-5}{3} \\ & \left( \frac{-2m-1}{3} \right)\left( \frac{-4m-5}{3} \right)={{m}^{2}}-10 \\ \end{align} \right.$

Giải ra được $m=19$ và $m=-5$ thỏa mãn.  Kết luận …

2. Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align} & \frac{-2m-1}{2}\in \left( 0;1 \right) \\ & -m-5/4=1 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{-3}{2}<m<\frac{-1}{2} \\ & m=-9/4 \\ \end{align} \right.$  loại.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align} & \frac{-2m-1}{2}\ge 1 \\  & f(1)=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\le \frac{-3}{2} \\  & {{m}^{2}}+2m+1=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le \frac{-3}{2} \\ & m=0,m=-2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=-2$  thỏa mãn.

Trường hợp 3: $\left\{ \begin{align} & \frac{-2m-1}{2}\le 0 \\  & f(0)=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ge \frac{-1}{2} \\  & {{m}^{2}}-1=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ge \frac{-1}{2} \\  & m=\pm \sqrt{2} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow m=\sqrt{2}$

Vậy $m=-2;\,\,\,m=\sqrt{2}$  thỏa mãn.

 

Câu 32.  Cho hàm số $y={{x}^{2}}-2x+2$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=x+m$ .  Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ sao cho $O{{A}^{2}}\,\,+\,\,O{{B}^{2}}\,\,=\,\,82$.

Hướng dẫn câu 32:

Điều kiện ${d}$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ là $m>-1/4$  (*)

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là $A\left(x_1 ; x_1+m\right), B\left(x_2 ; x_2+m\right)$, trong đó $x_1, x_2$ là các nghiệm của (1).

Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=3, x_1 x_2=2-m$.

Ta có: $O A^2+O B^2=82 \Leftrightarrow x_1^2+\left(x_1+m\right)^2+x_2^2+\left(x_2+m\right)^2=82$  $\Leftrightarrow x_{1}^{2}+{{\left( {{x}_{1}}+m \right)}^{2}}+x_{2}^{2}+{{\left( {{x}_{2}}+m \right)}^{2}}=82$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=41$

$\Leftrightarrow 9-2(2-m)+3m+{{m}^{2}}=41$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+5m-36=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   m=4  \\   m=-9  \\\end{array} \right.$

Đối chiếu điều kiện (*) ta được $m=4$ là giá trị cần tìm.

 

Câu 33.  Cho hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+4mx+1-2m$

1) Với $m = 1$, chứng minh rằng  đồ thị của hàm số trên luôn  có hai tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( \frac{13}{8};\frac{13}{4} \right)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

2) Với mỗi giá trị của tham số $m$,  $f(x)$ có một giá trị lớn nhất. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất nói trên đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn câu 33:

1)  Với $m=1, y=-x^2+4 x-1$ có đồ thị $\left(P_1\right)$.

Gọi đường thẳng $(d)$ đi qua $A$ có hệ số góc $k$, phương trình (d): $y=k\left(x-\frac{13}{8}\right)+\frac{13}{4}$

Đường thẳng $(d)$ là tiếp tuyến với $\left(P_1\right)$ khi phương trình $-x^2+4 x-1=k\left(x-\frac{13}{8}\right)+\frac{13}{4}$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow 2{{k}^{2}}-3k-2=0$

Có $\frac{a}{c}=-1<0$ nên (*) luôn có hai nghiệm $k_1 k_2=-1$ (đpcm).

2)  $y=-x^2+4 {mx}+1-2 {~m}$ có hệ số ${a}=-1<0$ nên ${f}({x})$ có giá trị lớn nhất

$\operatorname{maxf}({x})={f}(2~{m})=4~{{{m}}^{2}}-2~{m}+1={g}({m})$

$g(m)$ có $a=4>0$ nên ${g}({m})$ đạt nhỏ nhất bằng $g\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{3}{4}.$

 

Câu 34.  Cho parabol $({P}): y=x^2-3 x+3$. Tìm tập hợp các điểm mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của $({P})$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Hướng dẫn câu 34:

Gọi ${K}\left({x}_1 ; {y}_1\right)$. Phương trình đường thẳng đi qua ${K}$ có hệ số góc $a$ dạng: $y=a x-a x_1+y_1\left(d_a\right)$

$\left({d}_{{a}}\right)$ tiếp xúc $({P}) \Leftrightarrow x^2-3 x+3=a x-a x_1+y_1(*)$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta=a^2+2\left(3-2 x_1\right) a-3+4 y_1=0$

Qua $K$ có hai tiếp tuyến của $(P)$ và hai tiếp tuyến này vuông góc nhau $\Leftrightarrow$  (*) có hai nghiệm và ${{a}_{1}}{{a}_{2}}=-1$ $\Leftrightarrow -3+4{{y}_{1}}=-1\Leftrightarrow {{y}_{I}}=\frac{1}{2}$

Tập hợp các điểm qua đó kẻ được hai tiếp tuyến của $(P)$ và hai tiếp tuyến này vuông góc nhau là đường thẳng $y=\frac{1}{2}$.

 

Câu 35.  Cho hàm số: ${y}={x}^2+(2 {~m}+1) {x}+{m}^2-1 \quad\left({P}_{{m}}\right)$

1. Chứng minh với mọi giá trị của ${m}$, đồ thị của hàm số luôn cắt đường thẳng ${d}: {y}={x}$ tại hai điểm phân biệt ${A}, {B}$ và đoạn ${AB}$ có độ dài không đổi.
2. Chứng minh rằng khi ${m}$ thay đổi, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn câu 35:

1. Phương trình $x^2+2 m x+m^2-1=0$ có $\Delta^{\prime}=1>0$  với $\forall m$,  nên ${d}$ luôn cắt $\left({P}_{{m}}\right)$.

Gọi ${A}\left({x}_1 ; {x}_1\right), {B}\left({x}_2 ; {x}_2\right)$ là hai giao điểm $\Rightarrow$ ${AB}$ = $2\sqrt{2}$  không đổi.

2. Gọi đường thẳng: ${y}={ax}+{b}$ là tiếp tuyến

Khi đó phương trình: ${x}^2+(2 {~m}+1) {x}+{m}^2-1={ax}+{b}$ có nghiệm kép với mọi ${m}$.

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+(2m+1-a)x+{{m}^{2}}-1-b=0$

$\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow 4(1-a)m+{{(1-a)}^{2}}+4(1+b)=0$ đúng với mọi $m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  1-a=0  \\   {{(1-a)}^{2}}+4(1+b)=0  \\ \end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=1  \\   b=-1  \\\end{array} \right.$

Vậy đường thẳng cố định: ${y}={x}-1$.

 

Câu 36.  Cho parabol $(P): y=x^2-2 x-3$ và đường thẳng $d: y=m x-m$ (với $m$ là tham số). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để đường thẳng ${d}$ cắt parabol $({P})$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $\frac{x_1^2-m x_1+2 m}{x_2}+\frac{x_2^2-m x_2+2 m}{x_1}=-4$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Hướng dẫn câu 36:

Phương trình hoành độ giao điểm là: ${{x}^{2}}-(2+m)x+m-3=0$

Đường thẳng ${d}$ cắt parabol ${(P)}$ tại hai điểm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta ={{m}^{2}}+16>0 \\ & m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m\ne 3$.

Theo Viet: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+2 \\  &{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m-3 \\ \end{align} \right.$, ta có: $\frac{x_{1}^{2}-m{{x}_{1}}+2m}{{{x}_{2}}}+\frac{x_{2}^{2}-m{{x}_{2}}+2m}{{{x}_{1}}}=-4$

$\Leftrightarrow x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-m(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+2m({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$

Thay vào được $3{{m}^{2}}+13m+14=0$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-2 \\  & m=-\frac{7}{3} \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy tổng các phần tử của $S$ là $-\frac{13}{3}$.

 

Câu 37.  Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $y=m x^2-2(m-1) x+3 m-6$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2 x_2=1$.

Hướng dẫn câu 37:

Xét phương trình hoành độ $m x^2-2(m-1) x+3 m-6=0$

Đồ thị hàm số $y=m x^2-2(m-1) x+3 m-6$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Tức là  $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ne 0  \\  \Delta =-2{{m}^{2}}+4m+1>0  \\ \end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  m\ne 0  \\  1-\frac{\sqrt{6}}{2}<m<1+\frac{\sqrt{6}}{2}  \\ \end{array} \right.$  (2)

Gọi $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình (1), bây giờ ta tìm điều kiện để $x_1+2 x_2=1$

Theo định lý Viet ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2(m-1)}{m}$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3m-6}{m}$

Từ đó có  $x_1=\frac{3 m-4}{m} ; x_2=\frac{2-m}{m}$. Tìm ra được $m=2, m=\frac{2}{3}$ thỏa mãn (2).

 

Câu 38.  Trong hệ tọa độ ${O x y}$, cho parabol $(P): y=x^2-3 m x+2 m^2+m+1$ và đường thẳng

$(d): y=x+2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A, B}$ sao cho diện tích tam giác ${O A B}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn câu 38:

- Xét phương trình:  $x^2-3 m x+2 m^2+m+1=x+2$ $\Leftrightarrow x^2-(3 m+1) x+2 m^2+m-1=0 \quad(*)$

Phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta=(3 m+1)^2-4\left(2 m^2+m-1\right)>0$ $\Leftrightarrow m^2+2 m+5>0, \forall m$

- Khi đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$.

Theo Viet: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=3 m+1 \\ x_1 \cdot x_2=2 m^2+m-1\end{array}\right.$.

Giả sử $A\left(x_1 ; x_1+2\right), B\left(x_2 ; x_2+2\right)$. Ta có $A B=\sqrt{2}\left|x_2-x_1\right|, d(O, d)=\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Diện tích tam giác ${O A B}$ là: $S=\frac{1}{2} A B \cdot d(O, d)=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\left|x_2-x_1\right| \cdot \sqrt{2}=\left|x_2-x_1\right|$

$S^2=\left(x_2-x_1\right)^2 \Leftrightarrow S^2=\left(x_2+x_1\right)^2-4 x_1 x_2=(3 m+1)^2-4\left(2 m^2+m-1\right)$

$\Leftrightarrow {{S}^{2}}={{m}^{2}}+2m+5={{(m+1)}^{2}}+4\ge 4$  $\Leftrightarrow S\ge 2$.  Dấu bằng xảy ra khi $m=-1$ …

 

Câu 39.  Một cửa hàng chuyên kinh doanh xe máy điện với chi phí mua vào là 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong 1 năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa số lượng tiêu thụ dòng xe này, chủ cửa hàng giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng 20 chiếc. Vậy cửa hàng phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

Hướng dẫn câu 39:

Gọi số lượng xe bán ra mỗi năm của cửa hàng là $x$ (chiếc)

Giá xe tương ứng bán ra là $27-\frac{x-600}{20}\times 0,1$ (triệu đồng)

Lợi nhuận mỗi xe là $27-\frac{x-600}{20}\times 0,1-23=\frac{1400-x}{200}$ (triệu đồng)

Lợi nhuận tương ứng thu được $P=x.\frac{1400-x}{200}=\frac{490000-{{\left( x-700 \right)}^{2}}}{200}\le 2450$ (triệu đồng)

Vậy lợi nhuận lớn nhất là 2450 triệu đồng, đạt được khi cửa hàng bán với giá 26,5 triệu đồng mỗi chiếc và tương ứng bán được 700 chiếc mỗi năm.

 

Câu 40.  Cho hàm số $y={{x}^{2}}-4{x}+3$ có đồ thị $\left( P \right)$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( {{d}_{m}} \right):y=x+m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=2$.

Hướng dẫn câu 40:

Xét phương trình:  ${{x}^{2}}-4{x}+3=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5{x}+3-m=0$  $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+3-m=0$  $\left( * \right)$.

Xét theo yêu cầu bài toán thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt và khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta =4m+13>0 \\  & 3-m\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>-\frac{13}{4} \\  & m\ne 3 \\ \end{align} \right.$.

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$. Ta có: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=2\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$ $\left( ** \right)$.

Theo định lý Viet: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-m \\ \end{align} \right.$ .

Thế vào $\left( ** \right)$ ta được: $2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn). Vậy $m=\frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Câu 41.  Cho  hàm số $y=(m-1){{x}^{2}}-2mx+m+2$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Hướng dẫn câu 41:

Với  $m=1\Rightarrow y=-2x+3$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$. Do đó $m=1$ thỏa mãn.

Với $m\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{align} & a>0 \\  & \left( -\infty ;2 \right)\subset \left( -\infty ;-\frac{b}{2{a}} \right) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-1>0 \\  & \frac{m}{m-1}\ge 2 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>1 \\  & \frac{2-m}{m-1}\ge 0 \\\end{align} \right.$  $\Leftrightarrow 1<m\le 2$.  Vậy $1\le m\le 2$ là giá trị cần tìm.

 

Câu 42.  Cho parabol $\left( P \right):y=2{{x}^{2}}+6x-1$. Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng $\Delta :y=\left( k+6 \right)x+1$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ sao cho trung điểm của đoạn thẳng ${MN}$ nằm trên đường thẳng $d:y=-2x+\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn câu 42:

Xét phương trình: $2{{x}^{2}}+6x-1=\left( k+6 \right)x+1$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-kx-2=0$ (1).

Phương trình (1) có $\Delta ={{k}^{2}}+16>0,\,\forall k\in \mathbb{R}$ nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra với mọi giá trị của tham số $k$ thì đường thẳng $\Delta$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$.

Gọi ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ lần lượt là hai nghiệm của (1). Khi đó theo Vi-et ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{k}{2}$.

Ta có $M\left( {{x}_{1}};\left( k+6 \right){{x}_{1}}+1 \right);\,N\left( {{x}_{2}};\left( k+6 \right){{x}_{2}}+1 \right)$, nên tọa độ trung điểm $I$ của ${MN}$ là $I\left( \frac{k}{4};\frac{\left( k+6 \right)k}{4}+1 \right)$.

Điểm $I\in d$ khi và chỉ khi $\frac{\left( k+6 \right)k}{4}+1=-\frac{k}{2}+\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+8k-2=0\Leftrightarrow k=-4\pm 3\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{k}^{2}}+8k-2=0$ $\Leftrightarrow k=-4\pm 3\sqrt{2}$.

Vậy $k=-4\pm 3\sqrt{2}$ thì thỏa yêu cầu bài toán.

 

Câu 43.  Cho hai tia ${Ax}$, ${By}$ với $AB=100$$\left( cm \right)$, $\widehat{xAB}={{45}^{0}}$ và $By\bot AB$. Chất điểm $X$ chuyển động trên tia ${Ax}$ bắt đầu từ $A$ với vận tốc $3\sqrt{2}$$\left( cm/s \right)$, cùng lúc đó chất điểm $Y$ chuyển động trên tia ${By}$ bắt đầu từ $B$ với vận tốc $4$$\left( cm/s \right)$. Sau $t$ (giây) chất điểm $X$ di chuyển được đoạn đường ${AM}$, chất điểm $Y$ di chuyển  được đoạn đường ${BN}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của ${MN}$.

Hướng dẫn câu 43:

Sau $t$ (giây) ta có $AM=3\sqrt{2}t{ }(cm)$, $BN=4t{ }(cm)$.

Chọn hệ trục vuông góc $A x^{\prime} y^{\prime}, A \equiv O(0 ; 0)$ như hình vẽ trên.

Gọi ${H, K}$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên trục $A x^{\prime}$ và $A y^{\prime}$.

Với $t>0$ ( tức $M \neq A$ ) ta có ${A H M K}$ là hình vuông. Suy ra $A H=A K=3 t({~cm})$.

$\Rightarrow M=(3 t ; 3 t), N=(100 ; 4 t)$. (Nói thêm là trường hợp $M \equiv A$ thì tọa độ $M$ vẫn đúng).

Khi đó $M N^2=(100-3 t)^2+t^2=10 t^2-600 t+10000=10(t-30)^2+1000 \geq 1000, \forall t \in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow M N \geq 10 \sqrt{10}, \forall t \in \mathbb{R}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=30$.

Vậy $\min M N=10 \sqrt{10} {~cm}$ khi $t=30$ giây.

 

Câu 44.  Trong mặt phẳng tọa độ ${O x y}$ cho parabol $({P}): y=x^2-4 x+3$, điểm $I(1,4)$ và đường thẳng ${d}: y=m x+m+8$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A}, {B}$ sao cho tam giác ${IAB}$ cân tại $I$

Hướng dẫn câu 44:

Xét phương trình: $x^2-4 x+3=m x+m+8 \Leftrightarrow x^2-(m+4) x-m-5=0$

Để đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt ${A}, {B} \Leftrightarrow \Delta=(m+6)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 6$.

Tam giác ${IAB}$ cân tại $I$ khi và chỉ khi $I\,,\,\,A\,,\,\,B$ không thẳng hàng và $I A^2=I B^2$

* ${I}, {A}, {B}$ không thẳng hàng $\Leftrightarrow I \notin d \Leftrightarrow 2 m+8 \neq 4 \Leftrightarrow m \neq-2$

* $I A^2=I B^2 \Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2+\left(y_1-4\right)^2=\left(x_2-1\right)^2+\left(y_2-4\right)^2$

$\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2+\left(m x_1+m+4\right)^2=\left(x_2-1\right)^2+\left(m x_2+m+4\right)^2$

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(1+m^2\right)\left(x_1+x_2\right)+2 m^2+8 m-2\right]=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}={{x}_{2}}  \\  \left( 1+{{m}^{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{m}^{2}}+8m-2=0  \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left( 1+{{m}^{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{m}^{2}}+8m-2=0$

$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+9m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  m=-2-\sqrt{3}  \\  m=-2+\sqrt{3}  \\  m=-2  \\ \end{array} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa yêu cầu đề bài là $m=-2-\sqrt{3}, m=-2+\sqrt{3}$.

 

Câu 45.  Cho $a, b \in R$ và $a>0$. Xét hai hàm số $f(x)=2 x^2-4 x+5$ và $g(x)=x^2+a x+b$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ biết giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là 8 đơn vị và đồ thị của hai hàm số trên có đúng một điểm chung.

Hướng dẫn câu 45:

Ta có giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là: $f(1)=3$

Giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ là: $g\left(-\frac{a}{2}\right)=b-\frac{a^2}{4}$

Do giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là 8 đơn vị nên ta có phương trình: $b-\frac{{{a}^{2}}}{4}+8=3\Leftrightarrow b=\frac{{{a}^{2}}}{4}-5\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Mặt khác đồ thị hai hàm số trên có đúng một điềm chung nên phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$2{{x}^{2}}-4x+5={{x}^{2}}+ax+b$  $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(a+4)x+5-b=0$

$\Delta =0\Leftrightarrow {{(a+4)}^{2}}-4(5-b)=0$

Từ (1) và (2) ta được: ${{(a+4)}^{2}}-4\left( 5-\frac{{{a}^{2}}}{4}+5 \right)=0$   $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+4a-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  a=2  \\  a=-6  \\ \end{array} \right.$

Do $a>0$ nên $a=2$ thỏa mãn. Thế $a=2$ trở lại (1) ta được $b=-4$. Vậy $a=2, b=-4$.

Câu 46.  Gọi ${A , B}$ là các giao điểm của hai đồ thị $({{P}_{1}}):y=-{{x}^{2}}+2x+4$ và  $({{P}_{2}}):y={{x}^{2}}$, (với $A$ là điểm có hoành độ nhỏ hơn hoành độ của điểm $B$). Qua $A$ vẽ đường thẳng $a$ cắt $({{P}_{1}})$ và $({{P}_{2}})$ lần lượt tại $E$ và $F$ khác $A$. Qua $B$ vẽ đường thẳng $b$ cắt $({{P}_{1}})$ và $({{P}_{2}})$ lần lượt tại $G$ và $H$ khác $B$. Chứng minh rằng: $FH\,\,//\,\,EG$.

Hướng dẫn câu 46:

Tìm được $A(-1 ;1)$, $B(2 ;4)$.  Đường thẳng ${a}$: $y=a(x+1)+1$.

$a$ cắt $({{P}_{1}})$ tại $E(3-a;4a-{{a}^{2}}+1)$.  $a$ cắt $({{P}_{2}})$ tại $F(a+1;{{a}^{2}}+2a+1)$

Đường thẳng $b$: $y=b(x-2)+4$.   $b$ cắt $({{P}_{1}})$ tại $G(-b;-{{b}^{2}}-2b+4)$

$b$ cắt $({{P}_{2}})$ tại $H(b-2;{{b}^{2}}-4b+4)$.  Chứng minh được $FH\,\,//\,\,EG$.

Câu 47. Cho hàm số $f(x)=x^2+b x+1$ với $3<b<\frac{7}{2}$. Giải bất phương trình $f(f(x))>x$.

Hướng dẫn câu 47:

Đặt $y=f(x)$

$f(f(x))>x \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=f(x) \\ f(y)>x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=f(x) \\ f(y)-f(x)>x-y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=f(x) \\ y^2+b y+1-x^2-b x-1+y-x>0\end{array}\right.\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=f(x) \\ y^2-x^2+b(y-x)+y-x>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=f(x) \\ (y-x)(y+x+b+1)>0\end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left(x^2+b x+1-x\right) \cdot\left(x^2+b x+1+x+b+1\right)>0 \Leftrightarrow\left[x^2+(b-1) x+1\right] \cdot\left[x^2+(b+1) x+b+2\right]>0$

Xét tam thức $g(x)=x^2+(b-1) x+1$ có $\Delta_1=b^2-2 b-3$

và tam thức $h(x)=x^2+(b+1) x+b+2$ có $\Delta_2=b^2-2 b-7$

Bảng xét dấu của $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Ta thấy với $3<b<\frac{7}{2}$ thì $\left\{\begin{array}{l}\Delta_1>0 \\ \Delta_2<0\end{array}\right.$

$\text{V }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{  }\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  a=1>0  \\  {{\Delta }_{2}}<0  \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow h(x)>0,\forall x\in R\text{ }$

Do đó $(*)\Leftrightarrow g(x)\cdot h(x)>0\Leftrightarrow g(x)>0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  x<\frac{1-b-\sqrt{{{b}^{2}}-2b-3}}{2}  \\   x>\frac{1-b+\sqrt{{{b}^{2}}-2b-3}}{2}  \\\end{array}\text{ } \right.$

Tập nghiệm $S=\left( -\infty ;\frac{1-b-\sqrt{{{b}^{2}}-2b-3}}{2} \right)\cup \left( \frac{1-b+\sqrt{{{b}^{2}}-2b-3}}{2};+\infty  \right)$.

 

Nguyễn Quốc Hoàn ,  01/3/2023