BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP

Câu 1. Cho hai tập hợp $A=\left\{ (2;5)\,;\,\,(5;2)\,;\,\,(7;8)\,;\,\,(8;7)\,;\,\,(4;4) \right\}$, $B=\left\{ \left. (x;y) \right|{{x}^{2}}+2x={{y}^{2}}+31,\,\,x\in \mathbb{N},\,y\in \mathbb{N} \right\}.$ Tìm tất cả các tập hợp $G$ thỏa mãn $G\,\,\cup \,\,B\,\,=\,\,A$.

Hướng dẫn câu 1:

${{x}^{2}}+2x={{y}^{2}}+31$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}=32$ $\Leftrightarrow \left( x+1+y \right)\left( x+1-y \right)=32$

Lại có $x+1+y>0$ nên $x+1+y>x+1-y>0$, $x\in \mathbb{N}\,,\,\,y\in \mathbb{N}$.

Nên $\left\{ \begin{align}  & x+1+y=32 \\  & x+1-y=1 \\ \end{align} \right.$, $\left\{ \begin{align}  & x+1+y=16 \\  & x+1-y=2 \\ \end{align} \right.$, $\left\{ \begin{align}& x+1+y=8 \\  & x+1-y=4 \\ \end{align} \right.$, tìm ra $B=\left\{ \left( 8\,;\,7 \right)\,;\,\,\left( 5\,;\,2 \right) \right\}$.

Liệt kê được 4 tập hợp $G$ thỏa mãn đề bài.

Câu 2.  Lớp 10A có 17 bạn giỏi Bơi, 10 bạn giỏi Chạy, 6 bạn giỏi cả Bơi và Chạy, 9 bạn giỏi cả Bơi và Võ, 7 bạn giỏi cả Chạy và Võ, 4 bạn giỏi đồng thời cả ba môn Bơi, Chạy, Võ. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn giỏi Võ, biết rằng trong lớp có 26 bạn giỏi ít nhất một môn (Bơi, Chạy, Võ) ?

Hướng dẫn câu 2:

Gọi $x$ là số bạn chỉ giỏi Bơi; $y$ là số bạn chỉ giỏi Chạy; $z$ là số bạn chỉ giỏi Võ.  

$a$ là số bạn chỉ giỏi Bơi và Chạy; $b$ là số bạn chỉ giỏi Bơi và Võ; $c$ là số bạn chỉ giỏi Chạy và Võ.

$d$ là số bạn giỏi cả 3 môn trên.  

Theo đề ra ta có hệ phương trình (tham khảo biểu đồ Ven)

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x+a+b+d=17  \\  y+a+c+d=10  \\  a+d=6  \\  b+d=9  \\  c+d=7 \\ d=4  \\   x+y+z+a+b+c+d=26  \\\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d=4,\,\,c=3,\,\,b=5,\,\,a=2 \\ & x=6,\,\,y=1,\,\,z=5 \\ \end{align} \right.$.  

Kết luận: 17 bạn giỏi Võ.

Câu 3.  Lớp 10A có 14 học sinh giỏi môn vẽ, 19 học sinh giỏi môn hát và 12 học sinh giỏi môn toán. Biết rằng có 11 học sinh vừa giỏi môn vẽ và môn hát, 9 học sinh vừa giỏi môn hát và môn toán, 5 học sinh vừa giỏi môn toán và môn vẽ, trong đó có đúng 10 học sinh chỉ giỏi đúng hai môn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh giỏi cả ba môn vẽ, hát, toán ?

Hướng dẫn câu 3:

Gọi ${x}$ là số học sinh giỏi cả ba môn vẽ, hát, toán.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn vẽ và hát là 11 - ${x}$.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn hát và toán là 9 - ${x}$.

Số học sinh chỉ giỏi hai môn toán và vẽ là 5 - ${x}$.

Ta có phương trình: 11 - ${x}$+ 9 - ${x}$ + 5 - ${x}$ = 10 $\Leftrightarrow $ ${x}$ = 5.

KL …

Câu 4.  Lớp $10 \mathrm{~A}$ có 36 học $\sinh$, trong đó có 22 em thích môn Toán, 14 em thích môn Văn, 17 em thích môn Anh, 6 em không thích môn nào, 7 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu ?

Hướng dẫn câu 4:

$\left\{ \begin{align} & T+TV+TA+7=22 \\ & V+TV+VA+7=14 \\ & A+TA+VA+7=17 \\ & T+V+A+TV+TA+VA+7+6=36 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow T+V+A=14$.   14 học sinh chỉ thích một trong ba môn.

Câu 5.  Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2m-3}}{\sqrt{m-x}\,-\,1}$ xác định trên khoảng $\left( -1\,;\,3 \right)$.

Hướng dẫn câu 5:

$m\,\,\ge \,\,4.$

Câu 6.  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên khoảng $\left( -1;3 \right)$.

Hướng dẫn câu 6:

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{align} & x-m+1\ge 0 \\ & -x+2m>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge m-1 \\  & x<2m \\ \end{align} \right.$

Với điều kiện $m-1<2m\Leftrightarrow m>-1$ thì hàm số có tập xác định là $D=\left[ m-1;2m \right)$

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên khoảng $\left( -1;3 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( -1;3 \right)\subset \left[ m-1;2m \right) \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-1\le -1<3\le 2m \\  & m>-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 0 \\ & m\ge \frac{3}{2} \\ & m>-1 \\\end{align} \right.$ Hệ vô nghiệm.

 Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn bài toán đã cho.

Câu 7.  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{x-2m+1}+\frac{x-1}{\sqrt{3-m-x}}$ xác định trên khoảng $\left( 2020;2021 \right).$

Hướng dẫn câu 7:

Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x\ge 2m-1 \\  & x<3-m \\ \end{align} \right.$.

Hàm số xác định trên $\left( 2020;2021 \right)\Leftrightarrow 2m-1\le 2020<2021\le 3-m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le \frac{2021}{2} \\ & m\le -2018 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m\le -2018$.

Vậy $m\in \left( -\infty ;-2018 \right]$.

Câu 8.  Cho các tập hợp khác rỗng $\left[m-1 ; \frac{m+3}{2}\right]$ và $B=(-\infty ;-3) \cup[3 ;+\infty)$. Tìm các giá nguyên dương của $m$ để $A \cap B \neq \varnothing$.

Hướng dẫn câu 8:

$A \cap B \neq \varnothing$ điều kiện là $\left\{ \begin{align} & m-1<\frac{m+3}{2} \\  & m-1<-3 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & m-1<\frac{m+3}{2} \\ & \frac{m+3}{2}\ge 3 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   m<5  \\   \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   m<-2  \\   m\ge 3  \\\end{array} \right.  \\\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow m\in (-\infty -2)\cup [3;5)$

Vì $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \{3;4\}$.

Câu 9.  Cho các tập hợp $A=\left\{x \in R \mid \frac{8}{|x-5|}>1\right\}$ và $B=\left\{(x-m)^2<9\right\}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho tập hợp $B$ là tập hợp con của tập hợp $A$.

Hướng dẫn câu 9:

Ta có $\frac{8}{|x-5|}>1 \Leftrightarrow|x-5|<8 \Leftrightarrow-8<x-5<8 \Leftrightarrow-3<x<13 \Rightarrow A=(-3 ; 13)$

Mặt khác $(x-m)^2<9 \Leftrightarrow-3<x-m<3 \Leftrightarrow-3+m<x<3+m \Rightarrow B=(-3+m ; 3+m)$

Tập hợp ${B}$ là tập hợp con của tập ${A}$ khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}-3+m>-3  \\3+m<13  \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m>0  \\  m<10 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow 0<m<10$.

Câu 10.  Cho hai tập hợp $P=[3 m-6 ; 4)$ và $Q=(-2 ; m+1)$, $m \in \mathbb{R}$. Tìm $m$ để $P \backslash Q=\varnothing$.

Hướng dẫn câu 10:

Vì ${P, Q}$ là hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3m-6<4  \\  m+1>-2  \\\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   m<\frac{10}{3}  \\   m>-3  \\\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow -3<m<\frac{10}{3}$

Để $P \backslash Q=\varnothing \Leftrightarrow P \subset Q$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3m-6>-2  \\  m+1\ge 4  \\\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  m>\frac{4}{3}  \\  m\ge 3  \\ \end{array} \right.$  $\Leftrightarrow m\ge 3$

Kết hợp với điều kiện ta có $3 \leq m<\frac{10}{3}$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  01/3/2023