Đề thi Olympic chọn học sinh giỏi lớp 11 Hà Nội 2022 2023

Đề thi Olympic chọn học sinh giỏi lớp 11 Hà Nội 2022-2023

Vào ngày 15/3/2023, các cụm trường THPT tại Hà nội diễn ra kì thi Olympic chọn học sinh giỏi các lớp 10, 11 ở các môn học. Năm nay kì thi được tổ chức thi chung đề cho toàn thành phố.

Chúng tôi giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh nội dung đề và hướng dẫn giải môn Toán lớp 11 kì thi này.

Bài 1 (5,0 điểm)

1)  Giải các phương trình sau: 

           a) $(2 \sin x-\cos x)(1+\cos x)=\sin ^2 x$;

           b) $\frac{\cos 2 x}{\sin x}+\frac{\sin 2 x}{\cos x}=\tan x-\cot x$.

2)  Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3 \sqrt{x y+x-y^2-y}=5 y+4 \\ \sqrt{4 y^2-x-2}+\sqrt{y-1}=x-1\end{array}\right.$.

Bài 2 (3,0 điểm)

1)  Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn $C_{x+1}^1+3 C_{x+2}^2=C_{x+1}^3$.

2)  Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{5}{x} \right)}^{22}}$ (với $x \neq 0)$.

3)  Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

Bài 3 (4,0 điểm)

1)  Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_1+2 u_3=6 \\ 3 u_2-u_5=-7\end{array}\right.$. Tính $u_{20}$.

2)  Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau: $u_1=\frac{1}{3}, u_{n+1}=\frac{u_n}{(2 n+3) u_n+1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.

Chứng minh $u_1+u_2+\ldots+u_n<\frac{3}{4}$.

Bài 4 (2,0 điểm)  Tính  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 x+1}-\sqrt[3]{3 x+1}}{x^2}$.

Bài 5 (6,0 điểm)  Cho hình chóp tam giác đều ${S . A B C}$, độ dài cạnh đáy là $a$ và đường cao $S O=2 a$.

Gọi $H$ là trung điểm của ${B C}$, ${M}$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OH\,\,(M\ne O;M\ne H)$.

1)  Tính côsin góc giữa $\overrightarrow{A H}$ và $\overrightarrow{S B}$.

2)  Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AH.$ Xác định thiết diện của hình chóp ${S . A B C}$ cắt bởi $(\alpha ).$

3)  Tính tỷ số $\frac{A M}{A H}$ khi diện tích thiết diện của mặt phẳng $(\alpha)$ cắt hình chóp $S.ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Chúng tôi luôn mong nhận được sự đồng hành, góp ý và chia sẻ của thày cô giáo và học sinh.

Xin gửi về địa chỉ:  điện thoại  Zalo  Telegram:  0913 661 886    hoặc   hòm thư:  hotro@hs.edu.vn

Tổng đài:    024 666 07 999