Fri, ngày 03/03/2023, 08:03 (GMT +7)
Đại số tổ hợp trong chương trình toán bậc phổ thông luôn là phần khó học với nhiều học sinh. Đặc biệt đứng trước một bài toán khó thì rất nhiều học sinh tỏ ra mất phương hướng và không biết sẽ phải bắt đầu từ đâu.
Thấy được những khó khăn đó với học sinh, chúng tôi đã cố gắng chọn lọc những bài toán hay và khó của chuyên đề này để giới thiệu. Rất hi vọng các em học sinh cố gắng đọc và ngẫm nghĩ thật sâu, dần dần sẽ hiểu hơn và biết tìm hướng đi cách giải một bài toán khó phần này.
Câu 1. Từ 12 câu trắc nghiệm gồm 3 câu khó, 4 câu trung bình và 5 câu dễ. Cô giáo chọn ra 6 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có bao nhiêu cách tạo ra đề?
Số cách chọn ra 6 câu bất kỳ trong số 12 câu $C_{12}^{6}$.
Số cách chọn ra 6 câu mà không có câu khó $C_{9}^{6}$.
Số cách chọn ra 6 câu mà không có câu trung bình $C_{8}^{6}$.
Số cách chọn ra 6 câu mà không có câu dễ $C_{7}^{6}$.
Số cách chọn là: $C_{12}^{6}-C_{9}^{6}-C_{8}^{6}-C_{7}^{6}=805$.
Câu 2. Có 21 bạn học sinh, trong đó có 4 cặp có tình cảm với nhau, 4 cặp này chỉ có tình tay đôi, không có tay ba, . . . Người ta chọn ra 5 bạn làm tình nguyện viên, hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất 1 cặp có tình cảm ?
Ta đi tìm số cách chọn mà không cặp nào có tình cảm
Trường hợp 1: Trong 5 bạn chọn có 1 bạn trong 4 cặp tình cảm
- Số cách chọn 1 cặp từ 4 cặp là: $C_{4}^{1}$ cách
- Số cách chọn 1 bạn từ 1 cặp là: $2$ cách
- Số cách chọn 4 bạn từ 13 bạn còn lại là: $C_{13}^{4}$ cách
Vậy tổng số cách chọn là $C_{4}^{1}.2.C_{13}^{4}$ cách.
Trường hợp 2: Trong 5 bạn chọn có 2 bạn từ 2 cặp khác nhau trong 4 cặp có tình cảm
- Số cách chọn 2 cặp từ 4 cặp là: $C_{4}^{2}$ cách
- Số cách chọn 1 bạn từ mỗi cặp là: ${{2}^{2}}$ cách
- Số cách chọn 3 bạn từ 13 bạn còn lại là: $C_{13}^{3}$ cách
Vậy tổng số cách chọn là $C_{4}^{2}{{.2}^{2}}.C_{13}^{3}$ cách.
Trường hợp 3: Trong 5 bạn chọn có 3 bạn từ 3 cặp khác nhau trong 4 cặp có tình cảm
Tổng số cách chọn là $C_{4}^{3}{{.2}^{3}}.C_{13}^{2}$ cách.
Trường hợp 4: Trong 5 bạn chọn có 4 bạn từ 4 cặp khác nhau trong 4 cặp có tình cảm
Tổng số cách chọn là $C_{4}^{4}{{.2}^{4}}.C_{13}^{1}$ cách.
Trường hợp 5: Cả 5 bạn chọn không có bạn nào trong 4 cặp có tình cảm
Tổng số cách chọn là $C_{13}^{5}$ cách.
Vậy tổng số cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1 cặp có tình cảm là:
$C_{21}^{5}-\left( C_{4}^{1}.2.C_{13}^{4}+C_{4}^{2}{{.2}^{2}}.C_{13}^{3}+C_{4}^{3}{{.2}^{3}}.C_{13}^{2}+C_{4}^{4}{{.2}^{4}}.C_{13}^{1}+C_{13}^{5} \right)=3774$ (cách).
Câu 3. Cho tập hợp $A=\left\{ 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5 \right\}$, từ tập $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau sao cho số này không chia hết cho 3.
+ Có $5.A_{5}^{2}=100$(số) có ba chữ số khác nhau lập được từ tập $A$.
+ Tính số lập được chia hết cho 3. Số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ , $a+b+c\vdots 3$.
Các tập con gồm 3 phần tử của tập $A$, thoả mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là:
\[{{{A}}_{{1}}}=\left\{ 0,1,2 \right\},{{{A}}_{{2}}}=\left\{ 0,1,5 \right\},{{{A}}_{{3}}}=\left\{ 0,2,4 \right\},{{{A}}_{{4}}}=\left\{ 0,4,5 \right\},\]
\[{{{A}}_{{5}}}=\left\{ 1,2,3 \right\},{{{A}}_{{6}}}=\left\{ 1,3,5 \right\},{{{A}}_{{7}}}=\left\{ 2,3,4 \right\},{{{A}}_{{8}}}=\left\{ 3,4,5 \right\}\]
Khi $a,b,c\in {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}}$ mỗi trường hợp lập được 4 số thoả mãn yêu cầu.
Khi $a,b,c\in {{A}_{5}};{{A}_{6}};{{A}_{7}};{{A}_{8}}$ mỗi trường hợp lập được 6 số thoả mãn yêu cầu.
Vậy có $4.4+4.6=40$(số) có ba chữ số khác nhau lập được từ tập $A$ mà số này chia hết 3.
Suy ra số các số thỏa mãn đề bài là $100-40=60$ (số).
Câu 4. Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh A, B, C, D, E, F, G, H, I, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách).
a . Hỏi có bao nhiêu cách phát thưởng ?
b . Hỏi có bao nhiêu cách phát thưởng để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau ?
a . Đề một học sinh nhận được 2 quyền sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại: (Toán-Lý) ; (Toán- Hóa) ; (Lý- Hóa).
Gọi $x, y, z(x, y, z \in \mathbb{Z})$ lần lượt là số học sinh nhận được bộ giải thưởng (Toán-Lý) ; (Toán-Hóa) ; (Lý- Hóa).
Khi đó, ta có hệ sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y=7 \\ x+z=6 \\ y+z=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=3 {. } \\ z=2\end{array}\right.\right.$
Chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn để nhận bộ ( Toán-Lý) : $C_9^4$ cách.
Chọn 3 bạn bất kì trong 5 bạn còn lại để nhận bộ (Toán-Hóa) : $C_5^3$ cách.
Và 2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ ( Lý-Hóa).
Vậy số cách phát thưởng cho học sinh là: $C_{9}^{4}.C_{5}^{3}$=1260 (cách).
b . Trường hợp 1: $A$ và ${B}$ cùng nhận bộ ( Toán-Lý)
Vì ${A}$ và ${B}$ đã nhận quà nên bộ ( Toán-Lý) còn lại 2 phần. Ta chọn 2 bạn trong 7 bạn để nhận : $C_7^2$ cách.
Chọn 3 bạn trong 5 bạn còn lại để nhận bộ ( Toán-Hóa) : $C_5^3$ cách.
2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ ( Lý-Hóa).
Vậy có $C_7^2 \cdot C_5^3$ cách để ${A}$ và ${B}$ củng nhận bộ ( Toán-Lý).
Trường hợp 2: $A$ và ${B}$ cùng nhận bộ ( Toán-Hóa). Lập luận tượng tự, ta được : $C_7^1 \cdot C_6^4$ cách.
Trường hợp 3: $A$ và ${B}$ cùng nhận bộ ( Lý-Hóa) có $C_7^4$ cách.
Vậy có $C_7^2 \cdot C_5^3+C_7^1 \cdot C_6^4+C_7^4=350$ (cách).
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai số 1 và 3 ?
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7}$.
Vì số cần tìm có 3 số $\{1 ; 2 ; 3\}$ nên ta chì cần chọn 4 số nữa để điền vào vị trí: $C_7^4$ cách.
Hoán đổi vị trí 4 số được chọn cùng với cụm $\{1 ; 2 ; 3\}$ : 5 ! cách.
Hoán đổi vị trí số 3 và 1 trong cụ̣m $\{1 ; 2 ; 3\}: 2$ ! cách.
Trong các số tạo thành có trường hợp số 0 đứng đầu:
$a_1=0$ có 1 cách.
Chọn 3 số nữa để điền vào vị trí : $C_6^3$ cách.
Hoán đổi vị trí của cụm $\{1 ; 2 ; 3\}$ và 3 số vừa chọn : 4 ! cách.
Hoán đổi vị trí của số 1 và số 3 trong cụm $\{1 ; 2 ; 3\}: 2$ ! cách.
Vậy số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $2 ! 5 ! C_7^4-2 ! 4 ! C_6^3=7440$ (số).
Câu 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Trong các số trên có bao nhiêu số mà các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Có 5 số lẻ và 4 số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Suy ra có $C_{5}^{3}$ cách chọn 3 số lẻ từ năm số 1, 3, 5, 7, 9 và có $C_{4}^{3}$ cách chọn 3 số chẵn từ bốn số 2, 4, 6, 8.
Cứ ba chữ số lẻ ghép với ba chữ số chẵn ta được một tập gồm 6 phần tử. Theo quy tắc nhân có $C_{4}^{3}.C_{5}^{3}$ cách chọn các tập hợp mà mỗi tập có 3 số chẵn và 3 số lẻ từ các số trên. Ứng với mỗi tập có 6! cách sắp xếp thứ tự các phần tử và mỗi cách sắp xếp thứ tự đó ta được một số thỏa mãn bài toán. Do đó theo quy tắc nhân có $C_{4}^{3}.C_{5}^{3}$.6! = 28800 số có 6 chữ số khác nhau gồm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ từ các số trên.
Có $C_{4}^{3}.C_{5}^{3}$ tập hợp gồm ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn. Ứng với mỗi tập có duy nhất một cách sắp xếp các phần tử theo thứ tự tăng dần. Do đó mỗi tập hợp tương ứng với một số. Vậy có $C_{4}^{3}.C_{5}^{3}$ = 40 số thỏa mãn.
Câu 7. Giả sử có 20 người, xếp ngồi vào 4 bàn riêng biệt. Cách xếp tốt là những người ngồi cùng bàn đều quen nhau. Giả sử tồn tại cách xếp tốt, đồng thời đối với mọi cách xếp tốt, ta đều có đúng 5 người ngồi mỗi bàn. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cặp quen nhau ?
Xét nhân vật A thuộc bàn 1, suy ra trong mỗi bàn 2, 3, 4 đều có ít nhất một người không quen A. Vì nếu quen hết 5 người trong 1 trong các bàn 2, 3, 4 thì A phải sang bàn đó, nhưng lại là 6 người (trái với giả thiết là 5 người).
Suy ra số người mà A không quen lớn hơn hoặc bằng 3 người.
Do đó mỗi người quen nhiều nhất là 16 người.
Mà số cặp quen nhau nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{20.16}{2}=160$.
Giả sử có đúng 160 cặp quen nhau thì có đúng $\frac{3.20}{2}=30$ cặp không quen nhau.
Suy ra có thể xếp thành 5 nhóm, mỗi nhóm 4 người không quen nhau. Mỗi người đều quen với những người thuộc 4 nhóm còn lại. Ghép người đó với mỗi nhóm 1 người vào một bàn, ta được cách xếp tốt.
Câu 8. Cho các số 1, 2, 3, 4.
a . Hỏi lập được bao nhiêu số có năm chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1.
b . Tính tổng tất cả các số lập được ở câu trên.
a . Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị $5$ phần tử 1 , 1 , 2 , 3 , 4 ; do 2 chữ số 1 khi hoán vị vẫn được 1 số. Vậy các số cần lập là $\frac{5!}{2!}=60$.
b . Số có 5 chữ số dạng $\overline{a b c d e}$.
$S=\sum \overline{a b c d e}=10^4 . \sum a+10^3 . \sum b+10^2 . \sum c+10 . \sum d+e$
Mỗi số $a$ có 4 ! cách chọn $\overline{b c \text { de }} \Rightarrow$ Mỗi số $a \in\{1,1,2,3,4\}$ xuất hiện 4 ! lần.
$\Rightarrow \sum a=(1+1+2+3+4) \cdot 24=264$
Tương tự $\sum b=\sum c=\sum d=\sum e=264$
Vậy $S=\frac{264.11111}{2 !}=1466652$.
Câu 9. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số sao cho chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước?
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ thỏa mãn ${{a}_{1}}>{{a}_{2}}>{{a}_{3}}>{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>{{a}_{6}}$, ${{a}_{6}}$ chẵn.
Trường hợp 1: ${{a}_{6}}=0$thì $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$ có $C_{9}^{5}$ cách chọn.
Trường hợp 2: ${{a}_{6}}=2$thì $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$ có $C_{7}^{5}$ cách chọn.
Trường hợp 3: ${{a}_{6}}=4$thì $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$ có $C_{5}^{5}$ cách chọn.
Vậy có tất cả $C_{9}^{5}+C_{7}^{5}+C_{5}^{5}=148$ (số).
Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau, sao cho số đó chia hết cho 9 ?
Do $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45: 9$, nên số có tám chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau của các tập $B \backslash\{0 ; 9\} ; B \backslash\{1 ; 8\} ; B \backslash\{2 ; 7\} ; B \backslash\{3 ; 6\} ; B \backslash\{4 ; 5\}$. Nên có $A_8^8+4.7 \cdot A_7^7=181440$ (số).
Câu 11. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau, sao cho số đó chia hết cho 3 ?
Do $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45: 9$, nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập $B \backslash\{0\} ; B \backslash\{3\} ; B \backslash\{6\} ; B \backslash\{9\}$. Nên có $A_9^9+3 \cdot 8 \cdot A_8^8=1330560$ (số).
Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sao cho số đó chứa đúng ba chữ số lẻ?
Số cách chọn 3 chữ số lẻ từ 1, 3, 5, 7, 9 là $C_{5}^{3}$.
Số cách chọn 3 chữ số chẵn từ 2, 4, 6, 8 là $C_{4}^{3}$.
Số các số có 6 chữ số được lập từ 6 chữ số trên là: $6!$
Có $C_{5}^{3}.C_{4}^{3}.6!$ = 28800(số).
Câu 13. Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt quá 1000. Chứng minh rằng trong đó có 2 số có tổng chia hết cho 111.
Gọi $S=\left\{ 1\,;\,2\,;\,...\,;\,1000 \right\}$, $A=\left\{ 1000 \right\}$, $B=\left\{ 111\,;\,222\,;\,...\,;\,999 \right\}$, $T=S\backslash \left( A\cup B \right)$.
Chia tập $T$ thành các tập con có 2 phần tử mà tổng bằng 999 như sau: ${{T}_{1}}=\left\{ 1\,;\,998 \right\}$, ${{T}_{2}}=\left\{ 2\,;\,997 \right\}$, … , ${{T}_{495}}=\left\{ 499\,;\,500 \right\}$.
Do đó $S$ được chia thành 497 tập con, vậy 498 số được chọn ngẫu nhiên phải có 2 số rơi vào cùng một tập hợp. Hai số đó hoặc cùng chia hết cho 111 hoặc có tổng bằng 999 nên tổng của chúng chia hết cho 111.
Câu 14. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên (không bắt đầu bằng 0) là bội số của 3 và bé hơn ${{2.10}^{8}}.$
Ta xem số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số có dạng: ${A}=\overline{{a}_1 {a}_2 {a}_3 {a}_4 {a}_5 {a}_6 {a}_7 {a}_8 {a}_9}$ trong đó các ${a}_{{i}} \in\{0 ; 1 ; 2\}$ và các ${a}_{{i}}$ không đồng thời bằng 0 .
$+$ Vì ${A}<2 \cdot 10^8$ nên ${a}_1 \in\{0 ; 1\} \Rightarrow {a}_1$ có 2 cách chọn.
+ Các số từ ${a}_2$ đến ${a}_8$ mỗi số đều có 3 cách chọn.
+ Chữ số ${a}_9$ chỉ có 1 cách chọn (Vì nếu ${a}_1+\ldots+{a}_8$ chia cho 3 dư 0 thì chọn ${a}_9=0$, dư 1 thì chọn ${a}_9=2$ và dư 2 thì chọn ${a}_9=1$ ).
Vậy có tất cả là $2.3^7=4374$ số ( gồm luôn các số dạng $\overline{0 {a}_2 {a}_3 {a}_4 {a}_5 {a}_6 {a}_7 {a}_8 {a}_9}$ ).
Do đó số các số lập được thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2.3^7-3^6=3645$ số.
Câu 15. Cho một đa giác đều 20 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác nhọn mà 3 đỉnh của tam giác này là các đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh trên?
Số cách chọn ra 3 đình là 3 đình của tam giác vuông là $10 C_{18}^1$.
Số cách chọn ra 3 đỉnh là 3 đỉnh của tam giác tù là $\frac{20\left(C_9^2+C_9^2\right)}{2}$
Số cách chọn ra 3 đình là 3 đỉnh của tam giác nhọn là $C_{20}^3-10 C_{18}^1-\frac{20\left(C_9^2+C_9^2\right)}{2}=240$.
Câu 16. Ký hiệu $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( 0\,\,\le \,\,k\,\,\le \,\,n \right)$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{C_{2019}^{1}}+\frac{1}{C_{2019}^{2}}+...+\frac{1}{C_{2019}^{2019}}=\frac{1010}{2019}\left( \frac{1}{C_{2018}^{0}}+\frac{1}{C_{2018}^{1}}+\frac{1}{C_{2018}^{2}}...+\frac{1}{C_{2018}^{2018}} \right)\]
Với $n, k \in N ; k \leq n$ ta có : $\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}=\frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{k !(n-k) !}{n !}=\frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{C_n^k}$
Áp dụng đẳng thức trên ta được:
$\begin{aligned}& \frac{1}{C_{2019}^0}+\frac{1}{C_{2019}^1}=\frac{2020}{2019} \cdot \frac{1}{C_{2018}^0} \\& \frac{1}{C_{2019}^1}+\frac{1}{C_{2019}^2}=\frac{2020}{2019} \cdot \frac{1}{C_{2018}^1}\end{aligned}$ …………..
$\frac{1}{C_{2019}^{2018}}+\frac{1}{C_{2019}^{2019}}=\frac{2020}{2019} \cdot \frac{1}{C_{2018}^{2018}}$
Cộng các vế tương ứng của các đẳng thức trên với chú ý $\frac{1}{C_{2019}^0}=\frac{1}{C_{2019}^{2019}}$ ta có
$2\left( \frac{1}{C_{2019}^{1}}+\frac{1}{C_{2019}^{2}}+\ldots +\frac{1}{C_{2019}^{2019}} \right)=\frac{2020}{2019}\left( \frac{1}{C_{2018}^{0}}+\frac{1}{C_{2018}^{1}}+\frac{1}{C_{2018}^{2}}\ldots +\frac{1}{C_{2018}^{2018}} \right)$
$\Rightarrow \frac{1}{C_{2019}^{1}}+\frac{1}{C_{2019}^{2}}+\ldots +\frac{1}{C_{2019}^{2019}}=\frac{1010}{2019}\left( \frac{1}{C_{2018}^{0}}+\frac{1}{C_{2018}^{1}}+\frac{1}{C_{2018}^{2}}\ldots +\frac{1}{C_{2018}^{2018}} \right)$
Câu 17. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5.
Gọi ${a}$ là số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Trường hợp 1: ${a}$ chứa năm chữ số 1 và 2013 chữ số 0: $C_{2017}^{4}$
Trường hợp 2: ${a}$ chứa ba chữ số 1 , một chữ số 2 và 2014 chữ số 0: $C_{2017}^{3}+2015C_{2017}^{2}$
Trường hợp 3: ${a}$ chứa hai chữ số 1 , một chữ số 3 và 2015 chữ số 0: $C_{2017}^{2}+A_{2017}^{2}$
Trường hợp 4: ${a}$ chứa một chữ số 1 , một chữ số 4 và 2016 chữ số 0: $2C_{2017}^{1}$
Trường hợp 5: ${a}$ chứa một chữ số 5 và 2017 chữ số 0: 1
Trường hợp 6: ${a}$ chứa một chữ số 1 , hai chữ số 2 và 2015 chữ số 0: $C_{2017}^{2}+A_{2017}^{2}$
Trường hợp 7: ${a}$ chứa một chữ số 2 , một chữ số 3 và 2016 chữ số 0: $2C_{2017}^{1}$
Vậy có $1+4 C_{2017}^1+2017 C_{2017}^2+C_{2017}^3+C_{2017}^4+2 A_{2017}^2$ (số).
Câu 18. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau và thỏa mãn 3 điều kiện:
i) Phải có ba chữ số 2, 4, 6 đứng cạnh nhau.
ii) Phải có hai chữ số 8, 9 đứng cạnh nhau.
iii) phải có mặt chữ số 0 .
Coi nhóm $(2,4,6)$ là 1 chữ số $x$; nhóm $(8,9)$ là 1 chữ số $y$; số cần lập có 4 vị trí.
- Xếp chữ số $0: 3$ cách
- Xếp $x: 3.3$ ! cách
- Xếp $y: 2.2$ ! cách
- Chọn 1 chữ số trong 4 chữ số còn lại xêp vào: 4 cách.
Vậy có $3 \cdot 3 \cdot 3 ! 2.2 ! 4$ = 864 (số).
Câu 19. Cho tập $A=\{2 ; 5\}$. Hỏi từ A có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau.
Trường hợp 1: Số có 10 chữ số 5 : 1 số
Trường hợp 2 : Số có 9 chữ số 5 và một chữ số 2 :
Xếp 9 số 5 thành một hàng: có một cách
Có 10 vị trí đề xếp số 2 : có $C_{10}^1$ cách
Vậy có $C_{10}^1$ số
Trường hợp 3 : Số có 8 chữ số 5 và 2 chữ số 2 :
Xếp 8 số 5 thành một hàng: có một cách
Có 9 vị trí để xếp số 2 : có $C_9^2$ cách
Vậy có $C_9^2$ số
Trường hợp 4 : Số có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 :
Xếp 7 số 5 thành một hàng: có một cách
Có 8 vị trí để xếp số 2 : có $C_8^3$ cách
Vậy có $C_8^3$ số
Trường hợp 5 : Số có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 :
Xếp 6 số 5 thành một hàng: có một cách
Có 7 vị trí để xếp số 2 : có $C_7^4$ cách
Vậy có $C_7^4$ số
Trường hợp 6 : Số có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2 :
Xếp 5 số 5 thành một hàng: có một cách
Có 6 vị trí để xếp số 2 : có $C_6^5$ cách
Vậy có $C_6^5$ số
Kết luận: Vậy có $1+C_{10}^1+C_9^2+C_8^3+C_7^4+C_6^5=144$ (số).
Câu 20. Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
Ta chia 20 số từ 1 đến 20 thành 3 nhóm sau:
$A=\left\{ 3,6,9,12,15,18 \right\}$: Chia hết cho 3.
$B=\left\{ 1,4,7,10,13,16,19 \right\}$: Chia cho 3 dư 1.
$C=\left\{ 2,5,8,11,14,17,20 \right\}$: Chia cho 3 dư 2.
Trường hợp 1: 3 số thuộc $A$, có $C_{6}^{3}=20$ cách chọn.
Trường hợp 2: 3 số thuộc $B$, có $C_{7}^{3}=35$ cách chọn.
Trường hợp 3: 3 số thuộc $C$, có $C_{7}^{3}=35$ cách chọn.
Trường hợp 4: 1 số thuộc $A$, 1 số thuộc $B$, 1 số thuộc $C$, có $C_{6}^{1}C_{7}^{1}C_{7}^{1}=294$ cách chọn.
Vậy tất cả có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn thỏa mãn đề bài.
Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau, sao cho mỗi số đó đều có mặt chữ số 0 và 1.
Chọn 2 vị trí có thứ tự trong 6 vị trí để xếp 0 và 1 nên có $A_{6}^{2}$ cách. Chọn 4 số còn lại có: $A_{8}^{4}$ cách. Do đó, có: $A_{6}^{2}$.$A_{8}^{4}$ (số).
Trong các số trên có các số mà chữ số đầu tiên là 0, tổng số là: $5A_{8}^{4}$.
Vậy số các số thỏa mãn đề bài là : $A_{6}^{2}$.$A_{8}^{4}$$-5A_{8}^{4}$=42000 (số).
Câu 22. Tính tổng ${S}=\frac{2^3}{2} {C}_{2019}^1+\frac{2^7}{4} {C}_{2019}^3+\frac{2^{11}}{6} {C}_{2019}^5+\ldots+\frac{2^{4039}}{2020} {C}_{2019}^{2019}$.
Ta có: $\frac{2^{2 {k}+1}}{{k}+1} {C}_{2019}^{{k}}=\frac{2^{2 {k}+1}}{{k}+1} \cdot \frac{2019 !}{{k} !(2019-{k}) !}=\frac{2^{2 {k}+1} \cdot 2020 !}{2020({k}+1) !(2019-{k}) !}=\frac{4^{{k}+1}}{4040} \cdot {C}_{2020}^{{k}+1}$
Khi đó ${M}=4040 . {S}=4^2 {C}_{2020}^2+4^4 {C}_{2020}^4+4^6 {C}_{2020}^6+\ldots+4^{2020} {C}_{2020}^{2020}$
Mặt khác: $(4+1)^{2020}+(4-1)^{2020}=2\left(4^0 {C}_{2020}^0+4^2 {C}_{2020}^2+4^4 {C}_{2020}^4+\ldots+4^{2020} {C}_{2020}^{2020}\right)$
Suy ra $M=\frac{5^{2020}+3^{2020}-2}{2}$ vậy $S=\frac{5^{2020}+3^{2020}-2}{8080}$.
Câu 23. Có 5 bạn học sinh nữ trong đó có bạn tên Anh và 5 bạn học sinh nam trong đó có bạn tên Dũng. Xếp 10 học sinh này ngồi vào một dãy ghế, mỗi học sinh ngồi một ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi để không có hai học sinh nam nào ngồi cạnh nhau và bạn Anh phải ngồi cạnh bạn Dũng.
Xếp 5 bạn nữ có $5!$ cách. Xếp Anh ngồi cạnh Dũng: có 2 cách. Do 6 bạn này tạo ra 7 khoảng trống, bỏ qua 2 khoảng trống cạnh Anh còn lại 5 khoảng trống. Xếp 4 bạn nam còn lại vào 5 khoảng trống đó có $A_{5}^{4}$ cách. Vậy số cách xếp chỗ thỏa mãn đề bằng $2.5!.A_{5}^{4}=28800$.
Câu 24. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho các chữ số 1, 3, 5 đứng kề nhau ?
Có $C_{7}^{3}$ bộ gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt các chữ số 1,3,5.
Từ mỗi bộ như thế lập được 4 !3! số có 6 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,3,5$ luôn đứng kề nhau (với quy ước tính cả các số mà có chữ số 0 đứng đầu). Vậy có $4 ! 3 ! {C}_7^4=5040$ (số).
Trong 5040 số được tạo thành có $3 ! 3 ! {C}_6^2=540$ (số) gồm 6 chữ số khác nhau mà chữ số 0 đứng đầu và các chữ số $1,3,5$ luôn đứng kề nhau.
Vậy có $5040-540=4500$ (số cần tìm).
Câu 25. Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?
Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321.
Trường hợp 1: Số cần lập có bộ ba số 123 .
Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng 123abcd . Có $A_{7}^{4}$= 840 cách chọn số $a , b , c , d$.
Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 . Có 6 cách chọn số đứng đầu và có $A_{6}^{3}$=120 cách chọn số a, b , c , d . Theo quy tắc nhân có 6.4.$A_{6}^{3}$ = 2880 (số).
Theo quy tắc cộng có 840 + 2880 = 3720 (số).
Trường hợp 2: Số cần lập có bộ ba số 321.
Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có 2(840 + 2880) = 7440 (số).
Câu 26. Cho nhị thức ${{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{x} \right)}^{n-4}}(x\ne 0)$, biết rằng $1 \cdot C_n^1+2 \cdot C_n^2+3 \cdot C_n^3+\ldots+n \cdot C_n^n=256 n$ (trong đó $C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử). Tìm số hạng chứa ${{x}^{4}}$ trong khai triển nhị thức trên.
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n} C_n^k=C_{n-1}^{k-1}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n \geq 2$.
Có $k.C_{n}^{k}=k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=n.\frac{(n-1)!}{(k-1)!\left[ (n-1)-(k-1) \right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}$.
Áp dụng công thức, có $1\cdot C_{n}^{1}+2\cdot C_{n}^{2}+3\cdot C_{n}^{3}+\ldots +n\cdot C_{n}^{n}$$=n\left( C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2}+\ldots +C_{n-1}^{n-1} \right)=n{{2}^{n-1}}$.
Theo đề $1\cdot C_{n}^{1}+2\cdot C_{n}^{2}+3\cdot C_{n}^{3}+\ldots +n\cdot C_{n}^{n}=256n$ $\Leftrightarrow n{{2}^{n-1}}=256n$ $\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}=256$ $1 \cdot C_n^1+2 \cdot C_n^2+3 \cdot C_n^3+\ldots+n \cdot C_n^n=256 n \Leftrightarrow n 2^{n-1}=256 n \Leftrightarrow 2^{n-1}=256 \Leftrightarrow n=9$.
Số hạng chứa ${{x}^{4}}$ trong khai triển nhị thức ${{\left( 2{{x}^{2}}-\frac{3}{x} \right)}^{5}}$ là ${{T}_{3}}=C_{5}^{2}{{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{3}}{{\left( \frac{-3}{x} \right)}^{2}}$$=720{{x}^{4}}$.
Câu 27. Cho đa giác đều có 15 đỉnh, từ 15 đỉnh này tạo ra được bao nhiêu tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều?
- Gọi ${O}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh ${A}$ bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng ${OA}$, hay có 7 tam giác cân tại đỉnh $A$. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.
- Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là $\frac{15}{3}=5$ tam giác.
- Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần.
Vậy có 7.15 – 3.5 = 90 tam giác thỏa mãn đề bài.
Câu 28. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, sao cho mỗi số tự nhiên đó chia hết cho 3 ?
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a b c d e}$.
Theo đề bài $\overline{a b c d e}: 3$.
Một số tự nhiên $\overline{a b c d e}$ có 5 chữ số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 .
Nhận thấy một số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán sẽ không đồng thời có mặt các chữ số 0 và 3 . Do đó ta chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $\overline{a b c d e}$ không có chữ số 0 .
Khi đó 5 chữ số còn lại có tổng của chúng chia hết cho 3 , nên số số tự nhiên thoả mãn là 5 ! số.
Trường hợp 2: $\overline{a b c d e}$ không có chữ số 3 .
Chọn chữ số $a$ có 4 cách.
Chọn $\overline{b c d e}$ có 4 ! cách.
Suy ra trường hợp này ta có 4.4 ! số.
Vậy có tất cả $5 !+4.4 !=216$ số.
Câu 29. Với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ và thỏa mãn $\frac{1}{C_2^2}+\frac{1}{C_3^2}+\frac{1}{C_4^2}+\ldots+\frac{1}{C_n^2}=\frac{9}{5}$. Tính $P=\frac{C_n^5+C_{n+2}^3}{(n-4) !}$.
Ta có $\frac{1}{C_{2}^{2}}+\frac{1}{C_{3}^{2}}+\frac{1}{C_{4}^{2}}+...+\frac{1}{C_{n}^{2}}=\frac{9}{5}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+...+\frac{2}{n\left( n-1 \right)}=\frac{9}{5}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{6}+...+\frac{2}{n\left( n-1 \right)}=\frac{4}{5}$
$\Leftrightarrow \frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{n\left( n-1 \right)}=\frac{4}{5}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n-1 \right)}=\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+...+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{n}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow n=10$.
Với $n=10\xrightarrow{{}}P=\frac{C_{10}^{5}+C_{12}^{3}}{6!}=\frac{59}{90}.$
Câu 30. Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $1+P_1+2 P_2+3 P_3+\ldots+n P_n=P_{2014}$, với $P_n$ là số các hoán vị của tập hợp có $n$ phần tử.
Ta có $P_k-P_{k-1}=k !-(k-1) !=(k-1) ! \cdot(k-1)=(k-1) P_{k-1}$ với $k=1 ; 2 ; \ldots$
Áp dụng (1) ta có $\left\{\begin{array}{l}P_2-P_1=P_1 \\ P_3-P_2=2 P_2 \\ \cdots \\ P_{n+1}-P_n=n P_n\end{array}\right.$.
$(2)$
Cộng các đẳng thức ở (2) ta được $P_{n+1}-P_1=P_1+2 P_2+3 P_3+\ldots+n P_n$.
Do $P_1=1 \longrightarrow P_{n+1}=1+P_1+2 P_2+3 P_3+\ldots+n P_n$.
Theo đề, ta có $P_{n+1}=P_{2014} \Leftrightarrow n+1=2014 \longrightarrow n=2013$.
Câu 31. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{2017}{A_{2017}^0}+\frac{2016}{A_{2017}^1}+\ldots+\frac{2}{A_{2017}^{2015}}+\frac{1}{A_{2017}^{2016}}$.
Ta có
$P=\frac{2017.2017!}{2017!}+\frac{2016.2016!}{2017!}+\ldots +\frac{2.2!}{2017!}+\frac{1.1!}{2017!}$
$=\frac{2017.2017!+2016.2016!+\ldots +2.2!+1.1!}{2017!}$
$=\frac{(2018-1)2017!+(2017-1)2016!+\ldots +(3-1)2!+(2-1)1!}{2017!}$
$=\frac{(2018!-2017!)+(2017!-2016!)+\ldots +(3!-2!)+(2!-1!)}{2017!}$ $=\frac{2018!-1!}{2017!}$
$P=2018-\frac{1}{2017!}$
Câu 32. Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn: $\frac{1}{2 ! \cdot 2017 !}+\frac{1}{4 ! .2015 !}+\frac{1}{6 ! .2013 !}+\ldots+\frac{1}{2016 ! .3 !}+\frac{1}{2018 ! \cdot 1 !}=\frac{2^{2018}-1}{P_n}$.
Ta có $\frac{1}{2 ! \cdot 2017 !}+\frac{1}{4 ! \cdot 2015 !}+\frac{1}{6 ! \cdot 2013 !}+\ldots+\frac{1}{2016 ! \cdot 3 !}+\frac{1}{2018 ! \cdot 1 !}=\frac{2^{2018}-1}{P_n}$.
Nhân hai vế cho 2019 !, ta được
$\begin{aligned}& \frac{2019 !}{2 ! \cdot 2017 !}+\frac{2019 !}{4 ! \cdot 2015 !}+\frac{2019 !}{6 ! \cdot 2013 !}+\ldots+\frac{2019 !}{2016 ! \cdot 3 !}+\frac{2019 !}{2018 ! .1 !}=2019 ! \cdot \frac{2^{2018}-1}{P_n} \\\Leftrightarrow & C_{2019}^2+C_{2019}^4+\ldots+C_{2019}^{2018}=2019 ! \cdot \frac{2^{2018}-1}{n !} \\\Leftrightarrow & C_{2019}^0+C_{2019}^2+C_{2019}^4+\ldots+C_{2019}^{2018}=2019 ! \cdot \frac{2^{2018}-1}{n !}+C_{2019}^0 \\\Leftrightarrow & 2^{2018}=2019 ! \cdot \frac{2^{2018}-1}{n !}+1 \\\Leftrightarrow & 2^{2018} \cdot n !=2019 !\left(2^{2018}-1\right)+n ! \Leftrightarrow\left(2^{2018}-1\right)(n !-2019 !)=0 \longrightarrow n=2019 .\end{aligned}$
Câu 33. Tìm số tự nhiên thỏa mãn: $\frac{1}{2!.2017!}+\frac{1}{4!.2015!}+\frac{1}{6!.2013!}+...+\frac{1}{2016!.3!}+\frac{1}{2018!.1!}=\frac{{{2}^{2018}}-1}{{{P}_{n}}}.$
Ta có $\frac{1}{2!.2017!}+\frac{1}{4!.2015!}+\frac{1}{6!.2013!}+...+\frac{1}{2016!.3!}+\frac{1}{2018!.1!}=\frac{{{2}^{2018}}-1}{{{P}_{n}}}.$
Nhân hai vế cho ta được
$\frac{2019!}{2!.2017!}+\frac{2019!}{4!.2015!}+\frac{2019!}{6!.2013!}+...+\frac{2019!}{2016!.3!}+\frac{2019!}{2018!.1!}=2019!{ }.{ }\frac{{{2}^{2018}}-1}{{{P}_{n}}}$
$\Leftrightarrow C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+...+C_{2019}^{2018}=2019!{ }.{ }\frac{{{2}^{2018}}-1}{n!}$
$\Leftrightarrow C_{2019}^{0}+C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+...+C_{2019}^{2018}=2019!{ }.{ }\frac{{{2}^{2018}}-1}{n!}+C_{2019}^{0}$
$\Leftrightarrow {{2}^{2018}}=2019!{ }.{ }\frac{{{2}^{2018}}-1}{n!}+1$
$\Leftrightarrow {{2}^{2018}}.n!=2019!\left( {{2}^{2018}}-1 \right)+n!\Leftrightarrow \left( {{2}^{2018}}-1 \right)\left( n!-2019! \right)=0\xrightarrow{{}}n=2019.$
Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm năm chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$
Trường hợp 1: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí $ab$
$a$ có 3 cách chọn, $b$ có 2 cách chọn, $c$ có 4 cách chọn, $d$ có 3 cách chọn, $e$ có 2 cách chọn
Trường hợp 2: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí $bc$
$a$ có 3 cách chọn, $b$ có 3 cách chọn, $c$ có 2 cách chọn, $d$ có 3 cách chọn, $e$ có 2 cách chọn
Trường hợp 3: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí $cd$ (tượng tự TH2)
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3.2.4.3.2+2.(3.3.2.3.2)=360.
Câu 35. Gọi ${S}$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và không lớn hơn 789. Tính số phần tử của ${S}$.
Giả sử $\overline{abc}$ là số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 800 được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Trường hợp 1. $c=8\Rightarrow$ Chọn $a$ có 7 cách $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}$
Chọn $b$ có 7 cách $b\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;9 \right\}\backslash \left\{ a \right\}$. Do đó có $7.7=49$ số.
Trường hợp 2. $c\in \left\{ 2;4;6 \right\}$. Chọn $c$ có 3 cách
Chọn $a$ có 6 cách $a\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7 \right\}\backslash \left\{ c \right\}$. Chọn $b$ có 7 cách $b\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}\backslash \left\{ a;b \right\}$
Do đó có $3.6.7=126$ số.
Vậy có $126+49=175$ số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 800 được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Trong các số vừa lập được có 4 số lớn hơn 789 là 792;794;796;798.
Vậy có $175-4=171$ số thỏa mãn yêu cầu.
Câu 36. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
Trước hết ta tìm số số tự nhiên có 4 chữ số có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần.
- Chữ số 0 lặp lại 3 lần → có 9 số thỏa mãn là 1000; 2000; 3000; …; 9000.
- Chữ số 1 lặp lại 3 lần:
+ Chữ số còn lại là 0 → có 3 số thỏa mãn 1011; 1101; 1110.
+ Chữ số còn lại khác 0 và 1 → có 8.4 = 32 số
Tương tự với trường hợp chữ số 2; 3; 4; …; 9 lặp lại 3 lần. Tóm lại, số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9.(3 + 32) = 324. Vậy số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676.
Câu 37. Sau khi kết thúc giải Bóng Đá Vô Địch Quốc Gia Năm 2017, người ta thống kê được tổng cộng cả giải có 65 trận hòa. Biết giải đấu có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 2 lượt tính điểm (mỗi đội đá với các đội còn lại 2 trận gồm lượt đi và lượt về). Sau mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm. Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu là bao nhiêu?
Tổng số trận đấu trong giải đấu là: $2C_{14}^{2}$=182.
Sau mỗi trận hòa, tổng số điểm 2 đội nhận được là 1.2 =2.
Sau mỗi trận không hòa, tổng số điểm 2 đội nhận được là 3 + 0 = 3.
Tổng số điểm của tất cả các đội sau khi kết thúc giải đấu là: 65.2 + (182 – 65).3 = 481.
Nguyễn Quốc Hoàn , 02/3/2023
Đánh giá và nhận xét
Đánh giá trung bình
(0 đánh giá)
0
27/09/2022
1879 lượt xem
02/04/2026
02/04/2026
02/04/2026
02/04/2026
Tin mới
Top học sinh thi online điểm cao