Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC

Tiếp tục giới thiệu đến các em học sinh tài liệu ôn thi TN THPT năm 2023, chúng tôi giới thiệu tiếp chuyên đề về mặt phẳng và mặt cầu trong không gian tọa độ $Oxyz$. Ở chuyên đề này tập trung giới thiệu những dạng bài tập khó ở mức độ nhận thức vận dụng và vận dụng cao.

Sau đây là nội dung bài viết, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng từ thầy cô và các em học sinh.

 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$ cho điểm $A\left( 2;\,1;\,3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0$, $m$ là tham số. Gọi $H\left( a;\,b;\,c \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\left( P \right)$. Khi khoảng cách từ điểm $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất, thì tổng $a+b$ bằng

A. $a+b=-\frac{1}{2}$.      B. $a+b=2$.     C. $a+b=0$.      D. $a+b=\frac{3}{2}$.

Lời giải:

$x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\Leftrightarrow m\left( y+2z-1 \right)+x+z-2=0$

Phương trình có nghiệm với $\forall m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& y+2z-1=0 \\  & x+z-2=0 \\ \end{align} \right.$.

Suy ra $\left( P \right)$ luôn đi qua đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=2-t \\ & y=1-2t \\ & z=t \\ \end{align} \right.$.

$K\in d\Rightarrow K\left( 2-t;\,1-2t;\,t \right)$ , $\overrightarrow{AK}\left( -t;\,-2t;\,t-3 \right)$

Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}\left( -1;\,-2;\,1 \right)$

$\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t+4t+t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow K\left( \frac{3}{2};\,0;\,\frac{1}{2} \right)$

Ta có $AH\le AK$ $\Rightarrow A{{H}_{{max}}}=AK$ $\Leftrightarrow H\equiv K$.

Vậy $a+b=\frac{3}{2}$.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;1 \right)$; $B\left( -1;2;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất sẽ có phương trình là

A. $\left( d \right):\left\{ \begin{align} & x=2-2t \\ & y=1-t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.      B. $\left\{ \begin{align}& x=2+2t \\ & y=1-t \\ & z=1-4t \\ \end{align} \right.$.      C. $\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=1+t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.      D. $\left\{ \begin{align} & x=2-2t \\ & y=1+t \\ & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 2;1;1 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left( Q \right)$: $x-2y+2z-2=0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( Q \right)$. Khi đó đường thẳng $BH$đi qua $B$ và nhận ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=(1;-2;2)$ làm VTCP

Phương trình tham số của $BH:\left\{ \begin{align}& x=-1+t \\ & y=2-2t \\  & z=3+2t \\ \end{align} \right.$

Do $H=BH\cap \left( Q \right)$;$H\in BH$ nên $H\left( -1+t;2-2t;3+2t \right)$ và $H\in \left( Q \right)$.

Ta có $-1+t-2\left( 2-2t \right)+2\left( 3+2t \right)-2=0$$\Rightarrow t=1$ $\Rightarrow H=\left( 0;0;5 \right)$.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$ khi đó $d(B;d)=BK\ge BH$.

Khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất khi $BK=BH$ hay $K\equiv H$.

Có $\overrightarrow{AH}=\left( -2;-1;4 \right)$.

VTCP của đường thẳng $\left( d \right):{{\overrightarrow{u}}_{d}}=\overrightarrow{AH}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=(-2;-1;4)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{align}& x=2-2t \\  & y=1-t \\  & z=1+4t \\ \end{align} \right.$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $M\left( 1;1;0 \right)$.      B. $N\left( 0;1;1 \right)$.      C. $P\left( -1;1;-1 \right)$.      D. $Q\left( 2;0;0 \right)$.

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm $A\left( 1;-1;1 \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 1;2;-1 \right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{v}=\left( -1;2;1 \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và song song ${{d}_{2}}$ có một vectơ pháp tuyến là $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]=\left( 4;0;4 \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4\left( x-1 \right)+0+4\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+z-2=0$.

Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $Q\left( 2;0;0 \right)$.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-6}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 4\,;\,3\,;\,4 \right)$ song song với đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Tổng $a-b+c$ bằng

A. $-1$.      B. 0.      C. 1.       D. 2.

Lời giải:

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+c\left( z-4 \right)=0$.

Do $\left( P \right)\,{//}\,\Delta $ nên $-3a+2b+2c=0$ $\Rightarrow 3a=2\left( b+c \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $\frac{\left| -3a-b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( 3a+b+c \right)}^{2}}\left( * \right)$.

Thay $3a=2\left( a+b \right)$ vào (*) ta được:

$4{{\left( b+c \right)}^{2}}+9\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9{{\left( b+c \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-5bc+2{{c}^{2}}=0$$\Leftrightarrow \left( 2b-c \right)\left( b-2c \right)=0$.

TH1: $b-2c=0$, chọn $c=1$; $b=2$$\Rightarrow a=2$$\Rightarrow $$\left( P \right):2x+2y+z-18=0$.

TH2: $2b-c=0$, chọn $b=1$; $c=2$ $\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-19=0\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{19}{2}}+\frac{y}{19}+\frac{z}{\frac{19}{2}}=1$ kiểm tra thấy $\left( P \right)\,{//}\,\Delta$.

Do mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Khi đó: $a=\frac{19}{2}$; $b=19$; $c=\frac{19}{2}$.

Vậy: $a-b+c=0$.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0,$ $\left( Q \right):x-y+z-1=0.$ Mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( R \right)$ bằng $\sqrt{2}.$ Phương trình mặt phẳng $(R)$ là

A. $\left[ \begin{align} & x-z+2=0 \\ & x-z-2=0 \\ \end{align} \right..$      B. $\left[ \begin{align}& x-z+4=0 \\  & x-z-4=0 \\ \end{align} \right..$      C. $\left[ \begin{align}& x-y+2=0 \\ & x-y-2=0 \\ \end{align} \right..$      D. $\left[ \begin{align}& x-y+4=0 \\ & x-y-4=0 \\ \end{align} \right..$

Lời giải:

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;1;1 \right),\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;-1;1 \right).$

Vì mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên mặt phẳng $\left( R \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\,\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 2;0;-2 \right)$

Hay mặt phẳng $\left( R \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}'}}\left( 1;0;-1 \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ có dạng: $x-z+D=0.$

Mặt khác, ta có: $d\left( O,\,\left( R \right) \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{\left| D \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| D \right|=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & D=2 \\ & D=-2 \\ \end{align} \right..$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán là: $\left( {{R}_{1}} \right):\,\,x-z+2=0,\,\,\left( {{R}_{2}} \right):\,\,x-z-2=0.$

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$; ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có phương trình là

A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$.      B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$.      C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$.      D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$.

Lời giải:

Phương trình ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=3-{{t}_{1}} \\  & y=3-2{{t}_{1}} \\  & z=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=5-3{{t}_{2}} \\ & y=-1+2{{t}_{2}} \\ & z=2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta $.

Giả sử đường thẳng $\Delta $ cắt đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $A$, $B$.

Gọi $A\left( 3-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}} \right)$, $B\left( 5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}} \right)$.

$\overrightarrow{AB}=\left( 2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}};-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}};4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\vec{n}=\left( 1;2;3 \right)$.

Do $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{n}$ cùng phương nên $\frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2} \\ & \frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=2 \\ & {{t}_{2}}=1 \\ \end{align} \right.$. Do đó $A\left( 1;-1;0 \right)$, $B\left( 2;-1;3 \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;-1;0 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{n}=\left( 1;2;3 \right)$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta ':\frac{x+\frac{11}{3}}{7}=\frac{y-\frac{4}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{13}{3}}{-5}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{1-x}{2}=y=\frac{z-1}{2}$. Biết $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta $ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $M\left( 1;1;0 \right)$ là một điểm nằm trên $\left( P \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;1 \right)$.      B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;1 \right)$.      C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;1;3 \right)$.      D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 4;1;1 \right)$.

Lời giải:

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & \frac{x+\frac{11}{3}}{7}=\frac{y-\frac{4}{3}}{-2} \\ & \frac{y-\frac{4}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{13}{3}}{-5} \\  & \frac{1-x}{2}=y \\  & y=\frac{z-1}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=1 \\  & y=0 \\  & z=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy $\Delta \cap \Delta '=A\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow A\left( 1;0;1 \right)\in \left( P \right)$

Ta có: $\Delta '$ là hình chiếu của $\Delta $ lên $\left( P \right)\Rightarrow $ $\left( \Delta ,\Delta ' \right)\bot \left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta '}}} \right]=\left( 1;-4;3 \right)$ là vectơ chỉ phương của $\left( P \right)$

Ta có $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\overrightarrow{AM}=\left( 0;1;-1 \right)$ là vectơ chỉ phương của $\left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 1;1;1 \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right).$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{2m}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{-3}$ và đường thẳng ${{d}_{2}}$:$\frac{x-3}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}$. Biết rằng tồn tại một mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $6x+by+cz+d=0$ chứa đồng thời cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Giá trị của biểu thức $T={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ bằng:

A. 184.      B. 232.      C. 368.      D. 454.

Lời giải:

Phương trình tham số của hai đường thẳng là: ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}& x=2+2m{{t}_{1}} \\  & y=3{{t}_{1}} \\  & z=3-3{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=3+2{{t}_{2}} \\ & y=3{{t}_{2}} \\  & z=1-2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

Dễ dàng nhận thấy, hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ không song song và không trùng nhau. Để tồn tại một mặt phẳng chứa đồng thời cả hai đường thẳng thì hai đường thẳng này phải cắt nhau tại một điểm, khi đó hệ phương trình giao điểm phải có nghiệm duy nhất.

Ta có: $\left\{ \begin{align}& 2+2m{{t}_{1}}=3+2{{t}_{2}} \\  & 3{{t}_{1}}=3{{t}_{2}} \\ & 3-3{{t}_{1}}=1-2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2m{{t}_{1}}=1+2{{t}_{2}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{t}_{1}}={{t}_{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\  & 3{{t}_{1}}-2{{t}_{2}}=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.$.

Từ phương trình $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra ${{t}_{1}}={{t}_{2}}=2$ thay vào phương trình $\left( 1 \right)$, ta được $2m{{t}_{1}}=1+2{{t}_{2}}\Leftrightarrow m=\frac{1+2{{t}_{2}}}{2{{t}_{1}}}=\frac{5}{4}$.

Khi đó, hai đường thẳng đã cho là: ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=2+\frac{5}{2}{{t}_{1}} \\ & y=3{{t}_{1}} \\  & z=3-3{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=3+2{{t}_{2}} \\  & y=3{{t}_{2}} \\ & z=1-2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

Suy ra: $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( \frac{5}{2}\,;\,3\,;\,-3 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2\,;\,3\,;\,-2 \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=2\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=2\left( 3\,;\,-1\,;\,\frac{3}{2} \right)=\left( 6\,;\,-2\,;\,3 \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;0;3 \right)$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 6\,;\,-2\,;\,3 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ khi đó là: $6\left( x-2 \right)-2\left( y-0 \right)+3\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 6x-2y+3z-21=0$.

Vậy $b=-2\,\,;\,\,c=3\,;\,\,d=-21\Rightarrow T={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=454$.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+4=0$ và các điểm $A\left( 2;1;\,2 \right)$, $B\left( 3;\,-2;\,2 \right).$ Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho các đường thẳng $MA$, $MB$ luôn tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng điểm $M$ luôn thuộc đường tròn $\left( C \right)$ cố định. Tọa độ tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là

A. $\left( \frac{74}{27};\,-\frac{97}{27};\,\frac{62}{27} \right)$.      B. $\left( \frac{10}{3};\,-3;\,\frac{14}{3} \right)$.      C. $\left( \frac{17}{21};\,-\frac{17}{21};\,\frac{17}{21} \right)$.      D. $\left( \frac{32}{9};\,-\frac{49}{9};\,\frac{2}{9} \right)$.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$,$B$ trên $\left( P \right).$

Khi đó ta có $\widehat{AMH}=\widehat{BMK}$. Suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta BMK$ $\Rightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{AH}{BK}=\frac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{d\left( B,\left( P \right) \right)}=2\Rightarrow MA=2MB.$

Gọi $M\left( x;\,y;\,z \right).$ Khi đó ta có:

$MA=2MB\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{20}{3}x+6y-4z+\frac{59}{3}=0{   }\left( S \right).$

Suy ra $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ với mặt cầu $\left( S \right).$ Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( \frac{10}{3};\,-3;\,2 \right).$

Tâm $H$ của đường tròn $\left( C \right)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right).$

Từ đó ta tìm được $H\left( \frac{74}{27};\,-\frac{97}{27};\,\frac{62}{27} \right)$.

Cách 2:

Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$, $B$ lên $\left( P \right)$$\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{BMK}$.

Ta có: $AH=d\left( A;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 4+2-2+4 \right|}{3}=\frac{8}{3};BK=d\left( B;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 6-4-2+4 \right|}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow AH=2.BK$

$\Rightarrow HM=2.MK$.

Lấy điểm $I$ là điểm đối xứng của $H$ qua $K$; $E$ thuộc đoạn $HK$ sao cho $HE=2KE$; $F$ thuộc đoạn $KI$ sao cho $FI=2KF$.

Khi đó: $A$, $B$, $I$, $H$, $E$, $K$, $F$ đều là các điểm cố định.

* Ta chứng minh: $M$ di chuyển trên đường tròn tâm $F$, đường kính $IE$:

Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $K$ $\Rightarrow \Delta HMN$ cân tại $M$.

$E$ nằm trên trung tuyến $HK$ và $HE=\frac{2}{3}HK\Rightarrow $$E$ là trọng tâm $\Delta HMN$ $\Rightarrow ME\bot HN$.

Mà $HN{//}MI\Rightarrow ME\bot MI$.

Dễ dàng chứng minh $F$ là trung điểm của $EI$

$\Rightarrow $ $M$ di chuyển trên đường tròn tâm $F$ đường kính $EI$.

* Tìm tọa độ điểm $F$:

Phương trình đường cao $AH$ là: $\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\  & y=1+2t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$.

Khi đó ta gọi $H\left( 2+2{{t}_{1}};\,1+2{{t}_{1}};\,2-{{t}_{1}} \right)\in AH$.

Ta có:  $H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 2+2{{t}_{1}} \right)+2\left( 1+2{{t}_{1}} \right)-\left( 2-{{t}_{1}} \right)+4=0\Leftrightarrow {{t}_{1}}=-\frac{8}{9}$ $\Rightarrow H\left( \frac{2}{9};\,-\frac{7}{9};\,\frac{26}{9} \right)$.

Phương trình đường cao $BK$ là: $\left\{ \begin{align}& x=3+2t \\ & y=-2+2t \\  & z=2-t \\ \end{align} \right.$.

Khi đó ta gọi $K\left( 3+2{{t}_{2}};\,-2+2{{t}_{2}};\,2-{{t}_{2}} \right)$.

$K\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 3+2{{t}_{2}} \right)+2\left( -2+2{{t}_{2}} \right)-\left( 2-{{t}_{2}} \right)+4=0$

$\Leftrightarrow {{t}_{2}}=-\frac{4}{9}\Rightarrow K\left( \frac{19}{9};\,\frac{-26}{9};\,\frac{22}{9} \right)$.

Ta có $\overrightarrow{HF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{HK}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{F}}-\frac{2}{9}=\frac{4}{3}.\frac{17}{9} \\  & {{y}_{F}}+\frac{7}{9}=\frac{4}{3}.\frac{-19}{9} \\  & {{z}_{F}}-\frac{26}{9}=\frac{4}{3}.\frac{-4}{9} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow F\left( \frac{74}{27};\,\frac{-97}{27};\,\frac{62}{27} \right)$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;4;-1 \right)$, $B\left( 3;2;2 \right)$, $C\left( 0;3;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( \beta  \right):x-y+2z+1=0$. Gọi $M$ là điểm tùy ý chạy trên mặt phẳng $\left( \beta  \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=MA+MB+MC$ bằng

A. $3\sqrt{2}$.      B. $\sqrt{13}+\sqrt{14}$.      C. $6\sqrt{2}$.      D. $3\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;3 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -2;-1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 5;-5;-5 \right)=5\left( 1;-1;-1 \right)$, suy ra $\left( ABC \right):x-y-z+1=0$.

Ta thấy $\left( ABC \right)\bot \left( \beta  \right)$, xét $d=\left( ABC \right)\cap \left( \beta  \right)$ $\Rightarrow d:\left\{ \begin{align} & x-y-z+1=0 \\  & x-y+2z+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow d:\left\{\begin{align} & x=-1+t \\  & y=t \\  & z=0 \\ \end{align} \right.$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( ABC \right)$, khi đó $H\in d\Rightarrow H\left( -1+t;t;0 \right)$.$T=MA+MB+MC\ge HA+HB+HC$.

$T\ge \sqrt{2{{t}^{2}}-14t+26}+\sqrt{2{{t}^{2}}-12t+24}+\sqrt{2{{t}^{2}}-8t+14}$

$=\sqrt{{{\left( \sqrt{2}t-\frac{7}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{2}t \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}}+\sqrt{2{{\left( t-3 \right)}^{2}}+6}$

$\ge \sqrt{{{\left( 2\sqrt{2}-\frac{7}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{6} \right)}^{2}}}+\sqrt{6}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ khi $t=3\Rightarrow M\left( 2;3;0 \right)$.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -2;1;-3 \right)$ và điểm $B\left( 1;-3;2 \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=3$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng

A. $\sqrt{29}$.      B. $\sqrt{26}$.      C. $\sqrt{65}$.      D. $\sqrt{91}$.

Lời giải:

Gọi mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và song song với $(Oxy)$: $z=-3$

Gọi $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua $({Ox}y)$, suy ra $B'(1;-3;-2)$

Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$, suy ra $F(1;-3;-3)$, $B'F=1,\,\,F{A}=5$.

Kẻ $\overrightarrow{{AA }\!\!'\!\!{ }}=\overrightarrow{MN}$ suy ra $A'$nằm trên đường tròn tâm $A$, bán kính bằng 3.

Ta có: $|AM-BN|\,=\,|A'N-B'N|\,\le \,A'B'$.

Vậy $|AM-BN|\,$ lớn nhất khi $A'B'$ lớn nhất, mà $A'B'$ lớn nhất khi $A',A,F$ thẳng hàng.

Ta có $A'B'=\sqrt{B'{{F}^{2}}+F{A}{{'}^{2}}}=\sqrt{B'{{F}^{2}}+{{(F{A}+3)}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(5+3)}^{2}}}=\sqrt{65}$.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x+2y+2z-7=0$. Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$. Biết $IM=9$, khoảng cách từ điểm $M$ thuộc $d$ đến $\left( P \right)$ bằng

A. $\sqrt{15}$.      B. $3\sqrt{2}$.      C. 8.      D. $2\sqrt{5}$.

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;\,2;\,1 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;\,2;\,2 \right)$.

Gọi $\alpha $ là góc giữa $d$ và $\left( P \right)$$\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{8}{3.3}=\frac{8}{9}$

Mà $\sin \alpha =\frac{d\left( M,\left( P \right) \right)}{IM}\Rightarrow d\left( M,\left( P \right) \right)=8$.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$ với $a,\,\,b,\,\,c$ dương. Biết $A,\,\,B,\,\,C$ di động trên các tia $Ox,\,\,Oy,\,\,Oz$ sao cho $a+b+c=2$. Biết rằng khi $a,\,\,b,\,\,c$ thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ cố định. Khoảng cách từ $M\left( 0;2023;0 \right)$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

A. $2022$.      B. $\frac{2023}{\sqrt{3}}$.      C. $\frac{2021}{3}$.      D. $674\sqrt{3}$.

Lời giải:

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $OA$.

$\Rightarrow \left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $D\left( \frac{a}{2};0;0 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{OA}=\left( a;0;0 \right)=a\left( 1;0;0 \right)$ $\Rightarrow \left( \alpha  \right):x-\frac{a}{2}=0$.

Gọi $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $OB$.

$\Rightarrow \left( \beta  \right)$ đi qua điểm $E\left( 0;\frac{b}{2};0 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{OB}=\left( 0;b;0 \right)=b\left( 0;1;0 \right)$ $\Rightarrow \left( \beta  \right):y-\frac{b}{2}=0$.

Gọi $\left( \gamma  \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $OC$.

$\Rightarrow \left( \gamma  \right)$ đi qua điểm $F\left( 0;0;\frac{c}{2} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{OC}=\left( 0;0;c \right)=c\left( 0;0;1 \right)$ $\Rightarrow \left( \gamma  \right):z-\frac{c}{2}=0$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ $\Rightarrow I=\left( \alpha  \right)\cap \left( \beta  \right)\cap \left( \gamma  \right)\Rightarrow I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)$.

Theo giả thiết $a+b+c=2\Leftrightarrow \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=1\Rightarrow I\in \left( P \right):x+y+z=1$.

Vậy, $d\left( M,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2023-1 \right|}{\sqrt{3}}=\frac{2022}{\sqrt{3}}=674\sqrt{3}$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=35$ và hai điểm $M\left( 6;-14;7 \right)$ và $N\left( 10;8;9 \right)$. Với $A$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $AM+AN$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $A$ có phương trình là

A. $3x+y+5z-35=0$.      B. $3x-y+5z+38=0$.      C. $3x-y-5z+42=0$.      D. $3x-y+5z-45=0$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-1;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{35}$.

Gọi $Oxyz$ là trung điểm $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{1}$, ta có $\left( P \right):\,x+2y+2z-7=0$ nằm ngoài mặt cầu $I$.

Ta có $d$ và $\left( P \right)$; $IM=9$, suy ra $M$.

Suy ra $\left( P \right)$ lớn nhất khi $\sqrt{15}$ và $3\sqrt{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tọa độ giao điểm $A$ của đường thẳng $I K$ với mặt cầu $(S)$ là $\left\{\begin{array}{l}x=2+6 t \\ y=-1-2 t \\ z=-2+10 t \\ (x-2)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=35\end{array}\right.$

Suy ra $t= \pm \frac{1}{2}$

$A_1(5 ;-2 ; 3), A_2(-1 ; 0 ;-7) A_1 K=\sqrt{35}, A_2 K=\sqrt{315}$. Vậy điểm $A$ cần tìm là $A(-1 ; 0 ;-7)$.

$\overrightarrow{A I}=(3 ;-1 ; 5)$; phương trình tiếp diện tại $A: 3 x-y+5 z+38=0$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, biết rằng mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-1=0$ với $c<0$ đi qua hai điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó $a+b+c$ bằng

A. $1-\sqrt{2}$.      B. $5$.      C. $1+\sqrt{2}$.      D. $2-\sqrt{2}$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-1=0$ đi qua hai điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& a-1=0 \\  & b-1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó $\left( P \right):x+y+cz-1=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;c \right)$.

Mặt phẳng $\left( Oyz \right):x=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}'}}=\left( 1;0;0 \right)$.

Mà $\left( \left( P \right),\left( Oyz \right) \right)=60{}^\circ \Rightarrow \left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}'}} \right) \right|=\cos 60{}^\circ $.

Hay $\cos 60{}^\circ =\frac{\left| \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow c=\pm \sqrt{2}$.

Với $c<0\Rightarrow c=-\sqrt{2}$.

Khi đó $a+b+c=1+1-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$.

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2\,;\,3\,;\,-1 \right)\,,\,B\left( 1\,;\,-4\,;\,0 \right)\,,\,C\left( 3\,;\,-2\,;\,4 \right)$. Điểm $M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{CM} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a+b+c$ bằng

A. $\frac{11}{2}$.      B. $1$.      C. $-4$.      D. $-1$.

Lời giải:

Xét $S=\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{CM} \right|$$=\left| 2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|$$=\left| 4\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|$

Ta chọn điểm $I$ sao cho: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$, suy ra: $I\left( 2\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{1}{2} \right)$.

Do đó: $S=\left| 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{CM} \right|$$=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|$$=4MI$.

$S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất.

Khi đó $M$ là hình chiếu vuông góc của điểm $I$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.

Suy ra $M\left( 2\,;\,\frac{3}{2}\,;\,0 \right)$ và $2a+b+c=\frac{11}{2}$.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( \frac{5}{3};1;\frac{-1}{3} \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right):x-y-z-2022=0$ và có tổng khoảng cách từ các điểm $M\left( 3;-1;-3 \right),\,N\left( -1;5;5 \right)$ tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( 1;b;c \right)$ là một vectơ chỉ phương của $d$. Tổng $2b+3c$ bằng

A. $2b+3c=-9$.      B. $2b+3c=3$.      C. $2b+3c=4$.      D. $2b+3c=6$.

Lời giải:

Vì đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 0;-1;0 \right)$ và song song với $\left( P \right):x-y-z-2022=0$ nên đường thẳng $d$ nằm trong mp$\left( \alpha  \right)$ đi qua $A\left( 0;-1;0 \right)$ và song song với $\left( P \right):x-y-z-2022=0$.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là $x-y-z-1=0$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M,N$ lên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Suy ra các đường thẳng $MH,NK$ lần lượt có phương trình là $\left\{ \begin{align}& x=3+{{t}_{1}} \\  & y=-1-{{t}_{1}} \\  & z=-3-{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ ;  $\left\{ \begin{align} & x=-1+{{t}_{2}} \\ & y=5-{{t}_{2}} \\  & z=5-{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

Từ đó ta tìm được $H\left( 1;1;-1 \right),\,K\left( 3;1;1 \right)$.

Khi đó, $d\left( M,d \right)\ge MH\,\,;d\left( N,d \right)\ge NK$ dẫn đến $d\left( M,d \right)+d\left( N,d \right)\ge MH+NK$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $H$ và $K$. Điều này xảy ra được vì ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng. Và do đó $\overrightarrow{HK}=\left( 2;0;2 \right)=2\left( 1;0;1 \right)$ chính là một VTCP của đường thẳng $d$. Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án đúng là B .

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z+3=0$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix}x=4-3t  \\ y=-1-3t  \\ z=5t  \\\end{matrix} \right.$ và điểm $A(2;-1;2)$. Tọa độ điểm $B$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $AB$ song song với $d$ là $B(a,b,c)$. Khi đó $a+b-c$ bằng

A. 4.      B. 10.      C. 5.      D. $-30$.

Lời giải:

$\left( AB \right):\left\{ \begin{matrix} qua { }A(2;-1;2)  \\\overrightarrow{{{u}_{(AB)}}}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -3;-3;5 \right)  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left( AB \right):\left\{ \begin{matrix} x=2-3t  \\y=-1-3t  \\ z=2+5t  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow B(2-3t;-1-3t;2+5t)$

Thay tọa độ điểm $B$ vào $(P)$ ta được: $2-3t+1+3t+4+10t+3=0$ $\Leftrightarrow 10+10t=0$ $\Leftrightarrow t=-1$ $\Leftrightarrow B(5;2;-3)$. Vậy $a+b-c=10$.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z+7=0$. Thể tích của khối nón có đỉnh $I$ và đáy là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

A. $12\pi  $.      B. $48\pi  $.      C. $24\pi  $.      D. $36\pi  $.

Lời giải:

Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có tâm $H$ và bán kính $r$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=5$.  Ta có: $IH=d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+2.1+2.1+7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4$.

Ta có: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3$.  Ta có: $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}}.4=12\pi $.

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;1;4 \right)$ và $B\left( -1;3;2 \right)$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có phương trình: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=25$. Tập hợp các điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ và cách đều hai điểm $A$ và $B$ là đường tròn có bán kính bằng

A. $\frac{5\sqrt{3}}{3}$.      B. $\frac{5}{2}$.      C. $\frac{5\sqrt{6}}{3}$.      D. $\frac{10\sqrt{2}}{3}$.

Lời giải:

Vì điểm $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.

Gọi $E$ là trung điểm $AB$ thì $E\left( 0;2;3 \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua $E\left( 0;2;3 \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}\left( -2;2;-2 \right)$ nên có phương trình: $-2.x+2.\left( y-2 \right)-2.\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x-y+z-1=0$.

Mà $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-3;2 \right)$ và bán kính $R=5$.  Ta có: $d\left( I;\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 1+3+2-1 \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Nên bán kính đường tròn giao tuyến bằng $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.

Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;-1;-1 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-1=0$ và $\left( Q \right):2x-y+2z+5=0$. Số các mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là

A. 0.      B. 1.      C. 2.      D. Vô số.

Lời giải:

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $d\left( I,\left( P \right) \right)=d\left( I,\left( Q \right) \right)=R$ $\Leftrightarrow \frac{\left| 2a-b+2c-1 \right|}{3}=\frac{\left| 2a-b+2c+5 \right|}{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2a-b+2c-1=2a-b+2c+5 \\  & 2a-b+2c-1=-2a+b-2c-5 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 2a-b+2c+2=0\,$.

Suy ra, $I$ thuộc mặt phẳng $\,\left( \alpha  \right)$: $2x-y+2z+2=0$.

Khi đó mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a-b+2c-1 \right|}{3}=1$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $A$ nên $IA=R=1$, do đó $I$ thuộc mặt cầu $\left( T \right)$ tâm $A$ bán kính ${{R}_{T}}=1$.

Ta có $d\left( A,\left( \alpha  \right) \right)=1={{R}_{T}}$.

Do đó $\left( T \right)$ và $\left( \alpha  \right)$ có đúng một điểm chung, tức là có duy nhất một điểm chung $I$ thỏa mãn.

Vậy có duy nhất một mặt cầu thỏa mãn.

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ thỏa mãn $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1.$ Biết rằng mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ là

A. 1.      B. 2.      C. 3.      D. 5.

Lời giải:

Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Với giả thiết $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm $H(1;-1;1)$.

Mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ có tâm $I(2;1;3),{{R}_{mc}}=5$.

Ta gọi K là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

$IK=\sqrt{R_{mc}^{2}-{{r}^{2}}}=3$ và ta thấy $IH=3$ và $IH\ge IK$ nên ta có $H$ trùng với điểm $K$.

$(ABC)$ qua $H(1;-1;1)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{HI}=(1;2;2)$$\Rightarrow x+2y+2z-1=0\Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=1$.

Vậy $a+b+c=2$.

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-6}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 4\,;3\,;4 \right)$ song song với đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ là

A. $2x+2y+z-18=0$.      B. $2x-y-2z-10=0$.      C. $2x+y+2z-19=0$.      D. $2x-y-2z+3=0$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1\,;2\,;3 \right)$ và bán kính $R=3$.

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a\,;b\,;c \right)\,,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+c\left( z-4 \right)=0$.

Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( -3\,;2\,;2 \right)$.

Do $\Delta {//}\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=\vec{0}\Leftrightarrow $$-3a+2b+2c=0\Leftrightarrow 3a=2\left( b+c \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| -3a-b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$

$\Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( 3a+b+c \right)}^{2}}$$\left( * \right)$, thay $3a=2\left( b+c \right)$ vào $\left( * \right)$, ta được:

$4{{\left( b+c \right)}^{2}}+9\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( 2a+2b+b+c \right)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{\left( b+c \right)}^{2}}+9\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9{{\left( b+c \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-5bc+2{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( 2b-c \right)\left( b-2c \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2b=c \\ & b=2c \\ \end{align} \right.$.

Khi $2b-c=0$, ta chọn $b=1\Rightarrow c=2,a=2\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-19=0$.

Khi $b-2c=0$, ta chọn $c=1\Rightarrow b=2,a=2\Rightarrow \left( P \right):2x+2y+z-18=0$.

Câu 24. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;-2;0 \right),\,\,B\left( 2;1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $x-y+z+1=0.$ Biết mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua hai điểm A, B đồng thời tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất có phương trình là $ax-y+cz+d=0$ với $a,\,\,c,\,\,d\in \mathbb{R}.$ Khi đó, giá trị $2a-c+d$ bằng

A. 1.      B. 3.      C. 9.      D. 19.

Lời giải:

• Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;3;-1 \right)$ là 1 VTCP của $AB$.

$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-1;1 \right)$ là 1 VTPT của $\left( P \right)$ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=-3\ne 0\Rightarrow$ đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm $I.$

• Gọi $\Delta =\left( \alpha \right)\cap \left( P \right)$ và $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( P \right)$ và $\Delta .$

Khi đó $\Delta \bot \left( AHK \right)\Rightarrow $ góc giữa $\left( \alpha  \right)$ và $\left( P \right)$ là $\widehat{AKH}$.

$\Delta AKH$ vuông tại $H\Rightarrow \tan \widehat{AKH}=\frac{AH}{HK}\ge \frac{AH}{HI}=const$

• ­$\widehat{AKH}\min \Leftrightarrow \tan \widehat{AKH}\min =\frac{AH}{HI}$ khi $K\equiv I\Rightarrow \Delta \bot AB$.

$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 2;-2;-4 \right)$ là 1 VTCP của $\Delta $ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 14;-2;8 \right)$ là 1 VTPT của $\left( \alpha  \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 7;-1;4 \right)$ là 1 VTPT của $\left( \alpha  \right)$.

Mà $A\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow $ phương trình $\left( \alpha  \right)$ là: $7x-y+4z-9=0$. Suy ra $a=7,\,\,c=4,\,\,d=-9\Rightarrow 2a-c+d=1$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,   02/3/2023

Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT QG năm 2023

1  Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1  Ấn đây vào bài này

2  Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2    Ấn đây vào bài này

3  Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC    Ấn đây vào bài này

4  Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz    Ấn đây vào bài này

5  Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC    Ấn đây vào bài này

6  Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023    Ấn đây vào bài này

7  Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1    Ấn đây vào bài này

8  Hình học không gian tọa độ Oxyz phần 2 Ôn thi TNTHPT 2023    Ấn đây vào bài này