Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023

Chuyên đề này có 2 phần, phần 1 có các câu hỏi từ câu 1 đến câu 33, phần 2 có các câu hỏi từ câu 34 đến câu 36. 

Sau đây là nội dung phần 2.

Câu 34. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18$ và hai điểm $A\left( 8;0;0 \right),\,\,B\left( 4;4;0 \right)$. Điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Biết $MA+3MB$ đạt giá trị nhỏ nhất tại ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$. Giá trị của biểu thức $T=4{{x}_{0}}-9{{y}_{0}}$ bằng

A. 46.      B. 124.      C. $-46$.      D. $-124$.

Lời giải:

+) Gọi $M\left( x;y;z \right)\in \left( S \right)$ thì ta có ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18\Leftrightarrow 8\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]-144=0$.

Do đó $MA+3MB=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]-144}+3\sqrt{{{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=\sqrt{9{{x}^{2}}+9{{\left( y-8 \right)}^{2}}+9{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( 4-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}=3\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}} \right]$

Gọi $C\left( 0;8;0 \right)$ ta có $MA+3MB=3\left( MC+MB \right)\ge 3BC=12\sqrt{2.}$ Dấu bằng xẩy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt cầu $\left( S \right)$và $M$ nằm giữa $B$ và $C$

+) Đường thẳng $\left( BC \right)$ đi qua điểm $C\left( 0;8;0 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left( -1;1;0 \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{align}& x=-t \\ & y=8+t \\  & z=0 \\ \end{align} \right.$.

Tọa độ giao điểm $M$ của đường thẳng $BC$ với mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{align}& x=-t \\ & y=8+t \\ & z=0 \\ & {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-t \\ & y=8+t \\  & z=0 \\  & {{\left( -t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-t \\ & y=8+t \\  & z=0 \\ & 2{{t}^{2}}-4t-16=0 \\ \end{align} \right.$

Nên $\left\{ \begin{align}& x=2 \\ & y=6 \\ & z=0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=-4 \\  & y=12 \\  & z=0 \\ \end{align} \right.$

Với $M\left( 2;6;0 \right)$ ta có $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{MB}=\left( 2;-2;0 \right) \\ & \overrightarrow{MC}=\left( -2;2;0 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MC}$ nên $M\left( 2;6;0 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $\left\{ \begin{align}& {{x}_{0}}=2 \\ & {{y}_{0}}=6 \\ & {{z}_{0}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow T=4{{x}_{0}}-9{{y}_{0}}=-46.$

Câu 35. Trong không gian ${Oxyz}$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$ và điểm $A\left( 2;-1;2 \right)$. Từ điểm ${A}$ vẽ ba tiếp tuyến ${AM, AN, AP }$ đến mặt cầu ${(S). }$ Gọi $T$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng ${(MNP) }$ sao cho từ ${T}$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt cầu ${(S)}$. Khoảng cách từ ${T }$ đến giao điểm của đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{align}& x=-1+t \\  & y=2-t \\ & z=1+3t \\ \end{align} \right.$ với mặt phẳng ${(MNP) }$ có giá trị nhỏ nhất bằng

A. $\frac{27\sqrt{3}}{16}+\frac{3\sqrt{5}}{2}$.      B. $\frac{27\sqrt{3}}{16}-\frac{3\sqrt{5}}{2}$.      C. $\frac{27\sqrt{3}}{8}-\frac{3\sqrt{5}}{2}$.      D. 0.

Lời giải:

Mặt cầu ${(S) }$ có tâm $I\left( 0;1;-2 \right)$ và bán kính $R=3$. Gọi ${H }$ là giao điểm của ${IA}$ và mặt phẳng ${(MNP). }$ Dễ thấy mặt phẳng ${(MNP) }$ đi qua H và vuông góc ${IA, }$ $\overrightarrow{IA}\left( 2;-2;4 \right)$ cùng phương $\overrightarrow{n}\left( 1;-1;2 \right)$.

Ta có $IA=2\sqrt{6}$ và $IH.IA=I{{M}^{2}}\Leftrightarrow IH=\frac{I{{M}^{2}}}{IA}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$ và $HA=\frac{5\sqrt{6}}{4}$.

Từ $\frac{IH}{IA}=\frac{3}{5}\Rightarrow 5\overrightarrow{IH}=-3\overrightarrow{IA}\Leftrightarrow H\left( \frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{-1}{2} \right)$.

Ta viết được phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right):x-y+2z+\frac{1}{2}=0$.

Gọi $Q=\Delta \cap \left( MNP \right)\Rightarrow Q\left( \frac{-15}{16};\frac{31}{16};\frac{19}{16} \right)$.

Gọi ${(C) }$ là đường tròn giao tuyến của ${(MNP) }$ và mặt cầu. ${(C) }$ có tâm $H\left( \frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{-1}{2} \right)$ và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$.

TH1: ${T}$ thuộc ${(C).}$

TH2: Đặt $T\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và ${TC, TD }$ là các tiếp tuyến vuông góc với nhau kẻ từ $T$ đến. Khi đó để $TD$ và $TC$ vuông góc nhau điều kiện đủ là

${{90}^{\circ }}\le \widehat{CTD}<180\Leftrightarrow {{45}^{0}}\le \widehat{ITC}<90$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \widehat{ITC}<1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le \frac{3}{IT}<1$

$\Leftrightarrow 3<IT\le 3\sqrt{2}\Rightarrow 9<I{{T}^{2}}\le 18\Leftrightarrow 3<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\le 6\Leftrightarrow 1<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4$

$\Leftrightarrow 3<IT\le 3\sqrt{2}\Rightarrow 9<{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}\le 18$.

Từ hai trường hợp ta có $9\le {{x}_{0}}^{2}+{{\left( {{y}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}+2 \right)}^{2}}\le 18$.

Do $T$ nằm trong mặt phẳng $\left( MNP \right)$ nên $T$ thuộc hình vành khăn tâm $H$ với bán kính đường nhỏ là $r=\frac{3\sqrt{10}}{4}$ và $r'=\sqrt{18-I{{H}^{2}}}=\frac{3\sqrt{26}}{4}$.

Ta có $\frac{3\sqrt{10}}{4}<HQ=\frac{27\sqrt{3}}{16}<\frac{3\sqrt{26}}{4}$. Vậy $\min TQ=0$.

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ từ điểm $A\left( 1;1;0 \right)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;1;1 \right)$, bán kính $R=1$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2a-b+2c \right|$ bằng

A. $\frac{3+\sqrt{41}}{15}$.      B. $\frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.      C. $\frac{3+\sqrt{41}}{5}$.      D. $\frac{3+2\sqrt{41}}{15}$.

Lời giải:

Gọi $M$ là tiếp điểm của tiếp tuyến và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AI$.

Ta có $AI=\sqrt{5}$ suy ra $AM=2$.

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông $MAI$ ta có $AH=\frac{A{{M}^{2}}}{AI}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AI}\Rightarrow H\left( -\frac{3}{5};1;\frac{4}{5} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $H$ và vuông góc $AI$ là:$2\left( x+\frac{3}{5} \right)-\left( z-\frac{4}{5} \right)=0\Leftrightarrow 2x-z+2=0$.

$M\left( a;b;c \right)\in \left( \alpha  \right)$ suy ra $c=2a+2$.

$M\left( a;b;c \right)\in \left( S \right)$ suy ra ${{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+1 \right)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=\frac{4}{5}$.

Ta có: $2a-b+2c=2a-b+2\left( 2a+2 \right)=6a-b+4=\frac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)-\frac{3}{5}$.

Có ${{\left( \frac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right) \right)}^{2}}\le \left( \frac{36}{5}+1 \right)\frac{4}{5}=\frac{164}{25}\Rightarrow -\frac{2\sqrt{41}}{5}\le \frac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)\le \frac{2\sqrt{41}}{5}$.

$\Rightarrow -\frac{3+2\sqrt{41}}{5}\le \frac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\frac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)-\frac{3}{5}\le \frac{3+2\sqrt{41}}{5}\Rightarrow T\le \frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.

Vậy ${{T}_{max}}=\frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 0,0,13 \right)$, $B\left( 0,12,5 \right)$. Điểm $C$ di động trên trục $Ox$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi đó $H$ luôn thuộc một mặt cầu cố định. Bán kính $R$ của mặt cầu đó bằng

A. 5.      B. $\frac{10}{3}$.      C. $\frac{4\sqrt{13}}{3}$.      D. $\frac{2\sqrt{13}}{3}$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$, ta có $M\left( 0;6;9 \right)$.

$A,B\in \left( Oyz \right)$, $C\in Ox$ nên $OC\bot \left( OAB \right)$ do vậy $CB=CA$ nên $H\in OM$.

Ta có $OA=OB=13$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OM\bot AB$. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $OAB$ $\Rightarrow K=OM\cap BD$ với $D$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $OA$.

Ta có $AB\bot \left( OCM \right)$ $\Rightarrow AB\bot KH$

Có $\left\{ \begin{align}& BD\bot OA \\  & BD\bot OC \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow BD\bot \left( OAC \right)\Rightarrow BD\bot AC$; $AC\bot BH$ nên $AC\bot \left( BHK \right)\Rightarrow KH\bot AC$.

Từ và ta có $KH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow KH\bot HM$ $\Rightarrow \widehat{KHM}=90{}^\circ $ do đó $H$ luôn thuộc mặt cầu đường kính $KM$.

Ta có phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $B$ và vuông góc với $OA$ là $z=5$.

Phương trình đường thẳng $OM$: $\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=6+2t \\  & z=9+3t \\ \end{align} \right.$

Khi đó $K=OM\cap \left( \alpha  \right)\Rightarrow K\left( 0;\frac{10}{3};5 \right)$.

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\frac{KM}{2}=\frac{2\sqrt{13}}{3}$.

Câu 38. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;5;2 \right)$ và $B\left( 5;13;10 \right)$. Có bao nhiêu điểm $I\left( a;b;c \right)$ với $a,b,c$ là các số nguyên sao cho có mặt cầu tâm $I$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$?

A. 4.      B. 6.      C. 8.      D. 10.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}=\left( 4;8;8 \right)$ $\Rightarrow AB:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=5+2t \\ & z=2+2t \\ \end{align} \right.$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow M\left( 3;9;6 \right)\Rightarrow $ Mặt phẳng trung trực của $AB$ là $\left( \alpha  \right):x-3+2\left( y-9 \right)+2\left( z-6 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-33=0$.

$I\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow a+2b+2c-33=0\Leftrightarrow a=33-2b-2c\Rightarrow a$ là số nguyên lẻ.

Gọi $J=AB\cap \left( Oxy \right)\Rightarrow J\left( 0;3;0 \right)\Rightarrow JA=3\,,\,JB=15$.

Gọi $C$ là tiếp điểm của mặt cầu và $\left( Oxy \right)\Rightarrow C\left( a;b;0 \right)$.

Ta có: $JA.JB=J{{C}^{2}}\Rightarrow J{{C}^{2}}=45\Rightarrow C$ thuộc đường tròn tâm $\left( J,\,3\sqrt{5} \right)$.

Xét trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, phương trình của $\left( J,\,3\sqrt{5} \right)$: ${{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=45\Rightarrow {{a}^{2}}\le 45$.

Do $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $a$ lẻ nên ta có

+) ${{a}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=44$.

+) ${{a}^{2}}=9\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=36$.

+) ${{a}^{2}}=25\Rightarrow {{\left( b-3 \right)}^{2}}=20$.

Vậy có 4 bộ $\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn.

Câu 39. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z+6 \right)}^{2}}=50$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{-1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $\left( S \right)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ ?

A. 28.      B. 29.      C. 33.      D. 55.

Lời giải:

Nhận xét: Hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ nên nó nằm trong một mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$.

Vì vậy để tồn tại hai tiếp tuyến thõa mãn bài toán thì mặt phẳng $\left( P \right)$ phải cắt mặt cầu $\left( S \right)$ một đường tròn có bán kính lớn hơn 0 nên khoảng cách từ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ nhỏ hơn bán kính của mặt cầu.

Gọi $M\left( a;0;0 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $2x+4y-z-2{a}=0$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 4;-3;-6 \right)$.

Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.4+4.\left( -3 \right)-\left( -6 \right)-2a \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 2-2a \right|}{\sqrt{21}}$.

Để tồn tại hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ thì $\frac{\left| 2-2a \right|}{\sqrt{21}}<\sqrt{50}\Leftrightarrow \left| 2-2a \right|<5\sqrt{42}\Leftrightarrow -5\sqrt{42}<2-2a<5\sqrt{42}\Leftrightarrow -15,201...<a<17,201...$

Do $a$ nguyên nên $a\in \left\{ -15;-14;\ldots ;16;17 \right\}$.

Vậy có 33 giá trị $a$ nguyên thỏa mãn hay có 33 điểm $M$ thỏa mãn bài toán.

Câu 40. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}} \right)\in d:\,\left\{ \begin{align}& x=1+t \\  & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.$. Ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho $MA$, $MB$, $MC$ là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $D\left( 1;\,1;\,2 \right)$. Tổng $T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}$ bằng

A. 20.      B. 21.      C. 26.      D. 30.

Lời giải:

* Ta có $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}} \right)\in d:\,\left\{ \begin{align}& x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow {{x}_{0}}+\,{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=4$.

* Mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\Rightarrow $ tâm $O\left( 0;\,0;\,0 \right)$, bán kính $R=3$.

* $MA$, $MB$, $MC$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\Rightarrow MO\bot \left( ABC \right).$

$\Rightarrow $$\left( ABC \right)$ đi qua $D\left( 1;\,1;\,2 \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{OM}\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}} \right)$ có phương trình dạng:

${{x}_{0}}\left( x-1 \right)+\,{{y}_{0}}\left( y-1 \right)+{{z}_{0}}\left( z-2 \right)=0$.

* $MA$ là tiếp tuyến của mặt cầu tại $A$ $\Rightarrow \Delta MOA$ vuông tại $A\Rightarrow OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}=9$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $\left( ABC \right)$ $\left( \,OH+OM=HM \right)$, ta có:

$d\left( O;\,\left( ABC \right) \right)=OH=\frac{\left| -{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-2{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}+{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}\Rightarrow OH.OM=\left| {{z}_{0}}+4 \right|$.

$\Rightarrow \left| {{z}_{0}}+4 \right|=9\Leftrightarrow {{z}_{0}}=5\vee {{z}_{0}}=-13$.

* Với ${{z}_{0}}=5\Rightarrow $ $M\left( 0;\,-1;\,5 \right)\Rightarrow T=26$ nhận do: $OM=\sqrt{26};\,OH=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}=\frac{9}{\sqrt{26}}$;

$pt\left( ABC \right):\,-y+5z-9=0\Rightarrow MH=d\left( M;\,\left( ABC \right) \right)=\frac{17}{\sqrt{26}}$.

$\Rightarrow OH+HM=OM$.

* Với ${{{z}_{0}}=-13\Rightarrow M\left( 6;\,11;\,-13 \right)\Rightarrow }$ loại do: ${OM=\sqrt{326};\,OH=\frac{9}{\sqrt{326}}}$;

$\left( ABC \right):\,6x+11y-13z+9=0\Rightarrow MH=d\left( M;\,\left( ABC \right) \right)=\frac{335}{\sqrt{326}}$.

$\Rightarrow OH+HM\ne OM$.

Câu 41. Trong không gian với hệ trục $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Điểm $M\left( a;b;c \right)\,,\left( a>0 \right)$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,\,\,MB,\,\,MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ($A,\,\,B,\,\,C$ là các tiếp điểm) và $\widehat{AMB}={{60}^{0}}$, $\widehat{BMC}={{60}^{0}}$, $\widehat{CMA}={{120}^{0}}$. Tổng ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ bằng

A. $\frac{173}{9}$.      B. $\frac{112}{9}$.      C. $-8$.      D. $\frac{23}{9}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}$

Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Đặt $MA=MB=MC=x$ khi đó $AB=x;BC=x\sqrt{2};CA=x\sqrt{3}$ do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên trung điểm $H$ của $AC$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ và $H,\,\,I,\,\,M$ thẳng hàng.

Vì $\widehat{AMC}={{120}^{0}}$ nên tam giác $AIC$ đều do đó $x\sqrt{3}=R$ $\Leftrightarrow x=3$ suy ra $IM=2AM=2x=6$.

Lại có $M\in d$ nên $M\left( -1+t;-2+t;1+t \right),\left( t>1 \right)$ mà $IM=6$ nên ${{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}=36$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=0 \\  & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.$.

Mà $a > 0$ nên $t=\frac{4}{3}$ suy ra $H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)$ nên ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9}$.

Câu 42. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc $d:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t\\ \end{align} \right.$. Ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho $MA$, $MB$, $MC$ là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua $D\left( 1;1;2 \right)$. Tổng $T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}$ bằng

A. 30.      B. 26.      C. 21.      D. 20.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và bán kính $R$. Gọi $M\left( 1+{{t}_{0}};1+2{{t}_{0}};2-3{{t}_{0}} \right)\in d$.

Giả sử $T\left( x;y;z \right)\in \left( S \right)$ là một tiếp điểm của tiếp tuyến $MT$ với mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó $O{{T}^{2}}+M{{T}^{2}}=O{{M}^{2}}$ $\Leftrightarrow 9+{{\left[ x-\left( 1+{{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ y-\left( 1+2{{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left( z-\left( 2-3{{t}_{0}} \right) \right)}^{2}}={{\left( 1+{{t}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( 1+2{{t}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( 2-3{{t}_{0}} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( 1+{{t}_{0}} \right)x+\left( 1+2{{t}_{0}} \right)+\left( 2-3{{t}_{0}} \right)z-9=0$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $\left( 1+{{t}_{0}} \right)x+\left( 1+2{{t}_{0}} \right)y+\left( 2-3{{t}_{0}} \right)z-9=0$

Do $D\left( 1;1;2 \right)\in \left( ABC \right)$ nên $1+{{t}_{0}}+1+2{{t}_{0}}+2.\left( 2-3t \right)-9=0$ $\Leftrightarrow {{t}_{0}}=-1$ $\Rightarrow M\left( 0;-1;5 \right)$.

Vậy $T={{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}=26$.

Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P)$, $({P}')$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $T$, ${T}'$. Tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}'$ là

A. $H\left( -\frac{7}{6};\frac{1}{3};\frac{7}{6} \right)$.      B. $H\left( \frac{5}{6};\frac{2}{3};-\frac{7}{6} \right)$.      C. $H\left( \frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6} \right)$.      D. $H\left( -\frac{5}{6};\frac{1}{3};\frac{5}{6} \right)$.

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-1}=1$.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $d$.

$K\in d$ nên ta có thể giả sử $K(t;2+t;-t)$

$\overrightarrow{IK}=(t-1;2+t;-t+1)$, $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;1;-1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

$IK\bot d$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t-1+2+t+t-1=0$ $\Leftrightarrow t=0$  $\Rightarrow K(0;2;0)$

$\Delta ITK$ vuông tại $T$ có $TH$ là đường cao nên $I{{T}^{2}}=IH.IK$.

$\Leftrightarrow IH=\frac{1}{\sqrt{6}}$ $\left( IK=\sqrt{6} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{IK}$. Giả sử $H(x;y;z)$, có

$\left\{ \begin{align}& x-1=\frac{1}{6}.(-1) \\ & y-0=\frac{1}{6}.2 \\ & z+1=\frac{1}{6}.1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{5}{6} \\  & y=\frac{1}{3} \\ & z=\frac{-5}{6} \\ \end{align} \right.$.  Vậy $H\left( \frac{5}{6};\frac{1}{3};\frac{-5}{6} \right)$.

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left( 6;\,\,0;\,\,0 \right)$, $N\left( 0;\,\,6;\,\,0 \right)$, $P\left( 0;\,\,0;\,\,6 \right)$. Hai mặt cầu có phương trình $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $\left( C \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$?

A. 1.      B. 3.      C. 4.      D. Vô số.

Lời giải:

Nếu điểm $A\left( x;\,y;\,\,z \right)$ thuộc $\left( C \right)$ thì $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow 3x-2y-z=0$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa đường tròn $\left( C \right)$ là $3x-2y-z=0$.

Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ là $x+y+z-6=0$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu thỏa bài toán, $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $\left( MNP \right)$, $J$, $K$, $L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$. Ta có $IJ=IK=IL\Rightarrow HJ=HK=HL$.

Suy ra $I$ thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( MNP \right)$.

Hình chóp $O.MNP$ là hình chóp đều nên đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $MNP$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( MNP \right)$ cũng chính là đường thẳng $d$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( MNP \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ là $x=y=z$.

Dễ thấy $d\subset \left( \alpha  \right)$ suy ra mọi điểm thuộc $d$ đều là tâm của một mặt cầu thỏa bài toán. Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Điểm $M\left( a;b;c \right)\,\left( a>0 \right)$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60{}^\circ $, $\widehat{BMC}=90{}^\circ $, $\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Tổng $Q=a+b+c$ bằng

A. 3.      B. $\frac{10}{3}$.      C. 2.      D. 1.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}$.

Gọi đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ với mặt cầu $\left( S \right)$.

Đặt $MA=MB=MC=x\,\,\left( x>0 \right)$.

Áp dụng định lý côsin trong $\Delta AMB$ và $\Delta CMA$, ta có:

$A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}=2{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}\cos 60{}^\circ ={{x}^{2}}\Rightarrow AB=x$.

$A{{C}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC.\cos \widehat{AMC}=2{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}\cos 120{}^\circ =3{{x}^{2}}\Rightarrow AC=x\sqrt{3}$.

Vì $\Delta BMC$ vuông tại $M$ nên: $BC=\sqrt{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}=x\sqrt{2}$.

Mặt khác $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( x\sqrt{2} \right)}^{2}}=3{{x}^{2}}={{\left( x\sqrt{3} \right)}^{2}}=A{{C}^{2}}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $B$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ thì $H$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$ và ba điểm $H,I,M$ thẳng hàng.

Do $\widehat{AMC}=120{}^\circ $ nên $\widehat{AIC}=60{}^\circ $, suy ra $\Delta AIC$ đều và $AC=IA=IC=R=3\sqrt{3}$.

Suy ra $x\sqrt{3}=3\sqrt{3}\Rightarrow x=3$ và $IA=IM\cos 30{}^\circ \Leftrightarrow IM=\frac{2IA}{\sqrt{3}}=\frac{2.3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$.

Điểm $M\in d$ nên $M\left( t-1;t-2;t+1 \right)\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}=3{{t}^{2}}-4t+36$.

Mà $I{{M}^{2}}=36\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t+36=36\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=0\Rightarrow M\left( -1;-2;1 \right) \\ & t=\frac{4}{3}\Rightarrow M\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right) \\ \end{align} \right.$

Vì ${{x}_{M}}>0$ nên điểm cần tìm là $M\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)$, suy ra $Q=2$.

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in \left( P \right)$ và $N\in \left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;1 \right)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ lớn nhất. Độ dài $MN$ bằng

A. 3.      B. $1+2\sqrt{2}$.      C. $3\sqrt{2}$.      D. 14.

Lời giải:

$\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$ và bán kính $R=1$. Ta có: ${d}\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| -1-2.2+2.1-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2>R$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\alpha $ là góc giữa $MN$ và $NH$.

Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ nên góc $\alpha $ có số đo không đổi, $\alpha =\widehat{HNM}$.

Có $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\frac{1}{\cos \alpha }.HN$ nên $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $HN$ lớn nhất $\Leftrightarrow $$HN=d\left( I,\left( P \right) \right)+R=3$.

Có $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right) \right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $MN=\frac{1}{\cos \alpha }HN=3\sqrt{2}$.

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$. Điểm $M$ thay đổi trên $\left( S \right)$, điểm $N$ thay đổi trên $(P)$. Độ dài nhỏ nhất của $MN$ bằng

A. 1.      B. 2.      C. $\frac{1}{2}$.      D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=3$; $d\left( I;(P) \right)=4>R$ $\Rightarrow $ mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ không có điểm chung.

Dựng $IH\bot (P),(H\in (P))$. Ta có: $MN$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn $IH$ với $(S)$ và $N\equiv H$.

Phương trình đường thẳng $IH$: $\left\{ \begin{align}& x=1+2t \\ & y=-2-t \\ & z=-1+2t \\ \end{align} \right.;\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Điểm $M\left( 1+2t;-2-t;-1+2t \right)\in (S)$ nên ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$

$\Leftrightarrow {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( -t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$. Khi đó ${{M}_{1}}\left( 3;-3;1 \right),{{M}_{2}}\left( -1;-1;-3 \right)$.

Thử lại: $d\left( {{M}_{1}};(P) \right)=1$; $d\left( {{M}_{2}};(P) \right)=7>IH=4$.

Vậy $M{{N}_{\min }}=MH=1$ khi $M\left( 3;-3;1 \right);N\left( \frac{11}{3};-\frac{10}{3};\frac{5}{3} \right)$.

Câu 48. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;3 \right)$ và $B\left( 6;5;5 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $A$, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng

A. $-21$.      B. $-12$.      C. $-18$.      D. $-15$.

Lời giải:

Ta có: $AB=6$

Gọi $h,r$ là chiều cao và bán kính đáy hình nón $\left( N \right)$, $R$ là bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $H$ là tâm đường tròn đáy của $\left( N \right)$.

Để thể tích hình nón $\left( N \right)$ lớn nhất thì $h\ge R$.

Ta có: ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-I{{H}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}$

Thể tích khối nón $\left( N \right)$: $V=\frac{1}{3}h.\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}h.\pi .\left[ {{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}} \right]=\frac{1}{3}\pi \left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right)$

Xét hàm số $f\left( h \right)=\frac{1}{3}\pi \left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right)$ với $R\le h<2R$ ta suy ra ${{V}_{\max }}$ khi $h=\frac{4R}{3}\Rightarrow AH=4,BH=2$.

Gọi $H\left( x;y;z \right)$, khi đó: $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow H=\left( \frac{14}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} \right)$

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ đi qua $H$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến là: $2\left( x-\frac{14}{3} \right)+2\left( y-\frac{11}{3} \right)+1\left( z-\frac{13}{3} \right)=0\Rightarrow 2x+2y+z-21=0$ $\Rightarrow b+c+d=-18$.

Câu 49. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=1$ và điểm $A(2;3;4)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ tiếp xúc với $(S)$, $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

A. $2x+2y+2z+15=0$.      B. $x+y+z+7=0$.      C. $2x+2y+2z-15=0$.      D. $x+y+z-7=0$.

Lời giải:

Dễ thấy $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$. Tâm mặt cầu là $I(1;2;3)$.

Đường thẳng $AM$ tiếp xúc với $(S)\Leftrightarrow AM\bot IM\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)+(y-3)(y-2)+(z-4)(z-3)=0$

$\Leftrightarrow (x-1-1)(x-1)+(y-2-1)(y-2)+(z-3-1)(z-3)=0$

$\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}-(x+y+z-7)=0$

$\Leftrightarrow x+y+z-7=0\,\,(Do\,\,{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=0)$.

Câu 50. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;-2;2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt cầu $\left( S \right)$ đồng thời thỏa mãn $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}=6$. Điểm $M$ luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây?

A. $2{x}-2y-6{z}+9=0$.      B. $2x-2y-6{z}-9=0$.      C. $2{x}+2y+6{z}+9=0$.      D. $2{x}-2y+6{z}+9=0$.

Lời giải:

Gọi điểm $M\left( x;y;z \right)\in \left( S \right)$ là điểm cần tìm.

Khi đó: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z+4=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=-4z-3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right)$ và $\overrightarrow{AM}=\left( x-2;y+2;z-2 \right)$.

Suy ra $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AM}=6$ $\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)+z\left( z-2 \right)=6$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-2z=6\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được

$-4z-3-2x+2y-2z-6=0$ $\Leftrightarrow 2x-2y+6z+9=0$.

Câu 51. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ và điểm $A(2;2;2)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$. $M$ luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

A. $x+y+z-6=0$.      B. $x+y+z-4=0$.      C. $3x+3y+3z-8=0$.      D. $3x+3y+3z-4=0$.

Lời giải:

$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=1$.

Do $IA=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}>R$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

$\Delta AMI$ vuông tại $M$: $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$.

$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm $A$ bán kính $\sqrt{2}$.

Ta có phương trình $\left( {{S}'} \right)$$:{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2$.

Ta có $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)$.

Tọa độ của $M$ thỏa hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\  & {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.\left( I \right)$.

Ta có $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-4y-4z+10=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow 2x+2y+2z-8=0$ $\Leftrightarrow x+y+z-4=0$

Suy ra $M\in \left( P \right):x+y+z-4=0$.

Câu 52. Trong không gian $Oxyz,$ cho $\left( S \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$, điểm $M\left( 7;1;3 \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng di động luôn đi qua $M$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $N$. Tiếp điểm $N$ di động trên đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $J\left( a,b,c \right)$. Gọi $k=2a-5b+10c$, thì giá trị của $k$ là

A. 45.      B. 50.      C. $-45$.      D. $-50$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$ có tâm $I\left( -3;2;5 \right)$, bán kính $R=6$.

Có $IM=\sqrt{25+16+4}=3\sqrt{5}>6=R$, nên $M$ thuộc miền ngoài của mặt cầu $\left( S \right)$.

Có $MN$ tiếp xúc mặt cầu $\left( S \right)$ tại $N$, nên $MN\bot IN$ tại $N$.

Gọi $J$ là điểm chiếu của $N$ lên $MI$.

Có $I{{N}^{2}}=IJ.IM$. Suy ra $IJ=\frac{I{{N}^{2}}}{IM}=\frac{36}{3\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$, $I$ cố định.

Suy ra $N$ thuộc $\left( P \right)$ cố định và mặt cầu $\left( S \right)$, nên $N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $J$.

Gọi $N\left( x;y;z \right)$, có $\overrightarrow{IJ}=\frac{IJ}{IM}\overrightarrow{IM}$ $=\frac{12\sqrt{5}}{5}\frac{1}{3\sqrt{5}}\overrightarrow{IM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{IM}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x+3=8 \\ & y-2=-\frac{4}{5} \\ & z-5=-\frac{2}{5} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow N\left( 5;\frac{6}{5};\frac{23}{5} \right)$, $k=2a-5b+10c=50$. Vậy $k=50$.

Câu 53. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M\left( 2;1;4 \right),\,\,N\left( 5;0;0 \right),\,\,P\left( 1;-3;1 \right)$. Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ đồng thời đi qua các điểm $M,\,\,N,\,\,P$. Biết rằng $a+b+c<5$, khi đó $c$ bằng

A. 1.      B. 2.      C. 3.      D. 4.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( a;b;c \right)$ là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$

Đk: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$

$\left( S \right)$ đi qua các điểm $M,\,\,N,\,\,P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -4a-2b-8c+d=-21 \\ & -10a+d=-25 \\ & -2a+6b-2c+d=-11 \\ & R=\left| a \right| \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -4a-2b-8c+10a-25=-21 \\ & d=10a-25 \\ & -2a+6b-2c+10a-25=-11 \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{a}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 6a-2b-8c=4 \\ & d=10a-25 \\ & 8a+6b-2c=14 \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6a-2b-8c=4 \\  & d=10a-25 \\  & 32a+24b-8c=56 \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6a-2b-8c=4 \\ & d=10a-25 \\ & 26a+26b=52 \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& c=a-1 \\ & d=10a-25 \\ & b=-a+2 \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow {{\left( -a+2 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}-10a+25=0$

$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-16a+30=0$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=3 \\ & a=5 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\ & b=-1 \\ & c=2 \\  & d=5 \\ \end{align} \right.$ hay $\left\{ \begin{align}& a=5 \\ & b=-3 \\ & c=4 \\ & d=25 \\ \end{align} \right.\,$

Vì $a+b+c<5$ nên chọn $c=2$.

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left( 6;0;0 \right)$, $N\left( 0;6;0 \right)$, $P\left( 0;0;6 \right)$. Hai mặt cầu có phương trình $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $\left( C \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$.

A. 1.      B. 3.      C. Vô số.      D. 4.

Lời giải:

 Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\in \left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( MNP \right)$.

Ta có: $\left( S \right)$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ NP,\ PM$

$\Leftrightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)=d\left( I,PM \right)$ $\Leftrightarrow d\left( H,MN \right)=d\left( H,NP \right)=d\left( H,PM \right)$

$\Leftrightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$.

 $\left( MNP \right)$ có phương trình là $\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1$ hay $x+y+z-6=0$.

 $\left( C \right)=\left( {{S}_{1}} \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)$ $\Rightarrow $ Tọa độ các điểm thuộc trên $\left( C \right)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0 \\ &{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow 3x-2y-z=0$.

Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ là $\left( \alpha  \right):3x-2y-z=0$.

 Vì $1.3+1.\left( -2 \right)+1.\left( -1 \right)=0$ $\Rightarrow \left( MNP \right)\bot \left( \alpha  \right)$. $\left( 1 \right)$

 Ta có: $MN=NP=PM=6\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta MNP$ đều.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ $\Rightarrow G\left( 2;2;2 \right)$ và $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$. Thay tọa độ của điểm $G$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$, ta có: $G\in \left( \alpha  \right)$.

 Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với $\left( MNP \right)$ tại $G$.

Vì $\left\{ \begin{align}& \left( MNP \right)\bot \left( \alpha  \right) \\ & G\in \left( \alpha  \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta \subset \left( \alpha  \right)$.

Khi đó: $\forall I\in \Delta $$\Rightarrow d\left( I,MN \right)=d\left( I,NP \right)$$=d\left( I,PM \right)=r$

$\Rightarrow $ mặt cầu tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.

Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,\ MP,\ PM$.

Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A\left( -3;1;1 \right),\ B\left( 1;-1;5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+11=0.$ Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm $C$. Biết $C$ luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định. Bán kính $r$ của đường tròn $\left( T \right)$ bằng

A. 4.      B. 2.      C. $\sqrt{3}$.      D. $\sqrt{2}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)$ và mp $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;2 \right)$. Do đó $AB$ vuông góc với $\left( P \right)$.

Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có $\left\{ \begin{align}& 9+1+1+6a-2b-2c+d=0 \\  & 1+1+25-2a+2b-10c+d=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 6a-2b-2c+d=-11 \\ & 2a-2b+10c-d=27 \\ \end{align} \right.$.

Suy ra $8a-4b+8c=16\Leftrightarrow 2a-b+2c=4.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a-b+2c+11 \right|}{3}=5.$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{16+4+16}=6.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có  $d\left( C,AB \right)=IM=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4.$

Vậy $C$ luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định có bán kính $r=4.$

Câu 56. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( \frac{5+\sqrt{3}}{2};\frac{7-\sqrt{3}}{2};3 \right)$, $B\left( \frac{5-\sqrt{3}}{2};\frac{7+\sqrt{3}}{2};3 \right)$ và mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=6$. Xét mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, $\left( a,b,c,d\in \mathbb{Z}:d<-5 \right)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm $A,B$. Gọi $(N)$ là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu $(S)$ và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$. Khi thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ có diện tích lớn nhất thì giá trị của $\left| a+b+c+d \right|$ bằng

A. 2.      B. 4.      C. 6.      D. 12.

Lời giải:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.

Có $IA=IB=\sqrt{6}$ nên $A,B$ thuộc mặt cầu $(S)$.

$\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{3};\sqrt{3};0 \right)=-\sqrt{3}\left( 1;-1;0 \right)=-\sqrt{3}\overrightarrow{a}$, $M\left( \frac{5}{2};\frac{7}{2};3 \right)$ là trung điểm của $AB$.

Gọi $\overrightarrow{a}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Vì $A,B\in (P)$ nên có $\left\{ \begin{align}& I\in (P) \\ & \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{5}{2}a+\frac{7}{2}b+3c+d=0 \\ & a-b=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& d=-6a-3c \\ & a=b \\ \end{align} \right.$.

Gọi $h=d\left( I,(P) \right)$, $(C)=(P)\cap (S)$, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$.

$r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{6-{{h}^{2}}}$.

Diện tích thiết diện qua trục của hình nón $(N)$:  $S=\frac{1}{2}.h.2r=h.\sqrt{6-{{h}^{2}}}\le \frac{{{h}^{2}}+6-{{h}^{2}}}{2}=3$.

$MaxS=3$ khi ${{h}^{2}}=6-{{h}^{2}}\Rightarrow h=\sqrt{3}$.

$h=d\left( I,(P) \right)\Leftrightarrow \sqrt{3}=\frac{\left| a+2b+3c+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$.

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{c}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=c \\ & a=-c \\ \end{align} \right.$.

Nếu $a=c$ thì $b=a;d=-9a$ và $(P):ax+ay+az-9a=0\Leftrightarrow x+y+z-9=0$.

Nếu $a=-c$ thì $b=a;d=-3a$ và $(P):ax+ay-az-3a=0\Leftrightarrow x+y-z-3=0$.

Vậy $\left| a+b+c+d \right|=6$.

Câu 57. Trong không gian $Oxyz$, xét số thực $m\in \left( 0;1 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x-y+2z+10=0$ và $\left( \beta  \right):\frac{x}{m}+\frac{y}{1-m}+\frac{z}{1}=1$. Biết rằng, khi $m$ thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$. Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng

A. 3.      B. 6.      C. 9.      D. 12.

Lời giải:

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu.

Theo giả thiết ta có $R=d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=d\left( I,\left( \beta  \right) \right)$.

Mà $d\left( I,\left( \beta  \right) \right)=\frac{\left| \frac{a}{m}+\frac{b}{1-m}+c-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1-m \right)}^{2}}}+1}}$

Ta có

$\sqrt{\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1-m \right)}^{2}}}+1}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{1-m} \right)}^{2}}-2\frac{1}{m}.\frac{1}{1-m}+1}$ $=\sqrt{{{\left[ \frac{1}{m\left( 1-m \right)} \right]}^{2}}-2\frac{1}{m}.\frac{1}{1-m}+1}$  $=\frac{1}{m\left( 1-m \right)}-1$  do $m\in \left( 0;1 \right)$.

Nên $R=\frac{\left| \frac{a\left( 1-m \right)+bm+cm\left( 1-m \right)-m\left( 1-m \right)}{m\left( 1-m \right)} \right|}{\frac{1}{m\left( 1-m \right)}-1}$  $\Leftrightarrow R=\frac{\left| a-am+bm+cm-c{{m}^{2}}-m+{{m}^{2}} \right|}{{{m}^{2}}-m+1}$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& R-Rm+R{{m}^{2}}=a-am+bm+cm-c{{m}^{2}}-m+{{m}^{2}} \\ & -R+Rm-R{{m}^{2}}=a-am+bm+cm-c{{m}^{2}}-m+{{m}^{2}} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{m}^{2}}\left( R+c-1 \right)+m\left( a-b-c-R+1 \right)+R-a=0\left( 1 \right) \\ & {{m}^{2}}\left( R+c-1 \right)+m\left( b+c-a-R-1 \right)+R+a=0\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Xét do mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ với mọi $m\in \left( 0;1 \right)$ nên pt nghiệm đúng với mọi $m\in \left( 0;1 \right)$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& R+c-1=0 \\ & a-b-c-R+1=0 \\ & R-a=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=R \\ & b=R \\  & c=1-R \\ \end{align} \right.$   $\Rightarrow I\left( R;R;1-R \right)$.

Mà $R=d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)$ $\Leftrightarrow R=\frac{\left| 2R-R+2\left( 1-R \right)+10 \right|}{3}$  $\Leftrightarrow 3R=\left| 12-R \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& R=3 \\ & R=-6(l) \\ \end{align} \right.$

Xét tương tự ta được  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& R+c-1=0 \\ & b+c-a-R-1=0 \\ & R+a=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=-R \\ & b=-R \\ & c=R+1 \\ \end{align} \right.$   $\Rightarrow I\left( -R;-R;R+1 \right)$

Mà $d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=R$  $\Leftrightarrow \frac{\left| -2R+R+2\left( 1+R \right)+10 \right|}{3}=R$  $\Leftrightarrow \left| 12+R \right|=3R$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& R=6 \\ & R=-3(l) \\ \end{align} \right.$.

Vậy ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}=9$.

Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$, $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,\,\,b,\,\,c>0$. Biết rằng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$. Tổng $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}$ bằng

A. 14.      B. $\frac{1}{7}$.      C. 7.      D. $\frac{7}{2}$.

Lời giải:

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Vì điểm $M\left( \frac{1}{7}\,,\frac{2}{7},\frac{3}{7} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$

$\Rightarrow \frac{\left( \frac{1}{7} \right)}{a}+\frac{\left( \frac{2}{7} \right)}{b}+\frac{\left( \frac{3}{7} \right)}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

Mặt khác mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$

$\Rightarrow $ khoảng cách từ tâm $I\left( 1,2,3 \right)$ của cầu tới mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\sqrt{\frac{72}{7}}$

$\Rightarrow d\left( I,\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}$ mà $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

$\Rightarrow d\left( I,\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| 7-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$.

Câu 59. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right){: }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $A\left( 2\,;2\,;2 \right)$. Từ $A$ kẻ ba tiếp tuyến $AB$, $AC$, $AD$ với $B$, $C$, $D$ là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right).$

A. $2x+2y+z-1=0$.      B. $2x+2y+z-3=0$.      C. $2x+2y+z+1=0$.      D. $2x+2y+z-5=0$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0\,;0\,;1 \right)$, bán kính $R=2$.

Có $\overrightarrow{IA}=\left( 2\,;2\,;1 \right)$ $\Rightarrow IA=3$.

Tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{5}$.

Gọi $H\left( x\,;y\,;z \right)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.

Ta có: $I{{B}^{2}}=IH.IA\Rightarrow IH=\frac{I{{B}^{2}}}{IA}=\frac{4}{3}\Rightarrow IH=\frac{4}{9}.IA$.

Từ suy ra $\overrightarrow{IH}=\frac{4}{9}\overrightarrow{IA}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-0=\frac{4}{9}.2 \\ & y-0=\frac{4}{9}.2 \\ & z-1=\frac{4}{9}.1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{8}{9} \\ & y=\frac{8}{9} \\  & z=\frac{13}{9} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow H\left( \frac{8}{9}\,;\frac{8}{9}\,;\frac{13}{9} \right)$.

Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2\,;2\,;1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $\left( BCD \right)$ đi qua điểm $H$.

Vậy $\left( BCD \right)$ có phương trình: $2.\left( x-\frac{8}{9} \right)+2.\left( y-\frac{8}{9} \right)+1.\left( z-\frac{13}{9} \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+2y+z-5=0$.

Câu 60. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( S \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ và $\left( {{S}'} \right)$: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( {{S}'} \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $6\pi .$ Khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng

A. $\frac{14}{3}$.      B. $\frac{17}{7}$.      C. $\frac{8}{9}$.      D. $\frac{19}{2}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;\,0;\,1 \right)$, bán kính $R=5$, mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 1;\,2;\,3 \right)$, bán kính ${R}'=1$

Vì ${I}'I=3<R-{R}'=4$ nên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( {{S}'} \right)$ $\Rightarrow d\left( {I}',\,\left( P \right) \right)={R}'=1$; $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $6\pi $ nên $d\left( I,\,\left( P \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=4$.

Nhận thấy $d\left( I,\,\left( P \right) \right)-d\left( {I}',\,\left( P \right) \right)={I}'I$ nên tiếp điểm $H$ của $\left( P \right)$ và $\left( {{S}'} \right)$ cũng là tâm đường tròn giao của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$. Khi đó, $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $H$, nhận $\overrightarrow{I{I}'}=\left( 1;\,2;\,2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{IH}=\frac{4}{3}\overrightarrow{I{I}'}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{H}}=\frac{4}{3} \\ & {{y}_{H}}=\frac{8}{3} \\ & {{z}_{H}}=\frac{11}{3} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow H\left( \frac{4}{3};\,\frac{8}{3};\,\frac{11}{3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$: $x-\frac{4}{3}+2\left( y-\frac{8}{3} \right)+2\left( z-\frac{11}{3} \right)=0$ $\Leftrightarrow x+2y+2z-14=0$.

Khoảng cách từ $O$ đến $\left( P \right)$ là $d\left( O,\,\left( P \right) \right)=\frac{14}{3}$.

Câu 61. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;11;-5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2mx+\left( {{m}^{2}}+1 \right)y+\left( {{m}^{2}}-1 \right)z-10=0$. Biết rằng khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng đi qua $A$. Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng

A. $10\sqrt{2}$.      B. $12\sqrt{3}$.      C. $12\sqrt{2}$.      D. $10\sqrt{3}$.

Lời giải:

Gọi $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ cố định và $R$ là bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có:

$R=d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2m{{x}_{0}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right){{y}_{0}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right){{z}_{0}}-10 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}}}$ $=\frac{\left| 2m{{x}_{0}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right){{y}_{0}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right){{z}_{0}}-10 \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2m{{x}_{0}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right){{y}_{0}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right){{z}_{0}}-10=R\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)  \\ 2m{{x}_{0}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right){{y}_{0}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right){{z}_{0}}-10=-R\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)  \\\end{matrix} \right.$ đúng với mọi $\forall m\in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left( {{y}_{0}}+{{z}_{0}} \right){{m}^{2}}+2m{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}}-10=R\sqrt{2}{{m}^{2}}+R\sqrt{2}  \\ \left( {{y}_{0}}+{{z}_{0}} \right){{m}^{2}}+2m{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}}-10=-R\sqrt{2}{{m}^{2}}-R\sqrt{2}  \\\end{matrix} \right.$ đúng với mọi $\forall m\in \mathbb{R}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix}{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=R\sqrt{2}  \\{{x}_{0}}=0  \\ \end{matrix}  \\ {{y}_{0}}-{{z}_{0}}-10=R\sqrt{2}  \\ \end{matrix}{    }\left( I \right) \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix}{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=-R\sqrt{2}  \\{{x}_{0}}=0  \\ \end{matrix}  \\ {{y}_{0}}-{{z}_{0}}-10=-R\sqrt{2}  \\\end{matrix}{    }\left( II \right) \right.$

Từ hệ $\left( I \right)$ suy ra ${{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=5+R\sqrt{2};{{z}_{0}}=-5$

Do đó tâm mặt cầu là $I\left( 0;5+R\sqrt{2};-5 \right)$

Ta có: ${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=4+{{\left( R\sqrt{2}-6 \right)}^{2}}$ suy ra $R=2\sqrt{2}$ và $R=10\sqrt{2}$

Hệ $\left( II \right)$ suy ra ${{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=5-R\sqrt{2},{{z}_{0}}=-5$

Như vậy, ta có: ${{R}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{4}^{2}}+{{\left( R\sqrt{2}+6 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$, phương trình không có giá trị $R$ thỏa mãn nên loại.

Vậy tổng hai bán kính của hai mặt cầu là: $12\sqrt{2}$.

Câu 62. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ và điểm $A\left( 2;2;2 \right)$. Xét các điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $\left( S \right)$. $M$ luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là

A. $x+y+z-6=0$.      B. $x+y+z-4=0$.      C. $3x+3y+3z-8=0$.      D. $3x+3y+3z-4=0$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$, bán kính $R=1$. $A\left( 2;2;2 \right)$

Ta luôn có $\widehat{AMI}={{90}^{\text{o}}}$, suy ra điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ tâm $E$ là trung điểm của $AI$ đường kính $AI$.

Với $E\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=IE=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Phương trình mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$: ${{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z+6=0$.

Vậy điểm $M$ có tọa độ thỏa mãn hệ: $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z+6=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-3y-3z+6=0 \\ \end{align} \right.$

Trừ theo vế hai phương trình cho nhau ta được: $x+y+z-4=0$.

Câu 63. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai điểm ${A\left( 3;-2;6 \right),B\left( 0;1;0 \right)}$ và mặt cầu ${\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25}$. Mặt phẳng ${\left( P \right):ax+by+cz-2=0}$ đi qua ${A,B}$ và cắt ${\left( S \right)}$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tổng ${T=a+b+c}$ bằng

A. 2.      B. 3.      C. 4.      D. 5.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=5$

Ta có $\left\{ \begin{align}& A\in \left( P \right) \\ & B\in \left( P \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3a-2b+6c-2=0 \\ & b-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=2-2c \\ & b=2 \\ \end{align} \right.$

Bán kính của đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}$

Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất

Ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ $=\frac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{\left( 2-2c \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ $=\sqrt{\frac{{{\left( c+4 \right)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$

Xét $f\left( c \right)=\sqrt{\frac{{{\left( c+4 \right)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$ $\Rightarrow {f}'\left( c \right)=\frac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{\left( 5{{c}^{2}}-8c+8 \right)}^{2}}\sqrt{\frac{{{\left( c+4 \right)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}}$

${f}'\left( c \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& c=1 \\ & c=-4 \\ \end{align} \right.$

Lập bảng biến thiên để có $d\left( I;\left( P \right) \right)$ lớn nhất bằng $\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3$.

Câu 64. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$, điểm $A\left( 0\,;\,0\,;\,2 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left( C \right)$ có diện tích nhỏ nhất, phương trình $\left( P \right)$ là:

A. $\left( P \right):x-2y+3z-6=0$.      B. $\left( P \right):x+2y+3z-6=0$.      C. $\left( P \right):3x+2y+2z-4=0$.      D. $\left( P \right):x+2y+z-2=0$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)$, bán kính $R=3$.

Ta có $IA=\sqrt{6}<R$ $\Rightarrow A$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$.

Ta luôn có $IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}$.

Diện tích của hình tròn $\left( C \right)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tức là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A$.

Khi đó $IA\bot \left( P \right)$$\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left( -1\,;\,-2\,;\,-1 \right)$ làm một VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$: $-x-2y-\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0.$

Câu 65. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$. Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( 0;0;-4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng:

A. 8.      B. 0.      C. 2.      D. $-4$.

Lời giải:

+ Vì $\left( \alpha  \right)$ qua $A$ ta có: $-(-4)+c=0\Rightarrow c=-4$.

+ Vì $\left( \alpha  \right)$ qua $B$ ta có: $2a+c=0\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow $$\left( \alpha  \right)$: $2x+by-z-4=0$.

+ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$, $R=3\sqrt{3}$.

+ Chiều cao khối nón: $h={{d}_{\left( I,\alpha  \right)}}=\frac{\left| 2-2b-3-4 \right|}{\sqrt{4+{{b}^{2}}+1}}=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$.

+ Bán kính đường tròn: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{27-{{\left( \frac{\left| 2b+5\right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{27-\frac{{{\left( 2b+5\right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}}$.

+ Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left( 27-\frac{{{\left( 2b+5 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right)\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$

+ Tới đây ta có thể thử các trường hợp đáp án.

Hoặc ta làm tự luận như sau:

Đặt $t=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$ và xét hàm số $f\left( t \right)=\left( 27-{{t}^{2}} \right)t$ trên đoạn $\left[ 0;3\sqrt{3} \right]$.

Ta có: ${f}'\left( t \right)=27-3{{t}^{2}}$; ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=3 \\ & t=-3\left( l \right) \\ \end{align} \right.$. Lập bảng biến thiên.

Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi $t=3\Leftrightarrow {{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+20b+25=9{{b}^{2}}+45$

$\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0\Leftrightarrow b=2$.  Vì vậy $a-b+c=-4$.

Câu 66. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có điểm $A\left( 1;1;1 \right),$ $B\left( 2;0;2 \right),$ $C\left( -1;-1;0 \right),$ $D\left( 0;3;4 \right)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm ${B}',{C}',{D}'$ thỏa mãn $\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4$. Nếu tứ diện $A{B}'{C}'{D}'$ có thể tích nhỏ nhất thì phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ là

A. $16x+40y+44z-39=0$.      B. $16x-40y-44z+39=0$.      C. $16x+40y-44z+39=0$.      D. $16x-40y-44z-39=0$.

Lời giải:

Đặt $x=\frac{A{B}'}{AB},y=\frac{A{C}'}{AC},z=\frac{A{D}'}{AD}$.

Ta có $\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4$.

Suy ra $4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{64}$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z$.

$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;1 \right); \\ & \overrightarrow{AC}=\left( -2;-2;-1 \right) \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3;-1;-4 \right);\overrightarrow{AD}=\left( -1;2;3 \right)$.

Thể tích của tứ diện $ABCD$ là ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{17}{6}$

Lại có ${{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow $ tứ diện $A{B}'{C}'{D}'$ có thể tích nhỏ nhất khi $xyz$ nhỏ nhất khi, và chỉ khi $x=y=z=\frac{3}{4}\Rightarrow $ Mặt phẳng mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ song song với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ và đi qua điểm ${B}'$. Vì $\overrightarrow{A{B}'}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right)$ nên ${B}'\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right)$

$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{BC}=\left( -3;-1;-2 \right) \\ & \overrightarrow{BD}=\left( -2;3;2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)$  $\Rightarrow \left( {B}'{C}'{D}' \right)$ nhận VTPT là $\vec{n}=\left( 4;10;-11 \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ là: $16x+40y-44z+39=0$.

Nguyễn Quốc Hoàn ,  02/3/2023

Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT QG năm 2023

1  Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1  Ấn đây vào bài này

2  Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2    Ấn đây vào bài này

3  Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC    Ấn đây vào bài này

4  Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz    Ấn đây vào bài này

5  Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC    Ấn đây vào bài này

6  Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023    Ấn đây vào bài này

7  Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1    Ấn đây vào bài này

8  Hình học không gian tọa độ Oxyz phần 2 Ôn thi TNTHPT 2023    Ấn đây vào bài này