Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1

Phương pháp tọa độ trong không gian là phần hình học trong chương trình môn toán lớp 12, chuyên đề này có nhiều câu hỏi xuất hiện trong đề thi Tốt nghiệp THPT QG hàng năm. Ngoài ra chủ đề này có các câu hỏi ở các mức độ nhận thức khác nhau như: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao. Các vấn đề trong chuyên đề gồm có như: vectơ, hệ tọa độ, phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng.
Trong phần đầu tiên của bài viết này chúng tôi cố gắng cung cấp một số câu hỏi đơn giản của chuyên đề.

 

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, đồng thời $\left( \alpha  \right)$ song song và cách đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$ có phương trình là

A. $2x-y+7=0$ hoặc $2x-y-3=0$.       B. $2x+y+7=0$ hoặc $2x+y-3=0$.

C. $2x-y+7=0$ hoặc $2x-y+5=0$.       D. $2x+y+7=0$ hoặc $2x+y-5=0$.

Lời giải:

Ta có: $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Oxy}}} \\ & \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=[\overrightarrow{{{n}_{Oxy}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}]=\left( -2;-1;0 \right)=-\left( 2\,;\,1\,;\,0 \right)$

Vì $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( {2;1;0} \right)$ nên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có dạng: $2x+y+d=0$.

Lấy điểm $A\left( -2;2;3 \right)\in \Delta$. Có ${{d}_{\left( \Delta ;(\alpha ) \right)}}={{d}_{\left( A;(\alpha ) \right)}}=\frac{|-4+2+d|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow |d-2|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & d=7 \\  & d=-3 \\ \end{align} \right.$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $2x+y+7=0$ hoặc $2x+y-3=0$.

Câu 2. Trong không gian ${O x y z}$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=t \\  & y=1-t \\  & z=2 \\ \end{align} \right.{ }\left( t\in \mathbb{R} \right)$. Mặt phẳng đi qua $O$ và chứa $d$ có phương trình là

A. $2x+2y-z=0$.       B. $-2x+2y-z=0$.

C. $x+2y-z=0$.       D. $-x+2y-z=0$.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 0;1;2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.

Do mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $O$ và chứa $d$ nên $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}\bot \overrightarrow{OM}=\left( 0;1;2 \right) \\  & \overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}\bot \overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right) \\ \end{align} \right.{ }$.

Do đó chọn $\overrightarrow{{{n}_{(\alpha )}}}=\left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{u} \right]=\left( 2;2;-1 \right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$: $2x+2y-z=0$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+3z-2021=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & x=2-t \\ & y=-1-2t \\  & z=4+5t \\ \end{align} \right.$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( Q \right)$. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $x-13y-5z+5=0$.       B. $x+5y+z-13=0$.       C. $2x-y+3z-17=0$.       D. $-x-2y+5z-20=0$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 2;-1;3 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;-2;5 \right)$, lấy $M\left( 2;-1;4 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right)$.

Ta có: $\left. \begin{matrix}\left( P \right)\bot \left( Q \right)  \\d\subset \left( P \right)  \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow \left. \begin{matrix}  \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}  \\\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}  \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 1;-13;-5 \right)$.

$\Rightarrow \left( P \right):x-13y-5z+5=0$.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{align} & x=2+t \\  & y=1-t \\  & z=2t \\ \end{align} \right.$ và ${d}':\,\left\{ \begin{align}& x=2-2{t}' \\ & y=3 \\  & z={t}' \\ \end{align} \right.$. Mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng $d$ và ${d}'$ có phương trình là

A. $\left( P \right):x+5y+2z+12=0$.       B. $\left( P \right):x-5y-2z-12=0$.

C. $\left( P \right):x+5y+2z-12=0$.       D. $\left( P \right):x-5y+2z+12=0$.

Lời giải:

Ta có: $d$ đi qua điểm $A\left( 2;\,1;\,0 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-\,1;\,2 \right)$.

và ${d}'$ đi qua điểm $B\left( 2;\,3;\,0 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -2;\,0;\,1 \right)$.

Vì $\left( P \right)$ song songvới hai đường thẳng $d$ và ${d}'$ nên VTPT của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -1;\,-5;\,-2 \right)$

Khi đó $\left( P \right)$ có dạng $x+5y+2z+D=0$.

Lại có $\left( P \right)$ cách đều $d$ và ${d}'$ nên $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $M\left( 2;\,2;\,0 \right)$ của $AB$. Do đó $\left( P \right):x+5y+2z-12=0$.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):\left\{ \begin{align} & x=2+4t \\ & y=-t \\ & z=10+t \\ \end{align} \right.$ và $\left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=1+t \\  & z=-2+t \\ \end{align} \right.$. Mặt phẳng song song với cả $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$ có phương trình là

A. $-x-2y+2z+8=0$.       B. $x+2y-2z+8=0$.       C. $x+2y-2z+10=0$.       D. $-x-2y-2z-8=0$.

Lời giải:

+ Đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ lần lượt có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 4;\,-1;\,1 \right);\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 0;\,1;\,1 \right)$.

+ Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với cả $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$, do đó $\left( P \right)$ nhận véctơ $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -2;\,\,-4;\,\,4 \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\left( P \right):-x-2y+2z+m=0$.

+ Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;\,0;\,1 \right)$, bán kính $R=3$.

+ Ta có $d\left( I,(P) \right)=3\Leftrightarrow \frac{\left| -1+2+m \right|}{3}=3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=8 \\  & m=-10 \\ \end{align} \right.$.

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm với phương trình là:  $\left( {{P}_{1}} \right):-x-2y+2z+8=0$ hoặc $\left( {{P}_{2}} \right):-x-2y+2z-10=0$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\ y=1-2t  \\z=\,1+\,\,\,\,t  \\\end{matrix} \right.$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{2}$ có phương trình là

A. $-6x+y+2z+3=0$.       B. $-6x+y-2z+3=0$.       C. $-6x+y+2z-3=0$.       D. $6x+y+2z+3=0$

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}(1;0;1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}(1;2;2)$.

Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-6;1;2)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng$(P)$, ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}  \\\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}  \\\end{matrix} \right.$ nên $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$.

Chọn $\overrightarrow{n}=(-6;1;2)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;1;1)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-6;1;2)$ có phương trình:$\,\,\,\,-6(x-1)+1(y-1)+2(z-1)=0$$\Leftrightarrow -6x+y+2z+3=0$.

Thay tọa độ điểm ${{M}_{2}}$vào phương trình mặt phẳng $(P)$thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $-6x+y+2z+3=0$.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z-17=0$. Biết mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ theo một đường tròn có chu vi bằng $6\pi $. Khi đó mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình là:

A. $x-y+2z-7=0$.       B. $2x-2y+z+17=0$.       C. $2x-2y+z+7=0$.       D. $2x-2y+z-17=0$ và $2x-2y+z+7=0$.

Lời giải:

$\left( Q \right){ // }\left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$ có dạng $2x-2y+z+m=0\,\,\left( m\ne -17 \right)$

Giả sử bán kính đường tròn là $r$. Ta có $2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.

Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 0;\,-2;\,1 \right),\,R=5$.

Ta có $d\left( I;\,\left( Q \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$.

Ta có $d\left( I;\,\left( Q \right) \right)=4\Leftrightarrow \frac{\left| 2.0-2.\left( -2 \right)+1+m \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=4$ $\Leftrightarrow \left| m+5 \right|=12$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m+5=12 \\  & m+5=-12 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=7 \\  & m=-17\,\,\left( L \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $2x-2y+z+7=0$.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, biết mặ̣t phẳng $(P): a x+b y+c z-27=0$, $\left(a, b, c \in \mathbb{R}, a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0\right)$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),\,\,B(-3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3 x+y+z+4=0$. Tổng $S=a+b+c$ bằng

A. $S=-4$.       B. $S=-2$.       C. $S=-12$.       D. $S=2$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -6;\,3;\,1 \right)$; $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;1;1 \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $A;\,B$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ nên $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AB} \\  & \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \\ \end{align} \right.$.

$\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 2;9;-15 \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua $A(3;2;1)$ và nhận $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;9;-15 \right)$ làm VTPT nên có phương trình

$2\left( x-3 \right)+9\left( y-2 \right)-15\left( z-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow 2x+9y-15z-9=0$ $\Leftrightarrow 6x+27y-45z-27=0$

Vậy $a=6;\,b=27;\,c=-45$. Khi đó $S=a+b+c=-12$.

Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $H\left( 2;1;1 \right)$ và cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình là $ax+by+z+c=0$. Tổng $S=a+b+c$ bằng

A. $S=2.$       B. $S=3.$       C. $S=-2.$       D. $S=-3.$

Lời giải:

Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)$

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $H\left( 2;1;1 \right)$ có vectơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}=\overrightarrow{OH}=\left( 2;1;1 \right)$ có dạng $\left( \alpha  \right):{  }2\left( x-2 \right)+1\left( y-1 \right)+1\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+z-6=0$

Mà $\left( \alpha  \right):{  }ax+by+z+c=0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\  & b=1 \\ & c=-6 \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow S=a+b+c=2+1+\left( -6 \right)=-3.$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \beta  \right):2x-y-z+8=0$, $\left( P \right):6x-3y-3z+2=0$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đối xứng với $\left( \beta  \right)$ qua $\left( P \right)$ có phương trình là

A. $\left( \alpha \right):6x-3y-3z+10=0$.       B. $\left( \alpha  \right):6x-3y-3z-20=0$.

C. $\left( \alpha \right):2x-y-z+6=0$.       D. $\left( \alpha  \right):2x-y-z+5=0$.

Lời giải:

Xét hai mặt phẳng $\left( \beta  \right){,}\left( P \right)$ có $\frac{2}{6}=\frac{-1}{-3}=\frac{-1}{-3}\ne \frac{8}{2}\Rightarrow $ $\left( \beta  \right){//}\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right){//}\left( \beta  \right)$ có dạng: $\left( \alpha  \right):2x-y-z+m=0$ $\left( m\ne 8 \right)$

Chọn $M\left( -\frac{1}{3};0;0 \right)\in \left( P \right)$

Có  $d\left( M,\left( \alpha  \right) \right)=d\left( M,\left( \beta  \right) \right)$ $\Leftrightarrow \left| -\frac{2}{3}+m \right|=\left| -\frac{2}{3}+8 \right|\Leftrightarrow \left| -2+3m \right|=22$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{20}{3} \\ & m=8{ }(loại) \\ \end{align} \right.$.

Vậy $\left( \alpha  \right):2x-y-z-\frac{20}{3}=0$ hay $6x-3y-3z-20=0$.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):x+ay+bz+c=0$ qua hai điểm $A\left( 3;2;1 \right)$, $B\left( -3;5;2 \right)$ đồng thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q \right):3x+y+z+4=0$ và $\left( R \right):x-2y+5z-1=0$. Tổng $S=a+b+c$ bằng

A. $-17$.       B. $\frac{59}{5}$.       C. $-8$       D. $-12$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -6;3;1 \right)$. $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;1;1 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{R}}}=\left( 1;-2;5 \right)$.

Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q \right)$ và $\left( R \right)$, ta có: vecto chỉ phương của $d$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{R}}} \right]=\left( 7;-14;-7 \right)$, ta chọn $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-2;-1 \right)$.

Do mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$, $B$ và song song với $d$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$$=\left( -1;-5;9 \right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right):-1\left( x-3 \right)-5\left( y-2 \right)+9\left( z-1 \right)=0$ hay $-x-5y+9z+4=0\Leftrightarrow x+5y-9z-4=0$

Vậy $S=a+b+c=5-9-4=-8$.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá nguyên của $m$ để ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( m+2 \right)x-2\left( m-1 \right)z+3{{m}^{2}}-5=0$ là phương trình một mặt cầu?

A. 4.       B. 5.       C. 6.       D. 7.

Lời giải:

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi ${{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}-3{{m}^{2}}+5>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-10<0\Leftrightarrow -1-\sqrt{11}<m<1+\sqrt{11}$

Theo bài ra $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ \left. -2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4 \right\} \right.\Rightarrow $ có $7$ giá trị của $m$ nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;2;-4 \right)$, $B\left( 1;-3;1 \right)$, $C\left( 2;2;3 \right)$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, đường kính của $\left( S \right)$ bằng

A. $2\sqrt{13}$.       B. $2\sqrt{41}$.       C. $2\sqrt{26}$.       D. $2\sqrt{11}$.

Lời giải:

Gọi tâm mặt cầu là: $I\left( x;{ }y;{ }0 \right)$.

$\left\{ \begin{align}  & IA=IB \\  & IA=IC \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}} \\ & \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}={{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \\ & {{x}^{2}}-2x+1+16={{x}^{2}}-4x+4+9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 10y=10 \\  & 2x=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-2 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow 2R=2\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{26}$.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( -1;0;0 \right)$, $B\left( 0;0;2 \right)$, $C\left( 0;-3;0 \right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là

A. $\frac{\sqrt{14}}{3}$.       B. $\frac{\sqrt{14}}{4}$.       C. $\frac{\sqrt{14}}{2}$.       D. $\sqrt{14}$.

Lời giải:

Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$.

Vì $O$, $A$, $B$, $C$ thuộc $\left( S \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{align}  & d=0 \\  & 1+2a+d=0 \\  & 4-4c+d=0 \\  & 9+6b+d=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-\frac{1}{2} \\  & b=-\frac{3}{2} \\  & c=1 \\  & d=0 \\\end{align} \right.$.

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$$=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+1}$$=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( 1;2;-2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y+z+5=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi $. Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng nào sau đây

A. $\left( {{\alpha }_{1}} \right):2x+2y+z+11=0$.       B. $\left( {{\alpha }_{2}} \right):2x+2y+z-1=0$.

C. $\left( {{\alpha }_{3}} \right):2x+2y+z+21=0$.       D. $\left( {{\alpha }_{4}} \right):x+2y+2z+7=0$.

Lời giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có $IH=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 2.1+2.2+1.(-2)+5 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn và $R$ là bán kính mặt cầu.

Ta có chu vi đường tròn là $2\pi r=8\pi \Rightarrow r=4$.

Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{I{{H}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$.

Ta có $d\left( I,({{\alpha }_{1}}) \right)=\frac{\left| 2.1+2.2+1.(-2)+11 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=5=R$ suy ra $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( {{\alpha }_{1}} \right)$.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có ${A\left( 0;2;0 \right)}$, ${B\left( 2;0;0 \right)}$, ${C\left( 0;0;\sqrt{2} \right)}$ và ${D\left( 0;-2;0 \right)}$. Số đo góc của hai mặt phẳng ${\left( ABC \right)}$ và ${\left( ACD \right)}$ bằng

A. ${{30}^{0}}$.       B. ${{45}^{0}}$.       C. ${{60}^{0}}$.       D. ${{90}^{0}}$.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -2\sqrt{2};-2\sqrt{2};-4 \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ACD \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left( 4\sqrt{2};0;0 \right)$.

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ACD \right)$.

Ta có $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \left( -2\sqrt{2} \right).4\sqrt{2} \right|}{\sqrt{{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}.\sqrt{{{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{2}\to \varphi ={{60}^{0}}$.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;\,1;\,-1 \right)$, $B\left( -1;\,1;\,1 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc $\alpha $ biết ${cos}\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ là

A. $\left( P \right):\,\,x+y+z-1=0$  hoặc $\,\left( P \right):x-y-z-1=0$.

B. $\left( P \right):\,\,x-y+z-1=0$  hoặc $\,\left( P \right):x-y+z+1=0$.

C. $\left( P \right):\,\,x+y+z+1=0$  hoặc $\,\left( P \right):x-y+z+1=0$.

D. $\left( P \right):\,\,x+y+z-1=0 $ hoặc $\,\left( P \right):x-y+z+1=0$.

Lời giải:

Gọi $\vec{n}=\left( a;\,b;\,c \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Khi đó phương trình $\left( P \right):\,\,\,a\,x+by+cz+d=0$.

Ta có $\left\{ \begin{align}  & A\left( 1;1;-1 \right)\in \left( P \right) \\  & B\left( -1;1;1 \right)\in \left( P \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+b-c+d=0 \\  & -a+b+c+d=0 \\ \end{align} \right.$.

Từ đó ta có $\left\{ \begin{align}  & a=c \\  & d=-b \\ \end{align} \right.$ nên $\vec{n}=\left( a;\,b;\,a \right)$.

Theo giả thiết ${cos}\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}.\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=\pm b$.

Với $a=b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=b=c=1$; $d=-1$.

Với $a=-b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=1$; $b=-1$; $c=1$; $d=1$.

Khi đó $\left( P \right):\,\,x+y+z-1=0$ hoặc $\,\left( P \right):x-y+z+1=0$.

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, biết rằng mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-1=0$ với $c<0$ đi qua hai điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó $a+b+c$ bằng

A. $1-\sqrt{2}$.       B. $5$.       C. $1+\sqrt{2}$.       D. $2-\sqrt{2}$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-1=0$ đi qua hai điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}  & a-1=0 \\  & b-1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{align}  & a=1 \\  & b=1 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó $\left( P \right):x+y+cz-1=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;c \right)$.

Mặt phẳng $\left( Oyz \right):x=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}'}}=\left( 1;0;0 \right)$.

Mà $\left( \left( P \right),\left( Oyz \right) \right)=60{}^\circ \Rightarrow \left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}'}} \right) \right|=\cos 60{}^\circ $.

Hay $\cos 60{}^\circ =\frac{\left| \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{{{n}'}} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{{{n}'}} \right|}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2+{{c}^{2}}}}\Leftrightarrow c=\pm \sqrt{2}$.

Với $c<0\Rightarrow c=-\sqrt{2}$.

Khi đó $a+b+c=1+1-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ gọi $d$ đi qua $A\left( -1;0;-1 \right)$, cắt ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-1}$, sao cho góc giữa $d$ và ${{\Delta }_{2}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{2}$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là

A. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$.       B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{-2}$.       C. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}$.       D. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$.

Lời giải:

Gọi $M=d\cap {{\Delta }_{1}}\Rightarrow M\left( 1+2t;2+t;-2-t \right)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{d}}}=\overrightarrow{AM}=\left( 2t+2;t+2;-1-t \right)$

${{\Delta }_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{a}_{2}}}=\left( -1;2;2 \right)$

$\cos \left( d;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}}$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}}{6{{t}^{2}}+14t+9}$, ta suy ra được $\max \,f\left( t \right)=f\left( -\frac{9}{7} \right)=\frac{9}{5}$

Do đó $\max \left[ \cos \left( \Delta ,d \right) \right]=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow t=-\frac{9}{7}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -\frac{4}{7};\frac{5}{7};\frac{2}{7} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}$.

Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x-y+2z=0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ bằng

A. $30{}^\circ $.       B. $60{}^\circ $.       C. $150{}^\circ $.       D. $120{}^\circ $.

Lời giải:

Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;-1;2 \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$, khi đó

$\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =30{}^\circ $.

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ ${O}xyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0,$ $(Q):x+my+(m-1)z+2019=0$. Khi hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $M(2019;-1;1)$       B. $N(0;-2019;0)$       C. $P(-2019;1;1)$       D. $Q(0;0;-2019)$

Lời giải:

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Khi đó: $\cos \varphi =\frac{\left| \,1.1+2.m-2.(m-1)\, \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}=\frac{1}{3.\sqrt{2{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{3\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Góc $\varphi $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow { }m=\frac{1}{2}$.

Khi $m=\frac{1}{2}$ thì $\left( Q \right):x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2019=0$, đi qua điểm $M(-2019;1;1)$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+5=0$ và $\left( Q \right):x-y+2=0$. Trên $\left( P \right)$ có tam giác $ABC$; Gọi ${A}',\ {B}',\ {C}'$ lần lượt là hình chiếu của $A,\ B,\ C$ trên $\left( Q \right)$. Biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $4$, khi đó diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}'$ bằng

A. $\sqrt{2}$.       B. $2\sqrt{2}$.       C. $2$.       D. $4\sqrt{2}$.

Lời giải:

Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ $\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\left| 2.1-1.\left( -1 \right)+2.0 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ta có: ${{S}_{{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.\cos \alpha =4.\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

Câu 23. Trong không gian $Oxyz$, biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$. Số đo góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ với mặt phẳng $\left( Q \right):\,x-y-5=0$ là

A. $30{}^\circ $.       B. $45{}^\circ $.       C. $60{}^\circ $.       D. $90{}^\circ $.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)$.

Hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$$\Rightarrow \left( P \right)$ qua $H$ và nhận $\overrightarrow{OH}=\left( 2\,;\,-1\,;\,-2 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{OH}\,,\,\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+1+0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+1+0}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  $\Rightarrow \varphi =45{}^\circ $.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, biết mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ với $c<0$ đi qua hai điểm $A\left( 0;1;0 \right)$, $B\left( 1;0;0 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( yOz \right)$ một góc $60{}^\circ $. Khi đó giá trị $a+b+c$ thuộc khoảng

A. $\left( 0;3 \right)$.       B. $\left( 3;5 \right)$.       C. $\left( 5;8 \right)$.       D. $\left( 8;11 \right)$.

Lời giải:

Ta có: $A,B\in \left( P \right)$ nên $\left\{ \begin{align}& b+d=0 \\  & a+d=0 \\ \end{align} \right.$. Suy ra $\left( P \right)$ có dạng $ax+ay+cz-a=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;a;c \right)$.

Măt phẳng $\left( yOz \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.

Ta có: $\cos 60{}^\circ =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| a \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}.1}$$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{a}^{2}}$$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-{{c}^{2}}=0$.

Chọn $a=1$, ta có: ${{c}^{2}}=2\Rightarrow c=-\sqrt{2}$ do $c<0$.

Ta có: $a+b+c=a+a+c=1+1-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}\in \left( 0;3 \right)$.

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( -4;-3;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$, cắt trục $Oz$ và song song với $\left( P \right)$ có phương trình là

A. $\frac{x-4}{4}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-3}{-7}$.       B. $\frac{x+4}{4}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-3}{1}$.       C. $\frac{x+4}{-4}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-3}{1}$.       D. $\frac{x+8}{4}=\frac{y+6}{3}=\frac{z-10}{-7}$.

Lời giải:

Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$.

Theo đề, ta có $\Delta \cap Oz=B\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 4;3;c-3 \right)$ là một VTCP của $\Delta $.

Khi đó $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 4.1+3.1+\left( c-3 \right).1=0\Leftrightarrow c-3=-7$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 4;3;-7 \right)$.

Vậy $\Delta :\frac{x+4}{4}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-3}{-7}$ hay $\Delta :\frac{x+8}{4}=\frac{y+6}{3}=\frac{z-10}{-7}$.

Câu 26. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+7}{-2}$. Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và cắt trục $Ox$ có phương trình là

A. $\left\{ \begin{align} & x=-1+2t \\ & y=-2t \\  & z=t \\ \end{align} \right.$       B. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\  & y=2+2t \\  & z=3+3t \\ \end{align} \right.$       C. $\left\{ \begin{align}& x=-1+2t \\  & y=2t \\  & z=3t \\ \end{align} \right.$       D. $\left\{ \begin{align} & x=1+t \\  & y=2+2t \\  & z=3+2t \\ \end{align} \right.$

Lời giải:

Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm.

Gọi $M=\Delta \cap Ox$. Suy ra $M\left( a;0;0 \right)$.

$\overrightarrow{AM}=\left( a-1;-2;-3 \right)$.

$d$ có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right)$.

Vì $\Delta \bot d$ nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$$\Leftrightarrow 2a-2-2+6=0$$\Leftrightarrow a=-1$.

Vậy $\Delta $ qua $M\left( -1;0;0 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{AM}=\left( -2;-2;-3 \right)=-\left( 2;2;3 \right)$ nên $\Delta $ có phương trình: $\left\{ \begin{align}& x=-1+2t \\  & y=2t \\  & z=3t \\ \end{align} \right.$.

Câu 27. Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;1;5 \right)$, bán kính bằng 2 và mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$có phương trình: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi và luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu trên. Khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

A. $\sqrt{15}$.       B. $\frac{9-\sqrt{15}}{2}$.       C. $\frac{9+\sqrt{15}}{2}$.       D. $\frac{9\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$có tâm ${{I}_{1}}\left( 2;1;1 \right)$, bán kính bằng 4. Gọi $M,N$ lần lượt là tiếp điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$và mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ ta có $\frac{{{I}_{1}}M}{{{I}_{2}}N}=2$

$\Rightarrow {{V}_{\left( I,2 \right)}}\left( \left( {{S}_{2}} \right) \right)=\left( {{S}_{1}} \right)\Rightarrow {{V}_{\left( I,2 \right)}}\left( {{I}_{2}} \right)=\left( {{I}_{1}} \right)\Rightarrow I\left( 2;1;9 \right)$

Giả sử $\left( {{I}_{1}}{{I}_{2}}MN \right)\cap \left( P \right)=MN$, $\left( {{I}_{1}}{{I}_{2}}MN \right)\cap \left( P \right)=MN$, $\left( {{I}_{1}}{{I}_{2}}MN \right)\cap \left( {{S}_{1}} \right)=\left( {{I}_{1}},4 \right)$, $\left( {{I}_{1}}{{I}_{2}}MN \right)\cap \left( {{S}_{2}} \right)=\left( {{I}_{2}},2 \right)$. Với $\left( {{I}_{1}},4 \right)$là đường tròn, $\left( {{I}_{2}},2 \right)$là đường tròn.

Xét tam giác ${{I}_{2}}IM$ vuông tại M, $I{{I}_{2}}=4$, ${{I}_{2}}M=2$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên $\left( P \right)$

$\sin \overset{\wedge }{\mathop{{{I}_{2}}IM}}\,=\frac{{{I}_{2}}M}{I{{I}_{2}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overset{\wedge }{\mathop{{{I}_{2}}IM}}\,={{30}^{0}}$.

Tam giác $I{{I}_{1}}O$ có $OI=\sqrt{86},\ I{{I}_{1}}=8,O{{I}_{1}}=\sqrt{6}$.

$\cos \overset{\wedge }{\mathop{{{I}_{1}}IO}}\,=\frac{{{\left( I{{I}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( OI \right)}^{2}}-{{\left( O{{I}_{1}} \right)}^{2}}}{2OI.I{{I}_{1}}}=\frac{9}{\sqrt{86}}\Rightarrow \overset{\wedge }{\mathop{{{I}_{1}}IO}}\,\approx {{13}^{0}}5{7}'9,{9}''{ }\Rightarrow \overset{\wedge }{\mathop{HIO}}\,={{30}^{0}}-\overset{\wedge }{\mathop{{{I}_{1}}IO}}\,\approx {{16}^{0}}2'5{0}''$

Xét tam giác $OIH$ vuông tại $H$. Ta có $OH=OI.\sin \widehat{OIH}\approx 2,5635083$, mà $\frac{9-\sqrt{15}}{2}\approx 2,5635083$.

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+1=0$. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với $d$ có phương trình là:

A. $\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=-4t \\ & z=-3t \\ \end{align} \right.$       B. $\left\{ \begin{align}& x=3+t \\ & y=-2+4t \\  & z=2+t \\ \end{align} \right.$       C. $\left\{ \begin{align} & x=3+t \\  & y=-2-4t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right.$       D. $\left\{ \begin{align}& x=3+2t \\  & y=-2+6t \\  & z=2+t \\ \end{align} \right.$

Lời giải:

$d$: $\left\{ \begin{align}  & x=-1+2t \\  & y=-t \\  & z=-2+2t \\ \end{align} \right.$

Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong $(P)$vuông góc với $d$.

$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}\,}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-1;4;3)$

Gọi $A$ là giao điểm của $d$và $(P)$. Tọa độ $A$ là nghiệm của phương trình: $(-1+2t)+(-t)-(-2+2t)+1=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow A(3;-2;2)$

Phương trình $\Delta $ qua $A(3;-2;2)$ có vtcp$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(-1;4;3)$ là: $\left\{\begin{align}  & x=3+t \\ & y=-2-4t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right.$

Câu 29. Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}  x=2+t  \\ \begin{matrix} y=1+t  \\z=1+t  \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \right.$ và $\left( {{d}_{2}} \right):\frac{x}{1}=\frac{y-7}{-3}=\frac{z}{-1}$. Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ là đường vuông góc chung của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$. Phương trình nào sau đâu là phương trình của $\left( \Delta  \right)$

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-2}$.       B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}$.       C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{-2}$       D. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{-2}$.

Lời giải:

Lấy điểm $M\in \left( {{d}_{1}} \right)$: $M\left( 2+{{t}_{1}};1+{{t}_{1}};1+{{t}_{1}} \right)$

$N\in \left( {{d}_{2}} \right):$ $N\left( {{t}_{2}};7-3{{t}_{2}};-{{t}_{2}} \right)$

$\overrightarrow{MN}=\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}}-2;-3{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+6;-{{t}_{2}}-{{t}_{1}}-1 \right)$

Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0  \\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{t}_{2}}+{{t}_{1}}=1  \\ 11{{t}_{2}}+3{{t}_{1}}=19  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{t}_{2}}=2  \\{{t}_{1}}=-1  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $M\left( 1;0;0 \right),N\left( 2;1;-2 \right)$ và $\overrightarrow{MN}\left( 1;1;-2 \right)$

Phương trình đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua $M,N$ là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-2}$.

Câu 30. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):\,x+y-z+2=0$ và hai đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=t \\  & z=2+2t \\ \end{align} \right.$; $d':\,\left\{ \begin{align}& x=3-{t}' \\ & y=1+{t}' \\  & z=1-2{t}' \\ \end{align} \right..$ Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với $\left( P \right)$; cắt $d,~{d}'$ và tạo với $d$ góc ${{30}^{{0}}}.$ côsin góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$.       B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$.       C. $\sqrt{\frac{2}{3}}$.       D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm, $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ là VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Gọi $M\left( 1+t;\,t;\,2+\,2t \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$; $M'\left( 3-{t}';\,1+{t}';\,1-2{t}' \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và ${d}'$

Ta có: $\overrightarrow{M{M}'}=\left( 2-{t}'-t;\,\,1+{t}'-t;\,\,-1-2{t}'-2t \right)$

$M{M}'{//}\left( P \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & M\notin \left( P \right) \\  & \overrightarrow{M{M}'}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow \overrightarrow{M{M}'}=\left( 4-t;\,\,-1-t;\,\,3-2t \right)$

Ta có $\cos 30{}^\circ =\cos \left( \overrightarrow{M{M}'},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| -6t+9 \right|}{\sqrt{36{{t}^{2}}-108t+156}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=4 \\  & t=-1 \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn với phương trình là ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=5 \\  & y=4+t \\ & z=10+t \\ \end{align} \right.$; ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align} & x={t}' \\ & y=-1 \\ & z={t}' \\ \end{align} \right.$

Khi đó $\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{1}{2}$.

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+3}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$, ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+3y+2z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$, cắt cả ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có phương trình là:

A. $\frac{x+3}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{2}$.       B. $\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{2}$.       C. $\frac{x+4}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+1}{2}$.       D. $\frac{x+7}{1}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+7}{2}$.

Lời giải:

Gọi $A\left( -3+t;2-t;1+2t \right)$ và $B\left( 2+2{t}';1+{t}';-1+{t}' \right)$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng cần tìm với ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.

$\overrightarrow{AB}=\left( 5+2{t}'-t;-1+{t}'+t;-2+{t}'-2t \right)$.

Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với $\left( P \right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;3;2 \right)$.

Do đó $\left\{ \begin{align}& 5+2{t}'-t=1k \\  & -1+{t}'+t=3k \\ & -2+{t}'-2t=2k \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=-1 \\  & {t}'=-4 \\ & k=-2 \\ \end{align} \right.$, suy ra $A\left( -4;3;-1 \right)$, $B\left( -6;-3;-5 \right)$.

Thay vào các đáp án ta thấy C thỏa mãn.

Nguyễn Quốc Hoàn, 02/3/2023

Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT QG năm 2023

1  Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1  Ấn đây vào bài này

2  Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2    Ấn đây vào bài này

3  Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC    Ấn đây vào bài này

4  Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz    Ấn đây vào bài này

5  Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC    Ấn đây vào bài này

6  Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023    Ấn đây vào bài này

7  Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1    Ấn đây vào bài này

8  Hình học không gian tọa độ Oxyz phần 2 Ôn thi TNTHPT 2023    Ấn đây vào bài này