Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC

Chuyên đề này có 2 phần , phần 1 có các câu hỏi từ câu 1 đến câu 33, phần 2 có các câu hỏi từ câu 34 đến câu 36. 

Sau đây là nội dung phần 1.

Câu 1 (đề tham khảo 2023). Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( 0;0;10 \right),B\left( 3;4;6 \right).$ Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left( 4;\,5 \right).$      B. $\left( 3;\,4 \right).$      C. $\left( 2;\,3 \right).$      D. $\left( 6;\,7 \right).$

Lời giải:

Ta có: ${{S}_{OAM}}=\frac{1}{2}OA.d\left( M;\,OA \right)=15\Rightarrow d\left( M;\,OA \right)=3.$

Suy ra: $M$ di động trên mặt trụ, bán kính bằng 3 trục là $OA.$

Xét điểm $D$ như hình vẽ

 $\left\{ \begin{align}  & HA.HO=H{{D}^{2}}=9 \\  & HA+HO=10 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & HA=1 \\  & HO=9 \\ \end{align} \right..$

Vì $\widehat{AMO}\le 90$ nên giới hạn của $M$ là hai mặt trụ với trục $AH$ và $FO.$

Vì hình chiếu của $B$ cách $H$ gần hơn nên $B{{M}_{\min }}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{13}.$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;7;2 \right)$ và $B\left( -1;3;-1 \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=3$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng

A. $4\sqrt{3}$.      B. $3\sqrt{10}$.      C. $\sqrt{85}$.      D. $\sqrt{65}$.

Lời giải:

Gọi ${B}'$ là điểm đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, suy ra ${B}'\left( -1;3;1 \right),BN={B}'N$ và $A,{B}'$ ở cùng phía so với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.

Lấy điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{{B}'K}=\overrightarrow{NM}$ (${B}'NMK$ là hình bình hành), khi đó ${B}'K=MN=3$, ${B}'N=MK$.

Do ${B}'K{//}MN$ nên ${B}'K$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua ${B}'$ và song song với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$, suy ra $\left( \alpha  \right)$ có phương trình $z=1$.

Do ${B}'K=3$ nên $K$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có tâm là ${B}'$, bán kính $R=3$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha  \right)\Rightarrow H\left( 2;7;1 \right)$ và $HB'=5>R$, $E$ là giao điểm của tia đối của tia ${B}'H$ với $\left( C \right)$.

Ta có $\left| AM-BN \right|=\left| AM-{B}'N \right|=\left| AM-MK \right|\le AK$ $=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}\le \sqrt{A{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}$.

Mà $AH=1,HE=H{B}'+{B}'E=5+3=8$ suy ra $\left| AM-BN \right|\le \sqrt{{{1}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{65}$.

Dấu ”=” xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & K\equiv E \\ & M\in AK,\left| AM-MK \right|=AK \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow M=AE\cap \left( Oxy \right)={{M}_{0}}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng $\sqrt{65}$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$. Lấy điểm $M$ trong không gian sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA$, $MB$, $MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn $\widehat{AMB}=60{}^\circ $, $\widehat{BMC}=90{}^\circ $, $\widehat{CMA}=120{}^\circ $ ($A$, $B$, $C$ là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng $OM$ có độ nhỏ nhất bằng

A. $\sqrt{14}-3\sqrt{3}$.      B. $-\sqrt{14}+6\sqrt{3}$.      C. $\sqrt{14}-6$.      D. $6-\sqrt{14}$.

Lời giải:

Vì $MA$, $MB$, $MC$ là 3 tiếp tuyến nên ta đặt $MA=MB=MC=x$.

$\vartriangle MAB$ có $MA=MB$, $\widehat{AMB}=60{}^\circ $ nên $\Delta MAB$ là tam giác đều, suy ra $AB=MA=MB=x$.

Áp dụng định lí Pitago cho $\vartriangle MBC$ ta có $BC=\sqrt{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}}=x\sqrt{2}.$

Áp dụng định lí hàm số côsin cho $\vartriangle MCA$: $CA=\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC.\cos 120{}^\circ }=x\sqrt{3}$.

Nhận thấy $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{x}^{2}}+2{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}=A{{C}^{2}}$, suy ra $\vartriangle ABC$ vuông tại $B$.

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC\Rightarrow I$ là trung điểm của $AC$.

Vì $MA=MB=MC$ nên $MI$ là trục đường tròn ngoại tiếp của $\vartriangle ABC$.

Do đó $M; I; E$ thẳng hàng.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $E\left( 1;2;-3 \right)$ bán kính $R=3\sqrt{3}=EC$

Suy ra $ME=\frac{EC}{\sin {{60}^{0}}}=6$. Vậy $M$ thuộc mặt cầu $\left( S' \right)$ có tâm $E\left( 1;2;-3 \right)$ bán kính $R'=6$.

Ta có $OE=\sqrt{14}$

Vậy $Min\,OM=\left| OE-R' \right|=6-\sqrt{14}$.

Câu 4. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và hai điểm $A\left( 3;0;0 \right);B\left( -1;1;0 \right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng

A. $2\sqrt{34}$.      B. $\sqrt{26}$.      C. 5.      D. $\sqrt{34}$.

Lời giải:

Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là điểm cần tìm.

Ta có: $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0$.

$MA=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};MB=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$.

Suy ra: $MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-8}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=3\sqrt{{{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=3\left( MC+MB \right)\ge 3BC$ với $C\left( \frac{1}{3};0;0 \right)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng 5 khi $\left\{ \begin{align}& M=BC\cap \left( S \right) \\  & \overrightarrow{CM}=k.\overrightarrow{CB}\ \left( k>0 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow M\left( \frac{3-8\sqrt{6}}{25};\frac{4+6\sqrt{6}}{25};0 \right)$.

Câu 5. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A$, $B$ thay đổi trên mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ thỏa mãn $AB=6$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ bằng

A. 6.      B. 10.      C. 12.      D. 24.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$ có tâm $I\left( 0;0;1 \right)$, bán kính $R=5$.

Ta có: $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$ $=2\overrightarrow{OI}\left( \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB} \right)$ $=2\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BA}=2.OI.BA.\cos \left( \overrightarrow{OI},\overrightarrow{BA} \right)$ $\le 2OI.BA=12$.

Dấu “=” xảy ra khi hai vectơ $\overrightarrow{OI},\,\overrightarrow{BA}$ cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $O{{A}^{2}}-O{{B}^{2}}$ là 12.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $M\left( 2;\,2;\,1 \right)$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,\,B$. Khi biểu thức $T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ có giá trị bằng

A. $4\sqrt{3}.$      B. $4.$      C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}.$      D. $2\sqrt{3}$.

Lời giải:

$\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;\,1;\,1 \right),\,bk\,R=2$.

$IM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$và $M$ nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I,\,bk\,{R}'=1$

$T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MB$ nhỏ nhất.

Vậy min$T=3+4.1=7$ khi và chỉ khi $AB$ là đường kính mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow AB=4$.

Cách 2: Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$ và đặt $IH=x\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)$.

TH1: $MA<MB$

Ta có $T=MA+4MB=AH-MH+4\left( MH+HB \right)=3MH+5AH$ $=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+5\sqrt{4-{{x}^{2}}}=f\left( x \right)$

Ta có ${f}'\left( x \right)=x\left( \frac{-3}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\frac{5}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x=0$. Suy ra ${{T}_{\min }}=13$ khi $d$ đi qua $I\Rightarrow AB=2R=4$.

TH2: $MA>MB$

Tính được $T=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$.

Tìm được $\underset{\left[ 0;\,1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=7\Rightarrow AB=4$.

So sánh cả hai trường hợp thì ta có ${{T}_{\min }}=7$ khi đó $AB=4$.

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\,{{(x+2)}^{2}}+(y-3){}^{2}+{{(z-1)}^{2}}=\frac{13}{2}$ và ba điểm $A(-1\,;2\,;3)$, $B(0\,;\,4\,;\,6)$,$C(-2\,;\,1\,;\,5)$; $M(a;b;c)$ là điểm thay đổi trên $(S)$ sao cho biểu thức $2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $a+b+c$ bằng

A. $\frac{13}{2}.$      B. 4.      C. 6.      D. 12.

Lời giải:

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow I(2{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-2{{x}_{C}};2{{y}_{A}}+{{y}_{B}}-2{{y}_{C}};2{{z}_{A}}+{{z}_{B}}-2{{z}_{C}})$ $\Rightarrow I(2;\,6\,;\,2)$. Suy ra là điểm $I$ cố định.

$P=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC})+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2I{{C}^{2}}$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\,MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$(S):\,{{(x+2)}^{2}}+(y-3){}^{2}+{{(z-1)}^{2}}=\frac{13}{2}$ có tâm $J(-2\,;\,3\,;\,1)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{26}}{2}$

Suy ra $IJ=\sqrt{26}$

Mà $\,M$ là điểm thay đổi trên $(S)$ nên $\,MI$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M\equiv B$

Ta có $\left\{ \begin{align} & IJ=\sqrt{26} \\ & BJ=R=\frac{\sqrt{26}}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của $IJ$$\Rightarrow B(0;\frac{9}{2};\frac{3}{2})\Rightarrow M(0;\frac{9}{2};\frac{3}{2})\Rightarrow a+b+c=6.$

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;1;-3 \right)$ và $B\left( -2;3;1 \right)$. Xét hai điểm $M,N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ sao cho $MN=2$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

A. 4.      B. 5.      C. 6.      D. 7.

Lời giải:

Ta có $H\left( 1;0;-3 \right)$, $K\left( -2;0;1 \right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 1;1;-3 \right)$ và $B\left( -2;3;1 \right)$ xuống mặt phẳng $\left( Oxz \right)$.

Nhận xét: ${A}$, ${B}$ nằm về cùng một phía với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$.

Gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\left( Oxz \right)$, suy ra $H$ là trung điểm đoạn $A{A}'$ nên $AM={A}'M$.

Mà ${A}'H=AH=1;BK=3;HK=5$.

Do đó $AM+BN={A}'M+BN=\sqrt{H{{{{A}'}}^{2}}+H{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{N}^{2}}}$

$\ge \sqrt{{{\left( H{A}'+BK \right)}^{2}}+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}=\sqrt{16+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}$

Lại có $HM+MN+NK\ge HK\Rightarrow HM+NK\ge HK-MN=5-2=3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $H,M,N,K$ thẳng hàng và theo thứ tự đó.

Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{16+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}\ge \sqrt{16+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng 5.

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;1;-3 \right)$ và $B\left( -2;3;1 \right)$. Xét hai điểm $M,N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ sao cho $MN=2$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

A. 4.      B. 5.      C. 6.      D. 7.

Lời giải:

Ta có $H\left( 1;0;-3 \right)$, $K\left( -2;0;1 \right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 1;1;-3 \right)$ và $B\left( -2;3;1 \right)$ xuống mặt phẳng $\left( Oxz \right)$.

Nhận xét: ${A}$, ${B}$ nằm về cùng một phía với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$.

Gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\left( Oxz \right)$, suy ra $H$ là trung điểm đoạn $A{A}'$ nên $AM={A}'M$.

Mà ${A}'H=AH=1;BK=3;HK=5$.

Do đó $AM+BN={A}'M+BN=\sqrt{H{{{{A}'}}^{2}}+H{{M}^{2}}}+\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{N}^{2}}}$

$\ge \sqrt{{{\left( H{A}'+BK \right)}^{2}}+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}=\sqrt{16+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}$

Lại có $HM+MN+NK\ge HK\Rightarrow HM+NK\ge HK-MN=5-2=3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $H,M,N,K$ thẳng hàng và theo thứ tự đó.

Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{16+{{\left( HM+KN \right)}^{2}}}\ge \sqrt{16+{{\left( 3 \right)}^{2}}}=5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng 5.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $B\left( 2;5;0 \right)$, $C\left( 4;7;0 \right)$ và $K\left( 1;1;3 \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $K$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Khi $2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất, giao tuyến của $\left( Oxy \right)$ và $\left( Q \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A. $M\left( 3;2;0 \right)$.      B. $N\left( 15;-4;0 \right)$.      C. $P\left( 8;-4;0 \right)$.      D. $Q\left( 15;\frac{7}{2};0 \right)$.

Lời giải:

$B,\,C\,\in \left( Oxy \right)$

Gọi $I$ là hình chiếu của $K$ lên $\left( Oxy \right)$, suy ra $I\left( 1;1;0 \right)$

$\left( Q \right):\left\{ \begin{align}& qua\,K \\ & \bot \left( Oxy \right) \\ \end{align} \right.$ suy ra, $\left( Q \right)$ chứa $IK$

Gọi $\Delta =\left( Oxy \right)\cap \left( Q \right)$ $\Rightarrow \,\Delta $ qua $I$

Gọi $D$ là trung điểm của $IC$, suy ra $D\left( \frac{5}{2},\,4,\,0 \right)$

TH1: $D,\,B$ cùng phía với $\Delta $

$d\left( C,\left( Q \right) \right)=2\,d\left( D,\left( Q \right) \right)=d\left( D,\Delta  \right)=2DM$

$M,\,N$ là hình chiếu của $D,\,B$ lên $\Delta $

Gọi $A$ là trung điểm của $BD$

Suy ra, $2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)=2d\left( B,\Delta  \right)+2d\left( D,\Delta  \right)$

$\Rightarrow \left( BN+DM \right)=4d\left( A,\Delta  \right)\Rightarrow \,2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)\max \Leftrightarrow 4d\left( A,\Delta  \right)\max \,$ $\,\Leftrightarrow \Delta \bot AI$

Ta có, $A$ là trung điểm của $BD$ suy ra $A\left( \frac{9}{4},\,\frac{9}{2},\,0 \right)$ và $AI=\sqrt{{{\left( \frac{9}{4}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{9}{2}-1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}=\frac{\sqrt{221}}{4}$.

TH2: $D,\,B$ khác phía với $\Delta $

Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $I$. Khi đó: $d\left( D,\Delta  \right)=d\left( E,\Delta  \right)$

Gọi $A$ là trung điểm của $BE$

Thì $2d\left( B,\left( Q \right) \right)+d\left( C,\left( Q \right) \right)\max \Leftrightarrow $ $\Delta \bot AI$

Vì $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $I$, suy ra: $I$ là trung điểm của $ED$ $\Rightarrow E\left( \frac{-1}{2};\,-2;\,0 \right)$

$A$ là trung điểm của $BE$ $\Rightarrow A\left( \frac{3}{4};\,\frac{3}{2};\,0 \right)\Rightarrow AI=\frac{\sqrt{5}}{4}$

Ta thấy, TH1 có $AI$ lớn hơn ta chọn trường hợp 1

Đường thẳng $\Delta \left\{ \begin{align} & qua\,I\left( 1;\,1;\,0 \right) \\ & vtpt\,\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}=\left( \frac{5}{4};\,\frac{7}{2};\,0 \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta :5x+14y-19=0$

Suy ra $N\left( 15;-4;0 \right)\in \Delta $.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;3 \right)$ và $B\left( 3;2;5 \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $MN=2023$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

A. $2\sqrt{17}$.      B. $\sqrt{65}$.      C. $25\sqrt{97}$.      D. $205\sqrt{97}$.

Lời giải:

Dựng vectơ $\overrightarrow{B{B}'}=\overrightarrow{NM}$, khi đó $BN=M{B}'$, ${B}'\in \left( Q \right)$ qua $B$ đồng thời song song với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Suy ra $\left( Q \right)=5$.

Vì $B{B}'=MN=2023$ suy ra ${B}'$ thuộc đường tròn tâm $B$, bán kính $R=2023$ nằm trong $\left( Q \right)$.

Gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\left( Oxy \right)$, ta có ${A}'\left( -1;2;-3 \right)$. Ta có $AM+BN={A}'M+M{B}'\ge {A}'{B}'$.

Gọi $H\left( -1;2;5 \right)$ là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $\left( Q \right)$. Suy ra ${A}'H=8,HB=4$.

Mặt khác $H{B}'\ge \left| HB-B{B}' \right|=\left| 4-2023 \right|=2019$

Suy ra $AM+BN\ge {A}'{B}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{{{B}'}}^{2}}}\ge \sqrt{{{8}^{2}}+{{2019}^{2}}}=205\sqrt{97}$.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 1;2;3 \right),B\left( 2;3;4 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R$ và $\left( S \right)$ tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng $Oxy,Oyz,Oxz$. Khối cầu $\left( S \right)$ chứa đoạn thẳng $AB$. Tổng các giá trị nguyên mà $R$ có thể nhận được là

A. 7.      B. 5.      C. 3.      D. 1.

Lời giải:

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R$ và $\left( S \right)$ tiếp xúc với đồng thời cả ba mặt phẳng $Oxy,Oyz,Oxz$ nên tọa độ tâm $I\left( a,a,a \right)$ và $a=R$.

Để khối cầu $\left( S \right)$ chứa đoạn thẳng $AB$ thì ta cần có: $\left\{ \begin{align}& I{{A}^{2}}\le {{R}^{2}} \\ & I{{B}^{2}}\le {{R}^{2}} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}-6a+7\le 0 \\  & 2{{a}^{2}}-18a+29\le 0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3-\sqrt{2}\le a\le 3+\sqrt{2} \\ & \frac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le \frac{9+\sqrt{23}}{2} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \frac{9-\sqrt{23}}{2}\le a\le 3+\sqrt{2}$.

Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \left\{ 3;4 \right\}$. Tức là $R\in \left\{ 3;4 \right\}$, suy ra tổng các giá trị nguyên mà $R$ có thể nhận được bằng 7.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( -3;1;1 \right),\ B\left( 1;-1;5 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+11=0.$ Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm $C$. Biết $C$ luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định. Bán kính $r$ của đường tròn $\left( T \right)$ bằng

A. 4.      B. 2.      C. $\sqrt{3}$.      D. $\sqrt{2}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)$ và mp $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;2 \right)$. Do đó $AB$ vuông góc với $\left( P \right)$.

Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có $\left\{ \begin{align}& 9+1+1+6a-2b-2c+d=0 \\ & 1+1+25-2a+2b-10c+d=0 \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6a-2b-2c+d=-11 \\ & 2a-2b+10c-d=27 \\ \end{align} \right.$.

Suy ra $8a-4b+8c=16\Leftrightarrow 2a-b+2c=4.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ nên ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a-b+2c+11 \right|}{3}=5.$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{16+4+16}=6.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có  $d\left( C,AB \right)=IM=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4.$ Vậy $C$ luôn thuộc một đường tròn $\left( T \right)$ cố định có bán kính $r=4.$

Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=4$. Có bao nhiêu điểm $P$ thuộc $\left( S \right)$ mà tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $P$ cắt các trục $Ox,\ Oz$ tương ứng tại các điểm $E\left( a;0;0 \right),\ F\left( 0;0;b \right)$ sao cho $a,\ b$ là các số nguyên dương và $\widehat{EPF}={{90}^{{o}}}$?

A. 1.      B. 2.      C. 3.      D. 4.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;4 \right)$ và bán kính $R=2$.

Ta có $d\left( I,\left( Oxz \right) \right)=\frac{\left| -2 \right|}{1}=2=R$ nên $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( Oxz \right)$ tại $H\left( 1;0;4 \right)$.

Dễ thấy $EH=EP,\ FH=FP$.

Suy ra $\Delta EPF=\Delta EHF$ nên $\widehat{EHF}=\widehat{EPF}={{90}^{{o}}}$ hay $\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{HF}=0$.

Khi đó $\left( a-1;0;-4 \right).\left( -1;0;b-4 \right)=0\Leftrightarrow -a+1-4b+16=0\Leftrightarrow a+4b-17=0$.

Vì $a$ nguyên dương nên $a=17-4b\ge 0\Rightarrow b\le \frac{17}{4}\Rightarrow b\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$.

Các cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là $\left( 13;1 \right),\ \left( 9;2 \right),\ \left( 5;3 \right),\ \left( 1;4 \right)$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A\left( 0;0;1 \right)$, $B\left( 0;2;0 \right)$, $C\left( 3;0;0 \right)$. Gọi $H$, $G$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm tam giác $ABC$. Phương trình mặt cầu tâm $G$ và đi qua $H$ là

A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{362}{441}$.      B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{362}{441}$.

C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{362}{21}$.      D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{362}{21}$.

Lời giải:

Giả sử $H\left( x;y;z \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left( 1;\frac{2}{3};\frac{1}{3} \right)$.

$\overrightarrow{AH}=\left( x;y;z-1 \right)\,,\,\overrightarrow{BC}=\left( 3;-2;0 \right)\,,\overrightarrow{BH}=\left( x;y-2;z \right)\,,\,\overrightarrow{AC}=\left( 3;0;-1 \right)\,,$ $\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -2;-3;-6 \right)$.

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0 \\ & \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \\ & \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{AH}=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3x-2y=0 \\  & 3x-z=0 \\  & 2x+3y+6z=6 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & z=\frac{36}{49} \\  & y=\frac{18}{49} \\  & x=\frac{12}{49} \\ \end{align} \right.$.

$\Rightarrow H\left( \frac{12}{49};\frac{18}{49};\frac{36}{49} \right)$ $\Rightarrow HG=\frac{\sqrt{362}}{21}$.

Khi đó mặt cầu tâm $G$ và đi qua $H$ có phương trình là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{362}{441}$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( -2\,;0\,;0 \right);\,\,B\left( 0\,;-2\,;0 \right);\,\,C\left( 0\,;0\,;-2 \right)$. $D$ là điểm khác $O$ sao cho $DA,\,\,DB,\,\,DC$ đôi một vuông góc. $I\left( a\,;b\,;c \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tứ diện $ABCD$. Tổng $S=a+b+c$ bằng

A. $-4$.      B. $-1$.      C. $-2$.      D. $-3$.

Lời giải:

Gọi $D\left( x;y;z \right)\Rightarrow \overrightarrow{DA}=\left( x+2;y;z \right);\,\,\overrightarrow{DB}=\left( x;y+2;z \right);\,\,\overrightarrow{DC}=\left( x;y;z+2 \right)$.

Vì $DA,DB,DC$ đôi một vuông góc nên $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}=0 \\  & \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=0 \\  & \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DC}=0 \\ \end{align} \right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\left( x+2 \right)+y\left( y+2 \right)+{{z}^{2}}=0 \\ & x\left( x+2 \right)+{{y}^{2}}+z\left( z+2 \right)=0 \\  & {{x}^{2}}+y\left( y+2 \right)+z\left( z+2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$  

$\Leftrightarrow x=y=z=-\frac{4}{3}$.

$I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên $\left\{ \begin{align}& IA=IB \\ & IA=IC \\ & IA=ID \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}} \\  & {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}} \\  & {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( c+\frac{4}{3} \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=b \\ & a=c \\  & 4a+4=8a+\frac{16}{3} \\ \end{align} \right.$   $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{-1}{3}$.

Vậy $a+b+c=-1$.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tứ diện $OABC$ có tọa độ đỉnh $A\left( m;m;{ }0 \right)$, $B\left( 0;{ m};{ m} \right)$, $C\left( m;{ }0;{ m} \right)$. Khi tứ diện $OABC$ có bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ nội tiếp bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$, khi đó phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}$.      B. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}$.

C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}$.      D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}$.

Lời giải:

Vì $OABC$ là tứ diện đều, nên tâm $I$ của mặt cầu nội tiếp tứ diện trùng với trọng tâm của tứ diện ta có $I\left( \frac{m}{2},\frac{m}{2},\frac{m}{2} \right)$.

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $G\left( \frac{2m}{3},\frac{2m}{3},\frac{2m}{3} \right)$ $\Rightarrow IG=\frac{m\sqrt{3}}{6}$

Theo bài $IG=\frac{m\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow m=2$.

Khi đó tâm $I\left( 1,1,1 \right)$.

Phương trình mặt cầu ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{1}{3}$.

Câu 17. Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1\,;\,0\,;\,2 \right)\,,\,B\left( 3\,;\,2\,;\,-2 \right)$. Biết tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=30$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

A. $\sqrt{6}$.      B. 6.      C. 2.      D. $\sqrt{2}$.

Lời giải:

Gọi $M=\left( x\,;\,y\,;\,z \right)$

Ta có $\overrightarrow{MA}=\left( -1-x\,;\,-y\,;\,2-z \right),\,\overrightarrow{MB}=\left( 3-x\,;\,2-y\,;\,-2-z \right)$.

Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=30$ là một mặt cầu

$\Leftrightarrow {{\left( 1+x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2-z \right)}^{2}}+{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=30$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-4=0$

Khi đó bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+4}=\sqrt{6}$.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ và hai điểm $A\left( 7\,;\,9\,;\,0 \right)$; $B\left( 0\,;\,8\,;\,0 \right)$. Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc mặt cầu $\left( S \right)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+2MB$ bằng

A. $\frac{5\sqrt{5}}{2}$.      B. $5\sqrt{5}$.      C. $5\sqrt{2}$.      D. 10.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1\,;\,1\,;\,0 \right)$, bán kính $R=5$.

$\overrightarrow{IA}=\left( 6\,;\,8\,;\,0 \right)$; $IA=10$; $IB=5\sqrt{2}$. Suy ra hai điểm $A,\,B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Lấy điểm $C$ sao cho $\overrightarrow{IC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}$. Suy ra: $C\left( \frac{5}{2}\,;\,3\,;\,0 \right)$ và $C$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có $\Delta IMC$ đồng dạng với $\Delta IAM$ do có góc $\widehat{I}$ chung và $\frac{IM}{IA}=\frac{IC}{IM}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{MC}{MA}=\frac{1}{2}$ hay $MA=2MC$.

Do đó $P=2\left( MC+MB \right)\ge 2BC=5\sqrt{5}$; $P=5\sqrt{5}$ khi $M$ là giao điểm của đoạn $BC$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Vậy $\min P=5\sqrt{5}$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 2;3;5 \right),B\left( -1;3;2 \right),C\left( -2;1;3 \right),D\left( 5;7;4 \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ di động trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Khi biểu thức $T=4M{{A}^{2}}+5M{{B}^{2}}-6M{{C}^{2}}+M{{D}^{4}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $a+b+c$ bằng

A. 11.      B. $-11$.      C. 12.      D. 9.

Lời giải:

Ta thấy $D$ là điểm thỏa mãn $4\overrightarrow{DA}+5\overrightarrow{DB}-6=\vec{0}$.

Khi đó $T=4M{{A}^{2}}+5M{{B}^{2}}-6M{{C}^{2}}+M{{D}^{4}}$  $=4{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA} \right)}^{2}}+5{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB} \right)}^{2}}-6{{\left( \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC} \right)}^{2}}+M{{D}^{4}}$ $=3M{{D}^{2}}+M{{D}^{4}}+2\left( 4\overrightarrow{DA}+5\overrightarrow{DB}-6 \right)\overrightarrow{MD}+4D{{A}^{2}}+5D{{B}^{2}}-6D{{C}^{2}}$ $=3M{{D}^{2}}+M{{D}^{4}}+4D{{A}^{2}}+5D{{B}^{2}}-6D{{C}^{2}}$.

Đặt $x=MD>0$ và hằng số $4D{{A}^{2}}+5D{{B}^{2}}-6D{{C}^{2}}=m$.

Khi đó: $T={{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+m$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$.

Suy ra $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MD$ nhỏ nhất, và $MD$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Suy ra $M(5;7;0)$.

Vậy $a+b+c=12$.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;\,2;\,1)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi đi qua $M$ lần lượt cắt các tia $Ox,\,\,Oy,\,\,Oz$ tại $A,\,\,B,\,\,C$ khác $O$. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

A. 6.      B. 9.      C. 18.      D. 54.

Lời giải:

Gọi $A\left( a;\,0;\,0 \right),B\left( 0;\,b;\,0 \right),C\left( 0,\,0,\,c \right)$ với $a,\,b,\,c>0$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua điểm $A,\,\,B,\,\,C$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Vì $M\in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1.$

Với $a,\,b,\,c>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{1}{c}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}$ $\Leftrightarrow 1\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}$ $\Leftrightarrow 1\ge \frac{54}{abc}$

Suy ra: $abc\ge 54$.

Mặt khác thể tích khối tứ diện $OABC$ là: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc$ nên ${{V}_{OABC}}\ge \frac{1}{6}.54$ $\Leftrightarrow {{V}_{OABC}}\ge 9$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng 9.

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{13}{2}$ và ba điểm $A(-1 ; 2 ; 3), B(0 ; 4 ; 6), C(-2 ; 1 ; 5) ; M(a ; b ; c)$ là điểm thay đổi trên $(S)$ sao cho biểu thức $2 M A^2+M B^2-2 M C^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

A. $\frac{13}{2}$.      B. 4.      C. 6.      D. 12.

Lời giải:

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}-2 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow I\left( 2{{x}_{A}}+{{x}_{B}}-2{{x}_{C}};2{{y}_{A}}+{{y}_{B}}-2{{y}_{C}};2{{z}_{A}}+{{z}_{B}}-2{{z}_{C}} \right)$ $\Rightarrow I(2;6;2)$. Suy ra là điểm $I$ cố định.

$P=2 M A^2+M B^2-2 M C^2=M I^2+2 \overrightarrow{M I}(2 \overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}-2 \overrightarrow{I C})+2 L A^2+I B^2-2 I C^2$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M I$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$(S):(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{13}{2}$ có tâm $J(-2 ; 3 ; 1)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{26}}{2}$.  Suy ra $I J=\sqrt{26}$

Mà $M$ là điểm thay đổi trên $(S)$ nên $M I$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M \equiv B$

Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}IJ=\sqrt{26}  \\BJ=R=\frac{\sqrt{26}}{2}  \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của $I J \Rightarrow B\left(0 ; \frac{9}{2} ; \frac{3}{2}\right) \Rightarrow M\left(0 ; \frac{9}{2} ; \frac{3}{2}\right) \Rightarrow a+b+c=6$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( \frac{2}{\sqrt{3}};\,3;\,4 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ qua $A$ tạo với trục $Ox$ một góc $60{}^\circ $, $\Delta $ cắt mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ tại điểm $M$. Khi $OM$ nhỏ nhất, tung độ điểm $M$ bằng

A. 0.      B. $\frac{9}{5}\cdot $      C. $\frac{3}{2}\cdot $      D. $\frac{4}{5}\cdot $

Lời giải:

Gọi $d$ là là đường thẳng qua $A$ và song song với $Ox$, khi đó $\left( \Delta ,\,d \right)=\left( \Delta ,\,Ox \right)=60{}^\circ $. Do đó $\Delta $ là đường sinh của mặt nón đỉnh $A$, trục $d$, góc ở đỉnh bằng $120{}^\circ $.

Vì $\left( Oyz \right)\bot Ox$ nên $\left( Oyz \right)\bot d$. Suy ra $\left( Oyz \right)$ cắt mặt nón theo đường tròn $\left( C \right)$ có trục là đường thẳng $d$. Suy ra điểm $M\in \left( C \right)$.

Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( Oyz \right)$, khi đó $I$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$.

Vì $A\left( \frac{2}{\sqrt{3}};\,3;\,4 \right)$ nên $I\left( 0;\,3;\,4 \right)$ $\Rightarrow IA=\frac{2}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow IM=IA.\tan 60{}^\circ =\frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=2$.

Ta có $OM\ge \left| OI-IM \right|=\left| 5-2 \right|=3$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow $ $I,\,M,\,O$ thẳng hàng, đồng thời $M$ nằm giữa $O$ và $I$.

Vậy $OM$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{OM}{OI}\overrightarrow{OI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OI}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left( 0;\,\frac{9}{5};\,\frac{12}{5} \right)\Rightarrow M\left( 0;\,\frac{9}{5};\,\frac{12}{5} \right)\Rightarrow {{y}_{M}}=\frac{9}{5}$.

Câu 23. Trong mặt phẳng $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right)$, $B\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)$, $C\left( 3\,;\,-1\,;\,\,2 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3$. Gọi $M\left( x;\,y;\,z \right)$ là điểm trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $3M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $P=x+y+2z$ bằng

A. $ -3$.      B. 11.      C. 7.      D. 5.

Lời giải:

Ta có $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3\,\,\Rightarrow $ tâm $K\left( 0;5;2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}.$

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\,\,$ $\Rightarrow I\left( -2;7;0 \right)$.

Ta có $3M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ $=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$

$=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+3I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}$$=M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}-I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}$

Để $3M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow I,M,K$ thẳng hàng.

Mà $IK=2\sqrt{3}=2R\Rightarrow M$ là trung điểm của $IK\Rightarrow M\left( -1\,;\,6\,;1 \right)$ $\Rightarrow P=x+y+2z=7$.

Câu 24. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 0;6;0 \right)$ và điểm $N$ di động trên mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ ($N$ khác $O$). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $MN$ và $K$ là trung điểm của $ON$. Biết rằng $HK$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, điểm nào sau đây thuộc mặt cầu đó?

A. ${{P}_{1}}\left( 1;5;-2 \right)$.      B. ${{P}_{2}}\left( 1;2;-4 \right)$.      C. ${{P}_{3}}\left( 1;2;-2 \right)$.      D. ${{P}_{4}}\left( 1;4;-1 \right)$.

Lời giải:

Ta có: $O\in mp\left( Oxz \right)$ và $\overrightarrow{OM}=\left( 0;6;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OM}\bot mp\left( Oxz \right)$. Mà $N\in \left( Oxz \right)\Rightarrow ON\subset \left( Oxz \right)$.

$\Rightarrow OM\bot ON$.

Suy ra tam giác $OMN$ vuông tại $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $OM\Rightarrow I\left( 0;3;0 \right)$.

Do $OH\bot MN$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \widehat{OHI}=\widehat{IOH} \\ & \widehat{OHK}=\widehat{KOH} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \widehat{IHK}=\widehat{OHI}+\widehat{KHO}=\widehat{IOH}+\widehat{KOH}=\widehat{IOK}=\widehat{MON}={{90}^{0}}$  $\Rightarrow HK\bot IH$

$\Rightarrow HK$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 0;3;0 \right)$, đường kính $OM\Rightarrow R=\frac{OM}{2}=3$.

Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$. Do đó, điểm ${{P}_{1}}\in \left( S \right)$.

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và điểm $A\left( 5;\,4;\,0 \right);\,B\left( 4;\,2;\,1 \right)$. Điểm $M$ thay đổi nằm trên mặt cầu, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+2MB$ bằng

A. $ 2\sqrt{23}$.      B. $ 3\sqrt{23}$.      C. $ 6\sqrt{69}$.      D. $ \sqrt{69}$.

Lời giải:

Nhận xét: Điểm $A,\,B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;\,4;\,0 \right),\,R=3$.

Ta có: $IA=6=2R,\,E=IA\cap \left( S \right)\Rightarrow E\left( 2;\,4;\,0 \right)$.

Gọi $F$ là trung điểm của $IE\Rightarrow F\left( \frac{1}{2};\,4;\,0 \right)$.

Tam giác $IFM$ và $IMA$ có $\widehat{AIM}$ chung và $\frac{IF}{IM}=\frac{1}{2}=\frac{IM}{IA}\Rightarrow \Delta AIM\sim \Delta MIF$.

Suy ra $\frac{MA}{FM}=\frac{AI}{MI}=2\Rightarrow MA=2MF$.

Ta có: $MA+2MB=2\left( MF+MB \right)\ge 2FB=\sqrt{69}$.

Vì $F$ nằm trong $\left( S \right)$ và $B$ nằm ngoài $\left( S \right)$ nên dấu $''=''$ xảy ra khi $M=BF\cap \left( S \right)$.

Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=72$ và hai điểm $A\left( 1;-16;17 \right)$, $B\left( 7;-6;-1 \right)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=MA+3MB$ bằng

A. $6\sqrt{19}$.      B. $3\sqrt{14}$.      C. $5\sqrt{30}$.      D. $4\sqrt{29}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$.

Ta có $IB=10,\ IA=18\sqrt{2}=3R$ nên $A,B$ nằm ngoài mặt cầu.

Gọi $E$ là giao điểm của mặt cầu $\left( S \right)$ và đoạn $IA$. Lấy điểm $F$ trên $IE$ sao cho $IE=3IF$.

Có góc $\widehat{I}$ chung và $\frac{IM}{IA}=\frac{IF}{IM}=\frac{1}{3}\Rightarrow \Delta AIM\sim \Delta MIF\ \left( c.g.c \right)\Rightarrow \frac{AM}{MF}=3\Rightarrow AM=3MF$.

Do đó $T=MA+3MB=3\left( MF+MB \right)\ge 3BF$ nên $T$ nhỏ nhất khi ba điểm $B,M,F$ thẳng hàng.

Khi đó $\min T=3BF$. Do $\overrightarrow{IE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}\Rightarrow \overrightarrow{IF}=\frac{1}{9}\overrightarrow{IA}$ nên $\left\{ \begin{align}& {{x}_{F}}-1=\frac{1}{9}.0 \\ & {{y}_{F}}-2=\frac{1}{9}.\left( -18 \right) \\ & {{z}_{F}}+1=\frac{1}{9}.18 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{F}}=1 \\ & {{y}_{F}}=0 \\ & {{z}_{F}}=1 \\ \end{align} \right.$.

Vậy $\min T=3BF=3\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}+{{2}^{2}}}=6\sqrt{19}$.

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$ sao cho $2OA-OB+5\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=36$. Khi thể tích khối chóp $O.ABC$ đạt giá trị lớn nhất thì tổng $a-b+c$ bằng

A. 1.      B. 5.      C. $\frac{-36+36\sqrt{2}}{5}$.      D. 7.

Lời giải:

Từ $2OA-OB+5\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=36\Rightarrow 2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=36$

Ta có $36=2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2a-b+5\sqrt{\frac{{{\left( 4b \right)}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 3c \right)}^{2}}}{9}}\ge 2a-b+5\sqrt{\frac{{{\left( 4b+3c \right)}^{2}}}{16+9}}=2a+3b+4c$

$\Leftrightarrow 36\ge 3\sqrt[3]{2a.3b.4c}\Rightarrow abc\le 72\Rightarrow \frac{1}{6}abc\le 12$

$\Rightarrow {{V}_{\max }}=12$ khi $\left\{ \begin{align}& \frac{4b}{16}=\frac{3c}{9} \\ & 2a=3b=4c \\ & 2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=36 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=6 \\  & b=4 \\  & c=3 \\ \end{align} \right.$

Câu 28. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và hai điểm $A\left( 3;0;0 \right);B\left( -1;1;0 \right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng

A. $2\sqrt{34}$.      B. $\sqrt{26}$.      C. 5.      D. $\sqrt{34}$.

Lời giải:

Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là điểm cần tìm.

Ta có: $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0$.

$MA=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};MB=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$.

Suy ra: $MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-8}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$=3\sqrt{{{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=3\left( MC+MB \right)\ge 3BC$ với $C\left( \frac{1}{3};0;0 \right)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng 5 khi $\left\{ \begin{align}& M=BC\cap \left( S \right) \\ & \overrightarrow{CM}=k.\overrightarrow{CB}\ \left( k>0 \right) \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow M\left( \frac{3-8\sqrt{6}}{25};\frac{4+6\sqrt{6}}{25};0 \right)$.

Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $M\left( 2;\,2;\,1 \right)$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,\,B$. Khi biểu thức $T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $AB$ có giá trị bằng

A. $4\sqrt{3}.$      B. 4.      C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}.$      D. $2\sqrt{3}$.

Lời giải:

Cách 1: $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;\,1;\,1 \right),$ bán kính $R=2$.

$IM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$và $M$ nằm trên mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I,\,bk\,{R}'=1$

$T=MA+4MB$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MB$ nhỏ nhất.

Vây ${{\min }_{T}}=3+4.1=7$ khi và chỉ khi $AB$ là đường kính mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow AB=4$.

Cách 2: Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$ và đặt $IH=x\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)$.

TH1: $MA<MB$

Ta có $T=MA+4MB=AH-MH+4\left( MH+HB \right)=3MH+5AH$ $=3\sqrt{1-{{x}^{2}}}+5\sqrt{4-{{x}^{2}}}=f\left( x \right)$

Ta có ${f}'\left( x \right)=x\left( \frac{-3}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\frac{5}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \right)=0\Leftrightarrow x=0$. Suy ra ${{T}_{\min }}=13$ khi $d$ đi qua $I\Rightarrow AB=2R=4$.

TH2: $MA>MB$

Tính được $T=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{4-{{x}^{2}}}-3\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$.

Tìm được $\underset{\left[ 0;\,1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=7\Rightarrow AB=4$.

So sánh cả hai trường hợp thì ta có ${{T}_{\min }}=7$ khi đó $AB=4$.

Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 2;3;5 \right)$, hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9,{ }\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=16$ và điểm $M$ di động thuộc cả hai mặt cầu. Gọi $m,n$ là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $AM$. Giá trị của biểu thức $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ bằng

A. $\frac{341}{4}.$      B. $\frac{151}{2}$.      C. $\frac{1028}{7}$.      D. $\frac{2411}{28}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $O$, bán kính ${{R}_{1}}=3$; mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=4$.

Ta có $\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<OI=\sqrt{14}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow $ hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn, kí hiệu là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $H$, bán kính $r$.

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn $\left( C \right)$ là: $\left( P \right):2x+4y-6z-7=0$

Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ bằng $r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{d}^{2}}\left( O,\left( P \right) \right)}=\frac{\sqrt{130}}{4}$

Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có $HA'$ là hình chiếu của $OA$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;-3 \right)$, $\overrightarrow{OA}=\left( 2;3;5 \right)$

$\begin{align}& \sin \left( OA,\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\sqrt{133}}{38}\Rightarrow \cos \left( OA,\left( P \right) \right)=\sqrt{\frac{69}{76}} \\ & \Rightarrow HA'=OA.\cos \left( OA,\left( P \right) \right)=\frac{\sqrt{138}}{2}>r \\ \end{align}$

Suy ra $A'$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.

Khi đó giá trị lớn nhất của $AM$ bằng $m=HA'+r=\frac{\sqrt{138}}{2}+\frac{\sqrt{130}}{4}$

Giá trị nhỏ nhất của $AM$ bằng $m=HA'-r=\frac{\sqrt{138}}{2}-\frac{\sqrt{130}}{4}$.  

$T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=\frac{341}{4}.$

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=2$ và các điểm $A\left( -1;0;1 \right),B\left( 0;2;3 \right),C\left( -1;3;0 \right)$. Điểm $M\left( x;y;z \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $T=2x+y+2z$ bằng

A. 5.      B. 8.      C. 12.      D. 14.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.

$P=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$ $=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC} \right)$

Ta lại có $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\left( -8;0;-8 \right)$.

Gọi $E$ là điểm thoả mãn $\overrightarrow{IE}=\left( -8;0;-8 \right)$.

Khi đó $P=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IE}$do đó $P$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IE}$ đạt giá trị lớn nhất $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IE}=IM.IE.cos\left( \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IE} \right)\le IM.IE=\sqrt{2}.8\sqrt{2}=16$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IE}$ cùng hướng, khi $\overrightarrow{IM}=\frac{-IM}{IE}\overrightarrow{IE}=\frac{-\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}=\frac{-1}{8}\left( -8;0;-8 \right)=\left( 1;0;1 \right)$ $\Rightarrow M\left( 2;2;4 \right)$

Do đó $T=14$.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;2;1 \right)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ ($A,B,C$ không trùng với gốc $O$) sao cho tứ diện $OABC$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. $N\left( 0;2;2 \right)$.      B. $M\left( 0;2;1 \right)$.      C. $P\left( 2;0;0 \right)$.      D. $Q\left( 2;0;-1 \right)$.

Lời giải:

Gọi $\left( P \right)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A\left( a;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)\,\,\left( a,b,c>0 \right)$

Ta có $\left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vì $M\in \left( P \right)$ nên ta có $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có $1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54$

Thể tích khối chóp ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\ & \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow a=3;b=6;c=3$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N\left( 0;2;2 \right)\in \left( P \right)$.

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$. $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=100$ và điểm $K\left( 8,0,0 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ đồng thời cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm $M,N$. Tam giác $KMN$ có thể có diện tích lớn nhất bằng

A. $90\sqrt{3}$.      B. $50\sqrt{6}$.      C. $100\sqrt{2}$.      D. $100\sqrt{3}$.

Lời giải:

Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( -5;0;0 \right),{{R}_{1}}=5$. Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( -5;0;0 \right),{{R}_{2}}=10$.

Đường thẳng $\Delta $ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $H$ và đồng thời cắt $\left( {{S}_{2}} \right)$ tại hai điểm $M,N$.

Khi đó $MN=2MH=2\sqrt{I{{M}^{2}}-H{{I}^{2}}=10\sqrt{3}}$.

Diện tích của tam giác $KMN$ là ${{S}_{\Delta KMN}}=\frac{1}{2}d\left( K,\Delta  \right).MN$.

Khi đó, ${{S}_{\Delta KMN}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow d\left( K,\Delta  \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow K,H,I$ thẳng hàng và $I$ nằm giữa $K,H$.

$H\in Ox\Rightarrow H\left( 10;0;0 \right)$.

Mà $KH=KI+IH=18$.

Do đó, diện tích lớn nhất của tam giác $KMN$ là ${{S}_{\Delta KMN}}=\frac{1}{2}KH.MN=\frac{1}{2}.10\sqrt{3}.18=90\sqrt{3}$.

 

Nguyễn Quốc Hoàn ,  02/3/2023

Các chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT QG năm 2023

1  Phương pháp tọa độ trong không gian năm 2023 phần 1  Ấn đây vào bài này

2  Phương pháp không gian tọa độ Oxyz phần 2    Ấn đây vào bài này

3  Phương trình mặt phẳng mặt cầu trong không gian mức khó VD và VDC    Ấn đây vào bài này

4  Phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz    Ấn đây vào bài này

5  Phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi TN THPT 2023 VD VDC    Ấn đây vào bài này

6  Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian phát triển câu VD VDC năm 2023    Ấn đây vào bài này

7  Phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz VD VDC phần 1    Ấn đây vào bài này

8  Hình học không gian tọa độ Oxyz phần 2 Ôn thi TNTHPT 2023    Ấn đây vào bài này