Ma trận và đề cương ôn cuối kì 2 toán 12 trường THPT Nguyễn Gia Thiều

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2024–2025 Trường THPT Nguyễn Gia Thiều

(Thống nhất 100% trắc nghiệm)

Dạng thức

Câu

Năng lực toán học

Tư duy và lập luận toán học (TD)

Giải quyết vấn đề toán học (GQ)

Mô hình hóa toán học (MH)

Đặc tả ma trận đề kiểm tra

Chủ đề, nội dung môn học

(Câu tương tự có trong đề cương)

Cấp độ tư duy

Biết

Hiểu

Biết

Hiểu

Biết

Hiểu

Nguyên hàm cơ bản của hàm mũ

Định nghĩa xác suất có điều kiện

Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất Bayes

Công thức nhân xác suất

Vectơ pháp tuyến, chỉ phương

Viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình mặt cầu

Góc giữa hai mặt phẳng

Xác suất có điều kiện

Diện tích hình phẳng

Phương trình mặt cầu

T K

Đạo hàm

Nguyên hàm

Quan hệ đạo hàm - nguyên hàm

Tích phân

Nguyên hàm

Diện tích

Thể tích

Xác suất

Xác suất có điều kiện

Xác suất toàn phần

Công thức xác suất Bayes

Phương trình đường thẳng

Điểm thuộc đường thẳng

Góc giữa đường và mặt

Điểm và đường thẳng trong thực tế

Diện tích hình phẳng

Xác suất có điều kiện

Khoảng cách giữa hai điểm

Xác suất có điều kiện

Tổng hợp điểm, đt, mp và mc

Bài toán ứng dụng tích phân.

T K

Ấn đây vào đề chính thức cuối kì 2 môn toán 12 năm học 2024-2025 THPT Nguyễn Gia Thiều

Ôn cuối kì 2 môn toán 12 chính thức trường Nguyễn Gia Thiều Hà Nội năm học 2024-2025

Phần I. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 61. Mỗi câu học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{2}{x}$ là

A. 2.

B. $2\ln \left| x \right|+C$.

C. $\dfrac{2}{{{x}^{2}}}$.

D. $2\ln \left| x \right|$.

Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\sqrt{x}$ là

A. $\dfrac{2{{x}^{2}}\sqrt{x}}{5}+C$.

B. $2\sqrt{x}+C$.

C. $\dfrac{5{{x}^{2}}\sqrt{x}}{2}+C$.

D. ${{x}^{2}}\sqrt{x}+C$.

Câu 3. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y={{2025}^{x}}$ là

A. ${{2025}^{x}}+C$.

B. $\dfrac{{{2025}^{x+1}}}{2025}+C$.

C. $\dfrac{{{2025}^{x}}}{\ln 2025}+C$ .

D. ${{2025}^{x}}.\ln 2025+C$.

Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$. Khi đó

A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\ln \left| x \right|+\tan x+C}$.

B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\ln x+\tan x+C}$.

C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\ln x+\tan \left| x \right|+C}$.

D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\ln \left| x \right|+\tan x}$.

Câu 5. Cho $f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi đó

A. $\int{2f\left( x \right)\text{d}x}=-2\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.

B. $\int{2f\left( x \right)\text{d}x}=2+\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.

C. $\int{2f\left( x \right)\text{d}x}=2\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.

D. $\int{2f\left( x \right)\text{d}x}=2-\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.

Câu 6. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. $\int{f(x)dx\text{ }=F(x)+C}$.

B. $F'(x)=f(x)$.

C. $\int{kf(x)dx=k\int{f(x)dx\,\,\,\,\forall \,k\in \mathbb{R}}}$.

D. ${{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}=f(x)$.

Câu 7. Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. $\int{f(x)dx=}F(x)+C$.

B. ${{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}=f(x)$.

C. ${{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}={f}'(x)$.

D. ${{\left( \int{f(x)dx} \right)}^{\prime }}={F}'(x)$.

Câu 8. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)={{\cos }^{2}}x$. Khi đó

A. $F''(x)=\sin 2x$.

B. $F(x)={{\cos }^{2}}x+C$.

C. Nếu $F(0)=0$ thì $F\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\pi }{4}$.

D. Nếu $F\left( 0 \right)=1$ thì $\int{F(x)dx=\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{\cos 2x}{8}+C}$.

Câu 9. Biết $\int{f(x)}dx=2{{x}^{2}}+C$. Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. $\int{f(2x)dx=4{{x}^{2}}+C}$.

B. $\int{f(x).d({{x}^{2}})=\dfrac{8{{x}^{3}}}{3}+C}$.

C. $\int{xdf(x)\,\,=\,}2{{x}^{2}}+C$.

D. $\int{f'(x)}dx=2{{x}^{2}}+C$.

Câu 10. Nếu ${\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+{{e}^{x}}+C}$ thì ${f\left( x \right)}$ bằng

A. ${f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+{{e}^{x}}}$.

B. ${f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{3}+{{e}^{x}}}$.

C. ${f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{12}+{{e}^{x}}}$.

D. ${f\left( x \right)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}}$.

Câu 11. Hàm số $F\left( x \right)=x.\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số

A. $f\left( x \right)=\ln x$.

B. $f\left( x \right)=1+\ln x$.

C. $f\left( x \right)=\dfrac{1}{x}$.

D. $f\left( x \right)=x\ln x$.

Câu 12. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $[1\,\,;\,\,2]$. Khi đó $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$ bằng

A. $F(2)-F(1)$.

B. $F(2)+F(1)$.

C. $F(1)-F(2)$.

D. $f(2)-f(1)$.

Câu 13. Biết $f(x)=4{{x}^{4}}+2x-4$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khi đó $F(4)-F(1)$ bằng

A. $\dfrac{4108}{5}$.

B. $\dfrac{4107}{5}$.

C. $\dfrac{4104}{5}$.

D. $\dfrac{4106}{5}$.

Câu 14. Cho $f\left( x \right)$ là một hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right],$ $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a\,\,;\,b \right].$ Khi đó ${\int\limits_{a}^{b}{f'(x)dx}}$ bằng

A. ${f\left( a \right)-f\left( b \right)}$.

B. $f\left( b \right)-f\left( a \right)$.

C. $F\left( a \right)-F\left( b \right)$.

D. $F\left( b \right)-F\left( a \right)$.

Câu 15. Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình bên.

Khi đó $\int\limits_{-1}^{1}{f'(x)dx}$ bằng

A. –4.

B. –2.

C. 2.

D. 4.

Câu 16. Cho $\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2x \right]}dx=2$, khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx$ bằng

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 17. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ và $f\left( 0 \right)=-2$, $\int\limits_{0}^{3}{f'\left( x \right)dx=8}$. Giá trị $f\left( 3 \right)$ bằng

A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. $-10$.

Câu 18. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(2)=4.{{\log }_{2}}e$ và $f'(x)={{2}^{x}}+6x$. Ta có $\int\limits_{0}^{1}{f(x).dx}$ bằng

A. $\dfrac{1}{{{\ln }^{2}}2}-11$.

B. $\dfrac{2}{{{\ln }^{2}}2}-11$.

C. $\dfrac{4}{\ln 2}-4\ln 2-10$.

D. $\dfrac{4}{\ln 2}-4\ln 2-9$.

Câu 19. Biết $\int\limits_{1}^{3}{7f(x)\text{d}x=3},$ $\int\limits_{1}^{3}{9g(y)\text{d}y=-5}$; khi đó $\int\limits_{1}^{3}{\left[ f(x)+g(x) \right]}\,\text{d}x$ bằng

A. $\dfrac{64}{63}$.

B. $\dfrac{-8}{63}$.

C. $\dfrac{62}{63}$.

D. $\dfrac{61}{63}$.

Câu 20. Biết ${\int\limits_{1}^{3}{\left[ 7f(x)+3g(x) \right]dx}\,=5}$, ${\int\limits_{1}^{3}{\left[ 49f(y)+3g(y) \right]dy=-4}}$; khi đó $\int\limits_{1}^{3}{f(z)dz}$ bằng

A. $-\dfrac{5}{14}$.

B. $-\dfrac{2}{7}$.

C. 0.

D. $-\dfrac{3}{14}$.

Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,10 \right]$ và $\int\limits_{0}^{10}{f\left( x \right)\text{d}x=7}$ và $\int\limits_{2}^{6}{f\left( x \right)\text{d}x=3}$; khi đó $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x+\int\limits_{6}^{10}{f\left( x \right)\text{d}x}}$ bằng

A. $-4$.

B. 4.

C. 7.

D. 10.

Câu 22. Giả sử nhiệt độ (tính bằng $^{0}\text{C}$) tại thời điểm $t$ giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số $T\left( t \right)=20+1,5\left( t-6 \right)$, $6\le t\le 12$. Nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là

A. $8,{{2}^{0}}$.

B. ${{9}^{0}}$.

C. ${{20}^{0}}$.

D. $24,{{5}^{0}}$.

Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}},\,\,y=0,\,\,x=1,\,\,x=2$ bằng

A. 1.

B. $\dfrac{4}{3}$.

C. $\dfrac{8}{3}$.

D. $\dfrac{7}{3}$.

Câu 24. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[ a\,;\,b \right]$. Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,\,x=b\,\,\,(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục ${Ox}$ được tính theo công thức

A. $V=2\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$.

B. $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$.

C. $V={{\pi }^{2}}\int\limits_{a}^{b}{f(x)\text{d}x}$.

D. $V={{\pi }^{2}}\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)\text{d}x}$.

Câu 25. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ${y=f\left( x \right)}$, trục hoành và hai đường thẳng ${x=a}$, ${x=b}$, $a<b$ (phần tô đậm trong hình vẽ) được tính theo công thức

A. $S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}}$.

B. ${S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}}$.

C. $S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x-\,\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}}$.

D. ${S=\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x} \right|}$.

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ ${Oxyz,}$ cho vật thể ${(H)}$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình ${x=a}$ và ${x=b}$ ${(a<b).}$ Gọi ${S(x)}$ là diện tích thiết diện của ${(H)}$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ${Ox}$ tại điểm có hoành độ là ${x}$ với ${a\le x\le b.}$ Giả sử hàm số ${y=S(x)}$ liên tục trên ${[a;b].}$ thể tích ${V}$ của vật thể ${(H)}$ được xác định bởi công thức là

A. ${V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)\text{d}x}.}$

B. ${V=\int\limits_{a}^{b}{{{\left[ S(x) \right]}^{2}}\text{d}x}.}$

C. ${V=\pi \int\limits_{a}^{b}{S(x)\text{d}x}.}$

D. ${V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left[ S(x) \right]}^{2}}\text{d}x}.}$

Câu 27. Đường gấp khúc ${ABC}$ trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -2;3 \right].$ Khi đó $\int\limits_{-2}^{3}{f\left( x \right)}\,dx$ bằng

A. 4.

B. $\dfrac{9}{2}$.

C. $\dfrac{7}{2}$.

D. 3.

Câu 28. Gieo con xúc xắc một lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm, B là biến cố xuất hiện mặt chẵn. Khi đó $P\left( A\left| B \right. \right)$ bằng

A. $\dfrac{1}{2}$.

B. $\dfrac{1}{3}$.

C. $\dfrac{2}{3}$.

D. $\dfrac{1}{6}$.

Câu 29. Cho hai biến độc lập $A,\,\,B$ với $P\left( A \right)=0,8;\text{ }P\left( B \right)=0,3$. Khi đó $P\left( A\left| B \right. \right)$ bằng

A. $0,8$.

B. $0,3$.

C. $0,4$.

D. $0,6$.

Câu 30. Cho hai biến cố $A,\,B$ với $P\left( B \right)=0,8;\,\,P\left( A\left| B \right. \right)=0,5$. Khi đó $P\left( AB \right)$ bằng

A. $\dfrac{3}{7}$.

B. $0,4$.

C. $0,8$.

D. $0,5$.

Câu 31. Một câu lạc bộ cờ của phường A gồm 45 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 35 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của câu lạc bộ. Xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là

A. ${\dfrac{1}{2}}$.

B. ${\dfrac{4}{9}}$.

C. ${\dfrac{2}{9}}$.

D. ${\dfrac{1}{90}}$.

Câu 32. Một hộp chứa 8 bi xanh, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi xanh. Xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ bằng

A. $\dfrac{1}{10}$.

B. $\dfrac{2}{9}$.

C. $\dfrac{8}{9}$.

D. $\dfrac{2}{5}$.

Câu 33. Một nhóm có 100 người, trong đó có 40 người mua cam, 30 người mua quýt và 20 người mua cả cam và quýt. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm và thấy người này có mua cam. Xác suất để người này mua quýt là

A. $\dfrac{3}{10}$.

B. $\dfrac{4}{10}$.

C. $\dfrac{1}{2}$.

D. $\dfrac{7}{10}$.

Câu 34. Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng. Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là

A. $\dfrac{1}{17}$.

B. $\dfrac{3}{17}$.

C. $\dfrac{17}{30}$.

D. $\dfrac{13}{30}$.

Câu 35. Trong một đội tuyển có ba vận động viên $A,\ B$ và $C$ thi đấu với xác suất chiến thắng lần lượt là 0,6 ; 0,7 và $0,8$. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập với nhau. Xác suất để $A$ thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận bằng

A. $\dfrac{55}{113}$.

B. $\dfrac{57}{113}$.

C. $\dfrac{56}{113}$.

D. $\dfrac{54}{113}$.

Câu 36. Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 7, biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm bằng

A. $\dfrac{2}{11}$.

B. $\dfrac{1}{3}$.

C. $\dfrac{9}{11}$.

D. $\dfrac{2}{3}$.

Câu 37. Có hai chiếc hộp đựng 30 chiếc bút chì có hình dáng, kích thước giống nhau. Sau khi thống kê nhận được bảng số liệu sau:

Hộp

Màu

Xanh

Vàng

Lấy ngẫu nhiên một chiếc bút từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một chiếc bút từ hộp II. Xác suất để chiếc bút lấy ra từ hộp II có màu xanh là

A. $\dfrac{3}{4}$.

B. $\dfrac{1}{4}$.

C. $\dfrac{6}{11}$.

D. $\dfrac{23}{44}$.

Câu 38. Trong lễ khai giảng năm học mới, bạn An tham gia trò chơi gồm hai vòng. Xác suất thắng ở vòng chơi đầu tiên là 0,7. Nếu An thắng ở vòng thứ nhất thì xác suất thắng ở vòng hai là 0,8. Ngược lại, nếu An thua ở vòng thứ nhất thì xác suất thắng ở vòng hai là 0,4. Gọi biến cố $A$: “Bạn An thắng ở vòng thứ nhất”; biến cố $B$: “Bạn An thắng ở vòng thứ hai”. Ta có sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên như sau:

Xác xuất để An thắng ở vòng chơi thứ hai là

A. 0,56.

B. 0,12.

C. 0,68.

D. 0,32.

Câu 39. Cho bảng dữ liệu sau về kết quả xét nghiệm một loại bệnh:

	Dương tính	Âm tính
Bệnh	100	20
Không bệnh	30	850

Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là

A. 10%.

B. 77%.

C. 90%.

D. 50%.

Câu 40. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi và không trả lại bi được bốc vào hộp. Giả sử lần đầu tiên bốc được bi trắng. Xác suất lần thứ 2 bốc được bi đỏ là

A. ${\dfrac{2}{9}}$.

B. ${\dfrac{1}{10}}$.

C. ${\dfrac{8}{9}}$.

D. ${\dfrac{2}{5}}$.

Câu 41. Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $25%$ cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là $60%$ và $25%$, được biểu diễn ở sơ đồ hình cây sau:

Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là

A. $\dfrac{4}{9}$.

B. $\dfrac{5}{9}$.

C. $\dfrac{7}{9}$.

D. $\dfrac{8}{9}$.

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có phương trình là

A. $x=0$.

B. $y=0$.

C. $z=0$.

D. $x+y+z=0$.

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=\left( 2\,;\,1\,;\,-2 \right)$ và vectơ $\vec{b}=\left( 1\,;\,0\,;\,2 \right)$. Tọa độ một vectơ vuông góc cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là

A. $\left( 2;6;-1 \right)$.

B. $\left( 4;6;-1 \right)$.

C. $\left( 4;-6;-1 \right)$.

D. $\left( 2;-6;-1 \right)$.

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng đi qua $M\left( 2;-1;4 \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):\,\,3x-2y+z+1=0$ là

A. $2x-2y+4z-21=0$.

B. $3x-2y+z-12=0$.

C. $2x-2y+4z+21=0$.

D. $3x-2y+z+12=0$.

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-9=0$ chứa hai điểm $A\left( 3;2;1 \right)$, $B\left( -3;5;2 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x+y+z+4=0$. Khi đó tổng $S=a+b+c$ bằng

A. $-12$.

B. $-4$.

C. $-2$.

D. 2.

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, mặt phẳng $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{-5}=1$ có một vectơ pháp tuyến là

A. ${{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 15;10;-6 \right)$.

B. ${{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 2;\,3;\,5 \right)$.

C. ${{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 15;10;6 \right)$.

D. ${{\vec{n}}_{\alpha }}=\left( 2;\,3;\,-5 \right)$.

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$; mặt phẳng $3x-2z+2=0$ đi qua điểm nào sau đây ?

A. $B\left( 4;\,2;\,1 \right)$.

B. $A\left( 1;\,2;\,4 \right)$.

C. $D\left( 2;\,1;\,4 \right)$.

D. $C\left( 2;\,4;\,-1 \right)$.

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai điểm $A\left( -1;2;0 \right)$ và $B\left( 3;0;2 \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ${AB}$ có phương trình là

A. $x+y+z-3=0$.

B. $2x-y+z+2=0$.

C. $2x+y+z-4=0$.

D. $2x-y+z-2=0$.

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, mặt phẳng qua điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và ${Oz}$ có phương trình là

A. $2x-y=0$.

B. $x+y-z=0$.

C. $3y-2z=0$.

D. $3x-z=0$.

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho các điểm ${A\left( 5;1;3 \right),B\left( 1;6;2 \right),C\left( 5;0;4 \right),D\left( 4;0;6 \right)}$. Mặt phẳng ${\left( P \right)}$ đi qua hai điểm $A,\,\,B$ và song song với $CD$ có phương trình là

A. $4x-5y+z+24=0$.

B. $x-2z+1=0$.

C. ${10x+9y+5z-74=0}$.

D. ${10x+9y+5z+74=0}$.

Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, điểm ${M}$ thuộc trục ${Oy}$ và cách đều hai mặt phẳng ${\left( P \right):x+y-z+1=0}$ và ${\left( Q \right):x-y+z-5=0}$ có tọa độ là

A. ${M\left( 0;-3;0 \right)}$.

B. ${M\left( 0;3;0 \right)}$.

C. ${M\left( 0;-2;0 \right)}$.

D. ${M\left( 0;1;0 \right)}$.

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-1=0$ và $\left( Q \right):x+2y+3z+6=0$ bằng

A. ${\dfrac{7}{\sqrt{14}}}$.

B. $\dfrac{8}{\sqrt{14}}$.

C. 14.

D. $\dfrac{5}{\sqrt{14}}$.

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai mặt phẳng ${\left( P \right):2x-3y+z-4=0}$; ${\left( Q \right):5x-3y-2z-7=0}$. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ${ ( P)}$ và ${( Q}$ là

A. Song song.

B. Cắt nhưng không vuông góc.

C. Vuông góc.

D. Trùng nhau.

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai mặt phẳng ${(P)}$: ${x-2y+2z-5=0}$, ${(Q):x+(2m-1)z+7=0}$; với ${m}$ là tham số thực. Để ${(P)}$ tạo với ${(Q)}$ góc ${\dfrac{\pi }{4}}$ khi giá trị của ${m}$ là

A. ${\left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.}$.

B. ${\left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=\sqrt{2} \\ \end{align} \right.}$.

C. ${\left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.}$.

D. ${\left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=-2\sqrt{2} \\ \end{align} \right.}$.

Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( 1\,;\,2;1 \right)$ và $N\left( 3;1;-2 \right)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$.

B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$.

C. $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-1}{-1}$.

D. $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$.

Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( -1;3;2 \right)$ và mặt phẳng ${\left( P \right):x-2y+4z+1=0.}$ Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.

B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.

C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z+2}{4}$.

D. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{4}$.

Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho điểm ${A\left( 1;-2;3 \right)}$ và hai mặt phẳng ${\left( P \right):\text{ }x+y+z+1=0}$, ${\left( Q \right):\text{ }x-y+z-2=0}$. Đường thẳng đi qua ${A}$, song song với ${\left( P \right)}$ và ${\left( Q \right)}$ có phương trình là

A. ${\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-2 \\ & z=3-2t \\ \end{align} \right..}$

B. ${\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=2 \\ & z=-3-t \\ \end{align} \right..}$

C. ${\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-2 \\ & z=3+2t \\ \end{align} \right..}$

D. ${\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-2 \\ & z=3-t \\ \end{align} \right..}$

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho đường thẳng $\,d:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=3-t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right.,\,$ $t\in \,\mathbb{R}\,$ và mặt phẳng $\,\left( P \right):x+2y-3z+2=0.\,$ Toạ độ của điểm $\,A\,$ là giao điểm của đường thẳng $\,d\,$ và mặt phẳng $\,\left( P \right)$ là

A. $\,A\left( 3;5;3 \right)$.

B. $\,A\left( 1;3;1 \right)$.

C. $\,A\left( -3;5;3 \right)$.

D. $\,A\left( 1;2;-3 \right)$.

Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=-3 \\\end{array} \right.$ và ${{d}^{\prime }}:\left\{ \begin{array}{} x=3+2{{t}^{\prime }} \\ y=1-{{t}^{\prime }} \\ z=-3 \\\end{array} \right.$ với $t,\,\,{{t}^{\prime }}\in \mathbb{R}$. Khi đó

A. $d\,\,\text{//}\,\,{{d}^{\prime }}$.

B. $d\equiv {{d}^{\prime }}$.

C. $d$ cắt ${{d}^{\prime }}$.

D. $d$ chéo ${{d}^{\prime }}$.

Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(-1;2;0)$, bán kính $R=3$ có phương trình

A. ${{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{z}^{2}}=3$.

B. ${{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$.

C. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$.

D. ${{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{z}^{2}}=\sqrt{3}$.

Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+4z-16=0$ có toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ là

A. $I\left( -2;-1;2 \right),\text{ }R=5.$

B. $I\left( -2;-1;-2 \right),\text{ }R=5.$

C. $I\left( 2;1;-2 \right),\text{ }R=5.$

D. $I\left( 4;2;-4 \right),\text{ }R=13.$

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 62 đến câu 80. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 62. Cho $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}$ và $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}$.

a) $F'(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}$.

b) $\int{\dfrac{1}{{{f}^{2}}(x)}dx=\dfrac{{{x}^{5}}}{5}-\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-x+C}$.

c) $f(x)=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1} \right)$.

d) $\int{F'(x)dx}\,\,=\,\,\dfrac{1}{2}\ln \left| \dfrac{x-1}{x+1} \right|+C$.

Câu 63. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2x+1}{x}$.

a) $\int{f\left( x \right)dx}=x+\ln \left| x \right|+C$.

b) Nếu $F\left( 1 \right)=0$ thì $F\left( 2 \right)=2+\ln 2$.

c) $F\left( 2x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( 2x \right)$.

d) Hàm số $f\left( {{e}^{x}} \right)$ có một nguyên hàm là $2x+{{e}^{-x}}$.

Câu 64. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)={{e}^{2x}}$.

a) $\int{{{e}^{2x}}dx=F(x)+C}$.

b) Nếu $F(\ln 2)=1$ thì $F(x)=2{{e}^{2x}}-1$.

c) $\int{\dfrac{{{e}^{2x}}+{{e}^{x}}}{f(x)}dx=x-\dfrac{1}{{{e}^{x}}}+C}$.

d) $\int{\dfrac{{{e}^{2x}}}{2x.f(x)}dx}={{x}^{2}}+C$.

Câu 65. Cho hàm số $f(x)=3$.

a) $\int{f\left( x \right)}\text{d}x\text{ =3}x+C$.

b) $\int{{{\left[ f\left( x \right)+x \right]}^{2}}}\text{d}x\text{ = }\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+3{{x}^{2}}+9x+C$.

c) Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$. Nếu $F\left( 1 \right)=1$ thì $F\left( x \right)=3x-1$.

d) Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$. Nếu $F\left( 1 \right)=1$ thì $F\left( 2 \right)+F(3)+\,\,...\,\,+F\left( 100 \right)\,\,=\,\,14589$.

Câu 66. Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65$km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 40${m}$. Sau 1 giây, người lái xe đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v\left( t \right)=-10t+20\ \left( m/s \right)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s\left( t \right)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Kể từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi đạp phanh khẩn cấp ô tô đã chạy được 18${m}$.

b) $s\left( t \right)=-10{{t}^{2}}+20t$.

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.

Câu 67. Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị như hình vẽ bên.

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=1\,\,(s)$ là $2\,(m/s)$.

b) Hàm số $v(t)$ được cho bởi công thức $v(t)=\left\{ \begin{align} & 2t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\le t<1 \\ & 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\le t<5 \\ & -t+7,\,\,\,5\le t\le 7 \\ \end{align} \right.$.

c) Quãng đường vật đi được từ lúc $t=1(s)$ đến lúc $t=3(s)$ là $2m$.

d) Quãng đường vật đi được trong 6 giây đầu tiên là $10m$.

Câu 68. Một công ty nhập khẩu và phân phối sản phẩm đang cố gắng tối ưu hóa việc quản lý hàng tồn kho và dự báo doanh số bán hàng của một mặt hàng. Họ sử dụng các hàm số để mô tả sự biến động theo thời gian: Tốc độ nhập hàng (số lượng sản phẩm/ngày) được mô tả bởi hàm số $n(t)=0,5t+20$; tốc độ bán hàng (số lượng sản phẩm/ngày) được mô tả bởi hàm số $b(t)=0,8\sqrt{t}+15$; trong đó $t$ là số ngày kể từ khi bắt đầu khảo sát. Biết số lượng hàng tồn kho ban đầu của công ty là 50 sản phẩm.

a) Biết rằng số lượng hàng nhập kho ban đầu bằng 0, khi đó biểu thức tổng số lượng hàng nhập kho của công ty theo thời gian $t$ là $N(t)=0,25{{t}^{2}}+20t$ (sản phẩm).

b) Biết rằng số lượng hàng bán ra ban đầu bằng 0, khi đó biểu thức tổng số lượng hàng bán ra của công ty theo thời gian $t$ là $B(t)=\dfrac{8}{15}t\sqrt{t}+15t+50$ (sản phẩm).

c) Số lượng hàng tồn kho của công ty sau 10 ngày kể từ khi bắt đầu khảo sát nhiều hơn 110 sản phẩm.

d) Trong 20 ngày đầu tiên kể từ khi bắt đầu khảo sát, ngày thứ 20 số lượng hàng tồn kho của công ty là nhiều nhất.

Câu 69. Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng $x$ sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức $f\left( x \right)=6{{x}^{2}}+10x-15$ (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Gọi hàm chi phí sản xuất sản phẩm A là $F(x)$.

a) $F(x)={f}'(x)$.

b) $F(1)=52$.

c) $F(b)-F(a)=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$.

d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn).

Câu 70. Để chuẩn bị cho buổi dã ngoại, học sinh lớp 12A dựng một cái lều trại có dạng như hình vẽ.

Biết rằng mặt trước và mặt sau của trại là hai parabol bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và cùng vuông góc với mặt nền. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước chiều rộng là $4m$ (lối vào lều), chiều dài là $6m$ (chiều sâu), đỉnh $I$ của parabol cách nền $3m$.

a) Diện tích thảm làm nền là 24${{m}^{2}}$.

b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho: $O$ là trung điểm của cạnh $AB$ với $A$, $B$ thuộc trục hoành, hoành độ $B$ là số dương và $I$ thuộc trục tung có tung độ dương. Tọa độ các điểm $A\left( -2;0 \right),\,\,B\left( 2;0 \right),\,\,I\left( 3;0 \right)$.

c) Phương trình của parabol là $y=-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+3$.

d) Diện tích mặt trước của lều trại là 8${{m}^{2}}$ và thể tích phần không gian phía trong trại là 63${{m}^{3}}$.

Câu 71. Một công ty đấu thầu hai dự án. Khả năng thắng thầu các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5. Khả năng thắng thầu cả hai dự án là 0,3. Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.

a) Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

b) Biết công ty thắng thầu dự án 1, thì xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,75.

c) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, thì xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là $\dfrac{2}{3}$.

d) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.

Câu 72. Một hộp chứa 4 quả bóng màu đỏ và 6 quả bóng màu xanh. Lấy từ hộp hai lần liên tiếp mỗi lần 1 quả bóng. Gọi A là biến cố “Lần 2 lấy được quả màu xanh”; B là biến cố “ Lần 1 lấy được quả bóng màu đỏ”.

a) Xác suất xảy ra biến cố $B$ là $P\left( B \right)=$ $\dfrac{2}{5}$.

b) Xác suất xảy ra biến cố $A$ khi $B$ xảy ra là $P\left( A\left| B \right. \right)=\dfrac{3}{5}$.

c) Xác suất xảy ra biến cố $A$ khi $B$ không xảy ra là: $P\left( A\left| \overline{B} \right. \right)=\dfrac{5}{9}$.

d) Xác suất xảy ra cả biến cố $A$ và $B$ là $P\left( AB \right)=\dfrac{4}{15}$.

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):y-5=0$, $\left( Q \right):\sqrt{3}x-y-2024=0$ và các vectơ $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 0;1;0 \right)$, $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( \sqrt{3};-1;0 \right)$.

a) $\overrightarrow{{{n}_{1}}}$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

b) $\overrightarrow{{{n}_{2}}}$ không phải là một vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$.

c) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng ${{60}^{0}}$.

d) Tồn tại duy nhất một điểm $M$ thuộc trục $Ox$ đồng thời cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ .

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)$

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\vec{n}=\left( 3;3;2 \right).$

b) Mặt phẳng đi qua $C$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có phương trình là $x-y=0.$

c) Mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $\left( ABC \right)$ có phương trình là $x+y-3z+2=0.$

d) Gọi $M\left( a;b;c \right)\in \left( Oyz \right)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất, khi đó $3\left( a+b \right)+c=5.$

Câu 75. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;1;3 \right)$, $B\left( 3;0;2 \right)$, $C\left( 0;-2;1 \right)$.

a) Các điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{a}=\left( 1;4;5 \right)$.

c) Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ chứa điểm $M\left( 1;2;2 \right)$.

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,\,\,B$ và cách $C$ một khoảng lớn nhất có phương trình $3x+2y+z-11=0$.

Câu 76. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( 2;1;0 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1}.$

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là ${\overset{\to }{\mathop{u}}\,=\left( 2\,;1\,;-1 \right)}$.

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình tổng quát là $2x+by+cz+d=0,$ khi đó $b+c+d=-5$.

c) Gọi ${M}'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$, khi đó ${M}'\left( 1\,;\,0\,;\,-2 \right)$.

d) Cho đường thẳng $\Delta$: $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{a}=\dfrac{z}{b}$, $\Delta$ đi qua điểm $M$ cắt và vuông góc với đường thẳng $d$, khi đó $a\,\,+\,\,b\,\,=\,\,6$.

Câu 77. Bên hông của ngôi nhà là một bức tường phẳng, người ta muốn lắp một bóng đèn và một công tắc để bật tắt đèn. Công tắc gắn vào bức tường, đèn cách mặt đất 3 mét và nằm trên một cột coi là đường thẳng song song với mặt phẳng chứa bức tường, cách bức tường 2 mét. Công tơ ngoài đường cách mặt đất 1 mét và đặt trên một cột coi là đường thẳng song song với mặt phẳng chứa bức tường, cách bức tường 8 mét. Coi mặt đất là mặt phẳng, cột đèn và cột công tơ cách nhau 10 mét. Dây điện từ công tơ kéo vào công tắc và từ công tắc kéo ra đèn như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau: mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Ox$ là đường giao bức tường và mặt đất, trục $Oy$ qua chân cột đèn, trục $Oz$ là đường thẳng nằm trên bức tường, đơn vị trên các trục là mét và chiều các trục như hình vẽ. Coi chân cột đèn là điểm $M$, chân cột công tơ là điểm $N$, hoành độ và tung độ điểm $N$ là số dương.

a) Khoảng cách ${MN}$ bằng 10 mét.

b) Coi đèn là điểm ${A}$, tọa độ điểm ${A}$ là (0 ; 3 ; 2).

c) Tọa độ điểm ${N}$ là (8 ; 8 ; 0).

d) Người ta đã chọn vị trí đặt công tắc sao cho tổng chiều dài dây điện mắc như hình vẽ là nhỏ nhất, khi đó dây điện dài không quá 12 mét (sai số không quá 0,1 mét).

Câu 78. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5\,;\,-2\,;\,0.4)$ và bay theo một đường thẳng để hạ cánh ở vị trí $B(3,5\,;\,5,5\,;\,0)$ trên đường băng $EG$ (tham khảo hình vẽ). Tốc độ của máy bay 200$km/h$ trên quãng đường AB.

a) Khoảng 2 phút sau thì máy bay từ vị trí A sẽ hạ cánh tại vị trí B.

b) Máy bay đi qua vị trí $C\left( \dfrac{7}{2}\,\,;\,\,\dfrac{43}{46}\,\,;\,\,\dfrac{28}{115} \right)$.

c) Khi máy bay ở vị trí $D(3,5\,\,;\,\,3,25\,\,;\,\,0,12)$ thì máy bay cách mặt đất 120m.

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5\,\,;\,\,4,5\,\,;\,\,0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120m. Nếu sau khi qua vị trí $C\left( \dfrac{7}{2};\dfrac{43}{46};\dfrac{28}{115} \right)$ tầm nhìn của người phi công là 900m thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.

Câu 79. Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10\,\,;\,\,3\,\,;\,\,0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2\,\,;\,\,-2\,\,;\,\,1)$ (hướng chuyển động cùng chiều với hướng vectơ $\vec{u}$) với tốc độ là $4,5~\,m\text{/}s$, (đơn vị trên mỗi trục là mét).

a) Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{} x\,\,=\,\,10\,\,+\,\,2t \\ y\,\,=\,\,3\,\,-\,\,2t \\ z\,\,=\,\,t \\\end{array},\quad (t\in \mathbb{R}) \right.$.

b) Giả sử sau thời gian $t\,(s)$ kể từ khi xuất phát $(t\ge 0)$ cabin đến điểm $M$, khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left( 3t+10\,\,;\,\,-3t+3\,\,;\,\,\dfrac{3t}{2} \right)$.

c) Cabin dừng ở điểm ${B}$ có hoành độ ${{x}_{B}}=550$, khi đó quãng đường ${AB}$ dài 800$m$.

d) Đường cáp ${AB}$ tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc ${{30}^{0}}$.

Câu 80. Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và $M\left( x;y;z \right)$ (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí $\left( 50;120;4 \right)$ và chuyển động với vận tốc $\vec{v}=\left( 300;400;3 \right)$ (km/h).

a) Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1 km).

b) Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8 km.

c) Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình $F$ có tọa độ $\left( 1250;1020;0 \right)$ xấp xỉ 700 km (sai số không quá 10 km).

d) Khi đạt độ cao 10 km, máy bay đổi vận tốc mới là $\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\left( 400;300;-5 \right)$ để hướng đến sân bay $B$. Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay $B$ là $\left( 1450;1520;0 \right)$.

Phần III. Học sinh trả lời từ câu 81 đến câu 100.

Câu 81. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là $(C)$. Xét điểm $M(x;f(x))$ thay đổi trên $(C)$. Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là ${{k}_{M}}={{(x-1)}^{2}}$ và điểm $M$ trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tính giá trị của $f(6)$ ?

Câu 82. Nếu ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2x}$ và $f\left( 1 \right)=1$ thì giá trị của $f\left( 4 \right)$ bằng bao nhiêu (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2) ?

Câu 83. Cho $F\left( x \right)={{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Tính giá trị $\int\limits_{1}^{2}{\left[ 2+f\left( x \right) \right]\text{d}x}$?

Câu 84. Cho $y=f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(x)\,\,=\,\,{{x}^{2}}-x\int\limits_{1}^{2}{f(t)\text{d}t}+1$. Tính giá trị $f(3)$?

Câu 85. Tại một công ty, phòng kinh doanh đang theo dõi sự tăng trưởng doanh thu của công ty. Doanh thu không tăng trưởng đều đặn mà có sự biến động do nhiều yếu tố, như các chiến dịch marketing, thay đổi chính sách, thay đổi sản phẩm mới, hay các yếu tố về mùa vụ. Tốc độ tăng trưởng doanh thu (tính bằng tỉ đồng tiền việt) được mô tả bởi hàm số $r(t)\,\,=\,\,-0,5{{t}^{2}}+2t+6$, trong đó ${t}$ là thời gian (tính bằng tháng). Doanh thu ban đầu (tại thời điểm $t=0$) là 10 tỉ đồng. Trong 12 tháng đầu tiên, tháng có doanh thu lớn nhất của công ty đạt bao nhiêu tỉ đồng ?

Câu 86. Hai ôtô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng ${AB}$. Ôtô thứ nhất xuất phát từ $A$ và đi theo hướng từ $A$ đến $B$ với vận tốc ${{v}_{1}}(t)\,\,=\,\,-{{t}^{2}}+16t+10\,\,\,(km\text{/}h)$; ôtô thứ hai xuất phát từ $O$ cách $A$ một khoảng 13${km}$ và đi theo hướng từ $A$ đến $B$ với vận tốc 30$km\text{/}h$, sau một khoảng thời gian người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó ôtô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${{v}_{2}}(t)\,\,=\,-5t+35\,\,\,(km\text{/}h)$. Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ kể từ khi xuất phát hai ôtô đó gặp nhau ?

Câu 87. Tại một khu vực tham quan, gọi $B\left( t \right)$ là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau $t$ giờ mở cửa, khi đó tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số ${{B}'\left( t \right)=4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+200}$, trong đó t tính bằng giờ (${0\le t\le 8}$), ${{B}'\left( t \right)}$ tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người ?

Câu 88. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn cho thuê mỗi gian hàng với giá là $x$ triệu đồng $\left( x>0 \right)$. Khi đó doanh thu của cửa hàng được biểu diễn theo hàm số $T\left( x \right)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số ${T}'\left( x \right)=-10x+200$, trong đó ${T}'\left( x \right)$ tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu giá thuê cho mỗi gian hàng là 10 triệu đồng thì doanh thu là 1800 triệu đồng. Tìm giá trị của ${x}$ để người đó có doanh thu là cao nhất ?

Câu 89. Tại một nhà máy sản xuất gọi $C\left( x \right)$ là tổng chi phí tính theo triệu đồng để sản xuất $x$ (tấn) sản phẩm A trong một tháng. Khi đó đạo hàm ${C}'\left( x \right)$ gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy ước lượng bởi công thức ${C}'\left( x \right)=5-0,06x+0,00072{{x}^{2}}$ với $0\le x\le 150$. Biết rằng $C\left( 0 \right)=30$ triệu đồng gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong một tháng ?

Câu 90. Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x\,\,(dm)$ $(0\le x\le 4)$ thì được thiết diện là hình tròn có bán kính $\sqrt{4-x}\,\,(dm)$. Tính thể tích của chiếc đèn cói ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục của $d{{m}^{3}}$).

Câu 91. Một lô các sản phẩm do hai nhà máy sản xuất, biết rằng số sản phẩm của nhà máy thứ nhất gấp ba lần số sản phẩm của nhà máy thứ hai. Tỉ lệ sản phẩm tốt của nhà mấy thứ nhất là 0,8 và nhà mấy thứ hai là 0,7. Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là tốt (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) ?

Câu 92. Cho 2 biến cố $A$ và $B$ có $P(A)=0,5;$ $P(B)=0,8; $${P(A\left| \overline{B} \right.)=0,6}$. Tính $P(A\left| B \right.)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) ?

Câu 93. Trong hội thảo, xác suất chọn được một người trình bày báo cáo bằng tiếng anh là 0,6. Xác suất để chọn một người trình bày là nữ là 0,4. Xác xuất để chọn được một nhười trình bày báo cáo bằng tiếng anh biết người đó là nữ là 0,3. Tính xác suất để chọn được một người là nữ sao cho người đó có thể trình bày báo cáo bằng tiếng anh ?

Câu 94. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-3y+2z-1=0,$$\left( Q \right):x-z+2=0$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $ax+by+cz-3=0.$ Tính $a+2b+3c$ ?

Câu 95. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;2;3)$ là trực tâm của $\Delta ABC$ với $A$, $B$, $C$ là ba điểm lần lượt nằm trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ có dạng $mx+ny+pz-14=0,\left( m,n,p\in \mathbb{Z} \right)$. Tính giá trị của biểu thức $m+n+p$ ?

Câu 96. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25\text{m}$, $AD=15\text{m}$, $BC=18\text{m}$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10\text{cm}$, $a\text{cm}$, $6\text{cm}$ tương ứng. Tính giá trị của $a$ ?

Câu 97. Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An $0,5m$ và cách Nam $4,5m$ được mô tả bằng hình vẽ bên. Hệ tọa độ $Oxyz$ như hình bên. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):ax+\dfrac{1}{2}y+cx+d=0$ và vuông góc với mặt đất. Tính giá trị của $a+c+d$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) ?

Câu 98. Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, người ta lập hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (mặt đất được coi là mặt phẳng), trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía bắc và trục $Oz$ hướng thẳng lên trên trời, đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ là kilômét. Sau khi cất cánh và đạt độ cao 11000 mét, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía bắc và giữ độ cao này với tốc độ không đổi là 900 km/h trong 30 phút. Tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó là $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$, tính $\dfrac{b}{c}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) ?

Câu 99. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ ${O(0;~~ 0;~~ 0),}$ đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí $A(-500\,;~-250\,;~150),~~B(-200\,;~-200\,;~100).$ Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, toạ độ của vị trí máy bay là ${(a;~~ b;~~ c).}$ Tính giá trị của biểu thức ${-3a-b-c}$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) ?

Câu 100. Khi đặt hệ tọa độ ${Oxyz}$ vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu ${(S)}$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu ${(S)}$ có phương trình ${x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z+5=0.}$ Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét ?

Chúc các em ôn tập tốt 😊

Trung tâm phát triển năng lực bồi dưỡng kiến thức văn hoá Ánh Dương, 38A ngõ 4 đường Lý Sơn, ĐT 034 76 77777

Thầy cô, Học sinh tải về nếu hỏi mật khẩu thì nhập một trong các mk sau để mở file (NÊN copy và chú ý không dấu cách và không thừa khoảng trắng hay kí tự bất kì): hs.edu.vn https://hs.edu.vn/ https://edu365.edu.vn/ https://edu365.edu.vn edu365.edu.vn edu365free freeedu365 edu365.edu.vnfree edu365 hoc moi luc moi noi

(Nếu file quá nhiều lượt tải về trong ngày, xin bấm vào đây xem hướng dẫn để tải ngay)

Chúng tôi luôn mong nhận được sự đồng hành, góp ý và chia sẻ của thầy cô giáo và học sinh.

Xin gửi về địa chỉ:

Nhà giáo: Nguyễn Quốc Hoàn

Mobi, Zalo: 0913 661 886

Tel: 025 99 999 888 , 024 666 07 999 , 028 99 99 99 77

Giờ làm việc: 08h11 - 18h36 hàng ngày; trừ các ngày lễ và ngày thứ bẩy, chủ nhật.

Ấn đây tải xuống File này