Ôn thi tốt nghiệp THPT 2023 Số phức phần 4

Câu 28. Xét các số phức  $ z=a+bi $  ( $ a,b\in \mathbb{R} $ ) thỏa mãn  $ \left|z-3-2i\right|=2 $ . Khi  $ \left|z+1-2i\right|+2\left|z-2-5i\right| $  đạt giá trị nhỏ nhất, thì tổng  $ a+b $  bằng

A. $ 4-\sqrt{3} $ .       B.  $ 2+\sqrt{3} $ .       C. 3.       D.  $ 4+\sqrt{3} $ .

Lời giải:

Cách 1:

Đặt  $ z-3-2i=w $  với  $ w=x+yi $   $ \left(x,y\in \mathbb{R}\right) $ . Theo bài ra ta có  $ \left|w\right|=2\Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 $ .

Ta có  $ P=\left|z+1-2i\right|+2\left|z-2-5i\right|=\left|w+4\right|+2\left|w+1-3i\right|=\sqrt{{{\left(x+4\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}} $

 $ =\sqrt{20+8x}+2\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}}=2\sqrt{5+2x}+2\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}} $

 $ =2\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}}\right)=2\left(\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}}\right) $

 $ \ge2\left(\left|y\right|+\left|y-3\right|\right)\ge2\left|y+3-y\right|=6 $ .

$P=6$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y\left( 3-y \right)\ge 0 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\ & y=\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$.

Vậy GTNN của  $ P $  là bằng 6 đạt được khi  $ z=2+\left(2+\sqrt{3}\right)i $ .

Cách 2:

 $ \left|z-3-2i\right|=2 $   $ \Rightarrow MI=2 $   $ \Rightarrow M\in \left(I;2\right) $  với  $ I=\left(3;2\right) $ .

 $ P=\left|z+1-2i\right|+2\left|z-2-5i\right|=MA+2MB $  với  $ A=\left(1;2\right) $ ,  $ B=\left(2;5\right) $ .

Ta có  $ IM=2 $ ;  $ IA=4 $ . Chọn  $ K\left(2;2\right) $  thì  $ IK=1 $ . Do đó ta có  $ IA.IK=I{{M}^{2}} $   $ \Rightarrow \dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IM}{IK} $

 $ \Rightarrow \Delta IAM $  và  $ \Delta IMK $  đồng dạng với nhau  $ \Rightarrow \dfrac{AM}{MK}=\dfrac{IM}{IK}=2 $   $ \Rightarrow AM=2MK $ .

Từ đó  $ P=MA+2MB $  $ =2\left(MK+MB\right) $  $ \ge2BK $ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  $ M $ ,  $ K $ ,  $ B $  thẳng hàng và  $ M $  thuộc đoạn thẳng  $ BK $ .

Từ đó tìm được  $ M=\left(2;2+\sqrt{3}\right) $ .

Cách 3:

Gọi  $ M\left(a;b\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ z=a+bi. $  Đặt  $ I=\left(3;2\right) $ ,  $ A\left(-1;2\right) $  và  $ B\left(2;5\right) $ .

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I $ , bán kính  $ R=2 $  sao cho biểu thức  $ P=MA+2MB $  đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm  $ K\left(x;y\right) $  sao cho  $ MA=2MK $  $ \forall M\in \left(C\right) $ .

Ta có  $ MA=2MK\Leftrightarrow  M{{A}^{2}}=4M{{K}^{2}}\Leftrightarrow  {{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^{2}}=4{{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK}\right)}^{2}} $

 $ \Leftrightarrow  M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=4\left(M{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}\right)\Leftrightarrow  2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}\right)=3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}} $  $ \left(*\right) $ .

 $ \left(*\right) $  luôn đúng  $ \forall M\in \left(C\right)\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{0}\\ &3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0\end{align}\right. $ .

$\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\vec{0}$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4\left( x-3 \right)=-4 \\  & 4\left( y-2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right.$

Thử trực tiếp ta thấy  $ K\left(2;2\right) $  thỏa mãn  $ 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 $ .

Vì  $ B{{I}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10>{{R}^{2}}=4 $  nên  $ B $  nằm ngoài  $ \left(C\right) $ .

Vì  $ K{{I}^{2}}=1<{{R}^{2}}=4 $  nên  $ K $  nằm trong  $ \left(C\right) $ .

Ta có  $ MA+2MB=2MK+2MB=2\left(MK+MB\right)\ge2KB $ .

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi  $ M $  thuộc đoạn thẳng  $ BK $ .

Do đó  $ MA+2MB $  nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của  $ \left(C\right) $  và đoạn thẳng  $ BK. $

Phương trình đường thẳng  $ BK:x=2 $ .

Phương trình đường tròn  $ \left(C\right):{{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}=4 $ .

Tọa độ điểm  $ M $  là nghiệm của hệ  $\left\{ \begin{align} & x=2 \\  & {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$   hoặc  $ \left\{\begin{align}&x=2\\ &y=2-\sqrt{3}\end{align}\right. $ .

Thử lại thấy  $ M\left(2;2+\sqrt{3}\right) $  thuộc đoạn  $ BK $ .

Vậy  $ a=2 $ ,  $ b=2+\sqrt{3} $   $ \Rightarrow a+b=4+\sqrt{3} $ .

Câu 29. Biết rằng hai số phức  $ {{z}_{1}} $ ,  $ {{z}_{2}} $  thỏa mãn  $ \left|{{z}_{1}}-3-4 {i}\right|=1 $  và  $ \left|{{z}_{2}}-3-4 {i}\right|=\dfrac{1}{2} $ . Số phức  $ z $  có phần thực là  $ a $  và phần ảo là  $ b $  thỏa mãn  $  $ . Giá trị nhỏ nhất của  $ \left|z-{{z}_{1}}\right|+\left|z-2{{z}_{2}}\right|+2 $  bằng

A. $ \dfrac{\sqrt{9945}}{11} $ .       B.  $ 5-2\sqrt{3} $ .       C.  $ \dfrac{\sqrt{9945}}{13} $ .       D.  $ 5+2\sqrt{5} $ .

Lời giải:

Gọi  $ {{M}_{1}} $ ,  $ {{M}_{2}} $ ,  $ M $  lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức  $ {{z}_{1}} $ ,  $ 2{{z}_{2}} $ ,  $ z $  trên hệ trục tọa độ  $ Oxy $ . Khi đó quỹ tích của điểm  $ {{M}_{1}} $  là đường tròn  $ \left({{C}_{1}}\right) $  tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính  $ R=1 $;  quỹ tích của điểm  $ {{M}_{2}} $  là đường  $ \left({{C}_{2}}\right) $  tròn tâm  $ I\left(6;8\right) $ , bán kính  $ R=1 $ ;  quỹ tích của điểm  $ M $  là đường thẳng  $ d:3x-2y-12=0 $ .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của  $ M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 $ .

Gọi  $ \left({{C}_{3}}\right) $  có tâm  $ {{I}_{3}}\left(\dfrac{138}{13};\dfrac{64}{13}\right) $ ,  $ R=1 $  là đường tròn đối xứng với  $ \left({{C}_{2}}\right) $  qua  $ d $ . Khi đó  $ \min\left(M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2\right)=\min\left(M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\right) $  với  $ {{M}_{3}}\in \left({{C}_{3}}\right) $ .

Gọi  $ A $ ,  $ B $  lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng  $ {{I}_{1}}{{I}_{3}} $  với  $ \left({{C}_{1}}\right) $ ,  $ \left({{C}_{3}}\right) $ . Khi đó với mọi điểm  $ {{M}_{1}}\in \left({{C}_{1}}\right) $ ,  $ {{M}_{3}}\in \left({{C}_{3}}\right) $ ,  $ M\in d $  ta có  $ M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2 $ , dấu "=" xảy ra khi  $ {{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B $ . Do đó  $ {{P}_{\min}}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2 $  $ ={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13} $ .

Câu 30. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|{{z}^{2}}-2z+5\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3i-1\right)\right| $ . Gọi số phức  $ w=z-2+2i $ , khi đó  $ \left| {w}\right| $  nhỏ nhất bằng

A. $ \dfrac{1}{2} $ .       B. 1.       C.  $ \dfrac{3}{2} $ .       D. 2.

Lời giải:

Theo giả thiết,  $ \left|{{z}^{2}}-2z+5\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3i-1\right)\right| $

 $ \Leftrightarrow  \left|\left(z-1+2i\right)\left(z-1-2i\right)\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3i-1\right)\right| $

 $ \Leftrightarrow  \left|z-1+2i\right|.\left(\left|z-1-2i\right|-\left|z-1+3i\right|\right)=0 $

 $ \Leftrightarrow  \left[\begin{align}&\left|z-1+2i\right|=0 {}\left(1\right)\\ &\left|z-1-2i\right|=\left|z-1+3i\right| {}\left(2\right)\end{align}\right. $ .

 $ \left(1\right)\Leftrightarrow  z-1+2i=0\Leftrightarrow  z=1-2i $ . Khi đó,  $ \left|w\right|=\left|1-2i-2+2i\right|=1 $   $ \left(3\right) $ .

Đặt  $ z=x+yi $  ( $ x, {}y\in \mathbb{R} $ ). Khi đó,  $ \left(2\right)\Leftrightarrow  \left|\left(x-1\right)+\left(y-2\right)i\right|=\left|\left(x-1\right)+\left(y+3\right)i\right| $

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}={{\left(x-1\right)}^{2}}+{{\left(y+3\right)}^{2}}\Leftrightarrow  {{\left(y-2\right)}^{2}}={{\left(y+3\right)}^{2}}\Leftrightarrow  y=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow z=x-\dfrac{1}{2}i $ .

 $ \Rightarrow \left|w\right|=\left|\left(x-2\right)+\dfrac{3}{2}i\right|=\sqrt{{{\left(x-2\right)}^{2}}+\dfrac{9}{4}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2} $   $ \forall x\in \mathbb{R} $ .  $ \left(4\right) $ .

Từ  $ \left(3\right) $  và  $ \left(4\right) $  $ \Rightarrow \min\left|w\right|=1 $ .

Câu 31. Xét các số phức  $ z=a+bi\,\left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z+2-3i\right|=2\sqrt{2} $ . Khi  $ \left|z+1+6i\right|+\left|z-7-2i\right| $  đạt giá trị lớn nhất, thì  $ 2a+b $  bằng

A. $ -3 $ .       B. 1.       C. 3.       D. 7.

Lời giải:

Đặt  $ A\left(-1;\,-6\right),\,B\left(7;\,2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(8;\,8\right) $  và trung điểm của  $ AB $  là  $ K\left(3;\,-2\right) $ .

Gọi  $ M\left(a;\,b\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ z $  ta có:  $ {{\left(a+2\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}=8 $ .

 $ \Rightarrow M $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(-2;\,3\right) $ , bán kính  $ R=\sqrt{8} $ .

Ta thấy  $ \overrightarrow{IK}=\left(5;\,-5\right)\Rightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow I $  nằm trên đường thẳng trung trực của  $ AB $ .

Xét tam giác  $ MAB\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{K}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} $ .

 $ \Rightarrow 2\left(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\right)=4M{{K}^{2}}+A{{B}^{2}}\ge{{\left(MA+MB\right)}^{2}}\Rightarrow MA+MB\le\sqrt{4M{{K}^{2}}+A{{B}^{2}}} $ .

Ta có  $ \left|z+1+6i\right|+\left|z-7-2i\right| $  là tổng khoảng cách từ điểm  $ M $  trên đường tròn  $ \left(C\right) $  tới hai điểm  $ A $  và  $ B $ .

Vậy  $ MA+MB $  lớn nhất khi:  $ \left\{\begin{align}&MA=MB\\ &MK\,\max\end{align}\right. $ . Điều này xảy ra khi  $ M $  là giao điểm của  $ IK $  với đường tròn  $ \left(C\right) $  và  $ M $  nằm ngoài đoạn  $ IK $ .

Ta có phương trình của đường thẳng  $ IK:\,\left\{\begin{align}&x=-2+t\\ &y=3-t\end{align}\right. $ .

Tọa độ giao điểm của  $ IK $  với đường tròn  $ \left(C\right) $  là nghiệm của hệ:

 $ \left\{\begin{align}&x=-2+t\\ &y=3-t\\ &{{\left(x+2\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}=8\end{align}\right.\Rightarrow 2{{t}^{2}}=8\Rightarrow t=\pm 2 $ .

Vậy điểm  $ M $  cần tìm ứng với  $ t=-2 $  khi đó

 $ M\left(-4;\,5\right)\Rightarrow \left\{\begin{align}&a=-4\\ &b=5\end{align}\right.\Rightarrow P=2a+b=-8+5=-3 $

Câu 32. Số các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ |z+2-i|=2\sqrt{2} $  và  $ {{\left(z-1\right)}^{2}} $  là số thuần ảo là

A. 0.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Gọi số phức  $ z=x+yi $   $ \left(x,y\in \mathbb{R}\right) $ , vì  $ {{\left(z-1\right)}^{2}}=\left[{{\left(x-1\right)}^{2}}-{{y}^{2}}\right]+2\left(x-1\right)yi $  là số thuần ảo nên theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{\left( x+2\right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=8\text{  }(1) \\ & {{\left( x-1\right)}^{2}}={{y}^{2}}\text{  }(2) \\ \end{align} \right.$

Từ  $ (2) $  suy ra:  $ y=\pm  {}(x-1) $

Ÿ Với  $ y=x-1 $ , thay vào  $ (1) $ , ta được:  $ {{\left(x+2\right)}^{2}}+{{\left(x-2\right)}^{2}}=8\Leftrightarrow  {{x}^{2}}=0\Leftrightarrow  x=0. $

Suy ra:  $ z=-i $ .

Ÿ Với  $ y=-(x-1) $ , thay vào  $ (1) $ , ta được:

 $ {{\left(x+2\right)}^{2}}+{{\left(-x\right)}^{2}}=8\Leftrightarrow  2{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow  x=-1\pm \sqrt{3}. $

Suy ra:  $ z=\left(-1+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)i $ ;  $ z=\left(-1-\sqrt{3}\right)+\left(2+\sqrt{3}\right)i $

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.

Câu 33. Cho số phức  $ z=a+bi\,\,\left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ z+2+i-\left|z\right|\left(1+i\right)=0 $  và  $ \left|z\right|>1 $ . Giá trị  $ a+b $  bằng

A. $ -5 $ .       B.  $ -3 $ .       C. 3.       D. 7.

Lời giải:

Ta có:  $ z+2+i-\left|z\right|\left(1+i\right)=0 $  $ \Leftrightarrow  a+bi+2+i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left(1+i\right)=0 $

 $ \Leftrightarrow  a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\left(b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\right)i=0\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\,\,\left(1\right)\\ &b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\,\,\,\left(2\right)\end{align}\right. $

Lấy  $ \left(1\right) $  trừ  $ \left(2\right) $  ta được:  $ a-b+1=0\Leftrightarrow  b=a+1 $ . Thế vào  $ \left(1\right) $  ta được:

$a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow a+2=\sqrt{2{{a}^{2}}+2a+1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a\ge -2 \\ & {{a}^{2}}+4a+4=2{{a}^{2}}+2a+1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ge -2 \\ & {{a}^{2}}-2a-3=0 \\ \end{align} \right.$  Giải ra $\left[ \begin{align}& a=3\left( tm \right) \\  & a=-1\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$

Với  $ a=3\Rightarrow b=4 $ ;  $ a=-1\Rightarrow b=0 $ .

Vì  $ \left|z\right|>1\Rightarrow z=3+4i\Rightarrow \left\{\begin{align}&a=3\\ &b=4\end{align}\right.\Rightarrow P=a+b=3+4=7 $ .

Câu 34. Có bao nhiêu số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z+3i\right|=\sqrt{13} $  và  $ \dfrac{z}{z+2} $  là số thuần ảo?

A. 0.       B. 1.       C. 2.       D. 3.

Lời giải:

Gọi số phức  $ z=a+bi,\left(a,b\in \mathbb{R}\right) $

Ta có  $ \left|z+3i\right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow  \left|a+bi+3i\right|=\sqrt{13} $  $ \Leftrightarrow  {{a}^{2}}+{{\left(b+3\right)}^{2}}=13 $

 $ \Leftrightarrow  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b\left(1\right) $

 $ \dfrac{z}{z+2}=1-\dfrac{2}{z+2}=1-\dfrac{2}{a+2+bi}=1-\dfrac{2\left(a+2-bi\right)}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}} $ .

 $ =\dfrac{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2b}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i $  $ =\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2b}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i $

Do  $ \dfrac{z}{z+2} $  là số thuần ảo nên  $ \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{\left(a+2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=0\,\left(2\right)\\ &a\ne -2\\ &b\ne 0\end{align}\right. $

Thay  $ \left(1\right) $  vào  $ \left(2\right) $  ta có  $ 4-6b+2a=0\Leftrightarrow  a=3b-2 $  thay vào  $ \left(1\right) $  ta có

 $ {{\left(3b-2\right)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow  10{{b}^{2}}-6b=0 $   $ \Leftrightarrow  \left[\begin{align}&b=0(L)\\ &b=\dfrac{3}{5}\Rightarrow a=\dfrac{-1}{5}\end{align}\right. $

Vậy có một số phức cần tìm.

Câu 35. Cho hai số phức  $ {{z}_{1}} $ ,  $ {{z}_{2}} $  thỏa mãn các điều kiện  $ \left|{{z}_{1}}\right|=\left|{{z}_{2}}\right|=2 $  và  $ \left|{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\right|=4 $ . Giá trị của  $ \left|2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. $ 2\sqrt{6} $ .       B.  $ \sqrt{6} $ .       C.  $ 3\sqrt{6} $ .       D. 8.

Lời giải:

Giả sử  $ {{z}_{1}}=a+bi $ , ( $ a $ ,  $ b\in \mathbb{R} $ );  $ {{z}_{2}}=c+di $ , ( $ c $ ,  $ d\in \mathbb{R} $ ).

Theo giả thiết ta có:

 $ \left\{\begin{align}&\left|{{z}_{1}}\right|=2\\ &\left|{{z}_{2}}\right|=2\\ &\left|{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}\right|=4\end{align}\right. $   $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\\ &{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4\\ &{{\left(a+2c\right)}^{2}}+{{\left(b+2d\right)}^{2}}=16\end{align}\right. $  $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(1\right)\\ &{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(2\right)\\ &{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4\left({{c}^{2}}+{{d}^{2}}\right)+4\left(ac+bd\right)=16\,\,\,\,\,\left(3\right)\end{align}\right. $

Thay  $ \left(1\right) $ , $ \left(2\right) $ vào  $ \left(3\right) $  ta được  $ ac+bd=-1 $   $ \left(4\right) $ .

Ta có  $ \left|2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|= $  $ \sqrt{{{\left(2a-c\right)}^{2}}+{{\left(2b-d\right)}^{2}}} $   $ =\sqrt{4\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\right)+\left({{c}^{2}}+{{d}^{2}}\right)-4\left(ac+bd\right)} $   $ \left(5\right) $ .

Thay  $ \left(1\right) $ , $ \left(2\right) $ , $ \left(4\right) $  vào  $ \left(5\right) $  ta có  $ \left|2{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=2\sqrt{6} $ .

Câu 36. Số các số phức  $ z $  thỏa  $ \left|z+1-2i\right|=\left|\overline{z}+3+4i\right| $  và  $ \dfrac{z-2i}{\overline{z+i}} $  là một số thuần ảo là

A. 0.       B. 1.       C. 2.       D. 3.

Lời giải:

Đặt  $ z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R}) $

Theo bài ra ta có $ \begin{align}&\left|x+1+\left(y-2\right)i\right|=\left|x+3+\left(4-y\right)i\right|\\ &\Leftrightarrow  {{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}={{\left(x+3\right)}^{2}}+{{\left(y-4\right)}^{2}}\Leftrightarrow  y=x+5\end{align} $

Số phức  $  {w}=\dfrac{z-2i}{\overline{z}+i}=\dfrac{x+\left(y-2\right)i}{x+\left(1-y\right)i}=\dfrac{{{x}^{2}}-\left(y-2\right)\left(y-1\right)+x\left(2y-3\right)i}{{{x}^{2}}+{{\left(y-1\right)}^{2}}} $

 $ w $  là một số ảo khi và chỉ khi  $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)=0 \\  & {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}>0 \\  & y=x+5 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{12}{7} \\  & y=\frac{23}{7} \\ \end{align} \right.$

Vậy  $ z=-\dfrac{12}{7}+\dfrac{23}{7}i $ .Vậy chỉ có  1  số phức  $ z $  thỏa mãn.

Câu 37. Cho số phức  $ z=a+bi $   $ \left(a,\,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z-3\right|=\left|z-1\right| $  và  $ \left(z+2\right)\left(\overline{z}-i\right) $  là số thực. Tổng  $ a+b $  bằng

A. $ -2 $ .       B. 0.       C. 2.       D. 4.

Lời giải:

Ta có  $ z=a+bi\, $  $ \left(a,\,b\in \mathbb{R}\right) $ .

+)  $ \left|z-3\right|=\left|z-1\right| $  $ \Leftrightarrow  \left|a-3+bi\right|=\left|a-1+bi\right| $  $ \Leftrightarrow  \sqrt{{{\left(a-3\right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left(a-1\right)}^{2}}+{{b}^{2}}} $  $ \Leftrightarrow  {{\left(a-3\right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left(a-1\right)}^{2}}+{{b}^{2}} $  $ \Leftrightarrow  -4a+8=0 $  $ \Leftrightarrow  a=2 $ .

+)  $ \left(z+2\right)\left(\overline{z}-i\right)=\left(a+bi+2\right)\left(a-bi-i\right)=\left[\left(a+2\right)+bi\right]\left[a-\left(b+1\right)i\right] $   $ =a\left(a+2\right)+b\left(b+1\right)-\left(a+2b+2\right)i $ .

 $ \left(z+2\right)\left(\overline{z}-i\right) $  là số thực  $ \Leftrightarrow  a+2b+2=0 $ .

Thay  $ a=2 $  tìm được  $ b=-2 $ . Vậy  $ a+b=0 $ .

Câu 38. Gọi  $ S $  là tập hợp các số thực  $ m $  sao cho với mỗi  $ m\in S $  có đúng một số phức thỏa mãn  $ \left|z-m\right|=6 $  và  $ \dfrac{z}{z-4} $  là số thuần ảo. Tổng của các phần tử của tập  $ S $  bằng

A. 10.       B.  0.       C.  16.       D.  8.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi  $ z=x+iy $  với  $ x,y\in \mathbb{R} $  ta có  $ \dfrac{z}{z-4}=\dfrac{x+iy}{x-4+iy}=\dfrac{\left(x+iy\right)\left(x-4-iy\right)}{{{\left(x-4\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{x\left(x-4\right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left(x-4\right)}^{2}}+{{y}^{2}}} $  là số thuần ảo khi  $ x\left(x-4\right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow  {{\left(x-2\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 $

Mà  $ \left|z-m\right|=6\Leftrightarrow  {{\left(x-m\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36 $

Ta được hệ phương trình  $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36 \\ & {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left( 4-2m \right)x=36-{{m}^{2}} \\ & {{y}^{2}}=4-{{\left( x-2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m} \\ & {{y}^{2}}=4-{{\left( \frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$

Ycbt  $ \Leftrightarrow  4-{{\left(\dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2\right)}^{2}}=0 $  $ \Leftrightarrow  2=\dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 $  hoặc  $ -2=\dfrac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 $

 $ \Leftrightarrow  m=10 $  hoặc  $ m=-2 $  hoặc  $ m=\pm 6 $

Vậy tổng là  $ 10-2+6-6=8 $ .

Câu 39. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ z-4=\left(1+i\right)\left|z\right|-\left(4+3z\right)i $ . Môđun của số phức  $ z $  bằng

A. 1.       B. 2.       C. 4.       D. 16.

Lời giải:

Giả sử  $ z=a+bi\left(a,\,b\in \mathbb{R}\right) $ .

Ta có:  $ z-4=\left(1+i\right)\left|z\right|-\left(4+3z\right)i $  $ \Leftrightarrow  z\left(1+3i\right)-4+4i=\left(1+i\right)\left|z\right| $  $ \Leftrightarrow  \left(a+bi\right)\left(1+3i\right)-4+4i=\left(1+i\right)\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} $  $ \Leftrightarrow  a-3b-4+\left(3a+b+4\right)i=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i $

 $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&a-3b-4=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\\ &3a+b+4=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\end{align}\right. $   $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&a-3b-4=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\\ &a=-2b-4\end{align}\right. $   $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&-5b-8=\sqrt{5{{b}^{2}}+16b+16}\\ &a=-2b-4\end{align}\right. $  $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&-5b-8\ge0\\ &20{{b}^{2}}+64b+48=0\\ &a=-2b-4\end{align}\right. $ $ \Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&b=-2\\ &a=0\end{align}\right. $ .

Vậy  $ \left|z\right|=2 $ .

Câu 40. Cho hai số phức  $ {{z}_{1}}\,\,,\,\,{{z}_{2}} $  thoả mãn:  $ \left|{{z}_{1}}\right|=2\sqrt{3} $ ,  $ \,\left|{{z}_{2}}\right|=3\sqrt{2} $ . Giá trị biểu thức  $ P={{\left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|}^{2}}+{{\left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right|}^{2}} $  bằng

A. 60.       B. $ P=20\sqrt{3} $ .       C.  $ P=30\sqrt{2} $ .       D. 50.

Lời giải:

Đặt  $ {{z}_{1}}\,=a+bi\,,\,\,{{z}_{2}}=c+di\,\,\left(a,b,c,d\in \mathbb{R}\right) $

Theo đề $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{1}} \right|=2\sqrt{3} \\ & \left| {{z}_{2}} \right|=3\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=12 \\ & {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=18 \\ \end{align} \right.$

Vậy $P={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}$ $={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)=60$.

Câu 41. Gọi  $ S $  là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số  $ m $  để tồn tại duy nhất số phức  $ z $  thỏa mãn  $ z.\overline{z}=1 $  và  $ \left|z-\sqrt{3}+i\right|=m $ . Số phần tử của  $ S $  bằng

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Gọi  $ z=x+yi\,,\,(x,y\in \mathbb{R}) $ , ta có hệ  $ \left\{\begin{align}&{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 {}(1)\\ &{{\left(x-\sqrt{3}\right)}^{2}}+{{\left(y+1\right)}^{2}}={{m}^{2}} {}(m\ge0)\end{align}\right. $

Ta thấy  $ m=0\Rightarrow z=\sqrt{3}-i $  không thỏa mãn  $ z.\overline{z}=1 $  suy ra  $ m>0 $ .

Xét trong hệ tọa độ  $ Oxy $  tập hợp các điểm thỏa mãn  $ \left(1\right) $  là đường tròn  $ ({{C}_{1}}) $  có  $ O(0;0),{{R}_{1}}=1 $ , tập hợp các điểm thỏa mãn  $ \left(2\right) $  là đường tròn  $ ({{C}_{2}}) $  tâm  $ I\left(\sqrt{3};-1\right),{{R}_{2}}=m $ , ta thấy  $ OI=2>{{R}_{1}} $  suy ra  $ I $  nằm ngoài  $ ({{C}_{1}}) $ .

Để có duy nhất số phức  $ z $  thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với  $ ({{C}_{1}}),({{C}_{2}}) $  tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi  $ OI={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow  m+1=2\Leftrightarrow  m=1 $  hoặc  $ {{R}_{2}}={{R}_{1}}+OI\Leftrightarrow  m=1+2=3 $

Câu 42. Xét các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left(\bar{z}+2i\right)\left(z-2\right) $  là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức  $ z $  là một đường tròn có bán kính bằng

A. $ 2\sqrt{2} $ .       B. 4.       C.  $ \sqrt{2} $ .       D. 2.

Lời giải:

Giả sử  $ z=x+yi $  với  $ x,y\in \mathbb{R} $ .

Vì  $ \left(\bar{z}+2i\right)\left(z-2\right)=\left[x+\left(2-y\right)i\right]\left[\left(x-2\right)+yi\right]= $  $ \left[x\left(x-2\right)-y\left(2-y\right)\right]+\left[xy+\left(x-2\right)\left(2-y\right)\right]i $  là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó  $ x\left(x-2\right)-y\left(2-y\right)=0 $   $ \Leftrightarrow  {{\left(x-1\right)}^{2}}+{{\left(y-1\right)}^{2}}=2 $ . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  $ z $  là một đường tròn có bán kính bằng  $ \sqrt{2} $ .

Câu 43. Xét các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left(z+2i\right)\left(\overline{z}+2\right) $  là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của  $ z $  là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. $ \left(1;1\right) $ .       B.  $ \left(-1;1\right) $ .       C.  $ \left(-1;-1\right) $ .       D.  $ \left(1;-1\right) $ .

Lời giải:

Gọi  $ z=x+yi $   $ \Rightarrow \overline{z}=x-yi $

 $ \left(z+2i\right)\left(\overline{z}+2\right) $   $ =z.\overline{z}+2z+2i\overline{z}+4i $   $ ={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left(x+yi\right)+2i\left(x-yi\right)+4i $   $ ={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y+\left(2x+2y+4\right)i $

 $ \left(z+2i\right)\left(\overline{z}+2\right) $  là số thuần ảo  $ \Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=0 $

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của  $ z $  là một đường tròn có tâm là  $ I\left(-1;-1\right) $ .

Câu 44. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z\right|=\sqrt{2} $ . Trên mặt phẳng tọa độ  $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn các số phức  $ w=\dfrac{4+iz}{1+z} $  là một đường tròn có bán kính bằng

A. $ \sqrt{26} $ .       B.  $ \sqrt{34} $ .       C. 26.       D. 34.

Lời giải:

 $ w=\dfrac{4+iz}{1+z}\Leftrightarrow  \left(1+z\right)w=4+iz $  $ \Leftrightarrow  z\left(w-i\right)=4-w $

 $ \Leftrightarrow  \left|z\right|.\left|w-i\right|=\left|4-w\right| $  $ \Leftrightarrow  \sqrt{2}.\left|w-i\right|=\left|4-w\right| $

Gọi  $ w=x+yi,\,\,\,\left(x,\,y\in \mathbb{R}\right) $  khi đó thay vào ta có:

 $ \sqrt{2}.\left|x+yi-i\right|=\left|4-x-yi\right| $  $ \Leftrightarrow  2\left[{{x}^{2}}+{{\left(y-1\right)}^{2}}\right]={{\left(x-4\right)}^{2}}+{{y}^{2}} $

 $ \Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-4y-14=0\Leftrightarrow  {{\left(x+4\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}=34 $ .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức  $ w=\dfrac{4+iz}{1+z} $  là một đường tròn có bán kính bằng  $ \sqrt{34} $ .

Câu 45. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z\right|=\sqrt{2} $ . Trên mặt phẳng tọa độ  $ Oxy $, tập hợp điểm biểu diễn các số phức  $ w=\dfrac{3+iz}{1+z} $  là một đường tròn có bán kính bằng

A. $ 2\sqrt{5} $ .       B.  20 .       C.  12 .       D.  $ 2\sqrt{3} $ .

Lời giải:

Ta có:  $ w=\dfrac{3+iz}{1+z}\Leftrightarrow  w+wz=3+iz\Leftrightarrow  w-3=\left(i-w\right)z $ .

 $ \Rightarrow \left|w-3\right|=\left|\left(i-w\right)z\right|\Leftrightarrow  \left|w-3\right|=\left|\left(i-w\right)\right|\left|z\right| $ .

Gọi  $ w=x+yi,\,\,\,\left(x,\,y\,\in \mathbb{R}\right) $ .

Do đó  $ \left|w-3\right|=\left|\left(i-w\right)\right|\left|z\right|\Leftrightarrow  \sqrt{{{\left(x-3\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left(1-y\right)}^{2}}}.\sqrt{2} $

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{\left(1-y\right)}^{2}}\Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-4y-7=0 $ .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ w $  thỏa mãn  $ \left|z\right|=\sqrt{2} $  là đường tròn có tâm  $ I\left(-3\,;\,2\right) $  và bán kính bằng  $ 2\sqrt{5} $ .

Câu 45. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z\right|=2 $ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức  $  {w}=3-2i+\left(2-i\right)z $  là một đường tròn. Tọa độ tâm  $ I $  của đường tròn đó là

A. $ I\left(3\,;\,-2\right) $ .       B.  $ I\left(-3\,;\,2\right) $ .       C.  $ I\left(3\,;\,2\right) $ .       D.  $ I\left(-3\,;\,-2\right) $ .

Lời giải:

Cách 1.

Đặt  $  {w}=x+yi $ . Ta có  $  {w}=3-2i+\left(2-i\right)z $ .

$ \Leftrightarrow  x+yi=3-2i+\left(2-i\right)z $ .

$ \Leftrightarrow  \left(2-i\right)z=\left(x-3\right)+\left(y+2\right)i $ .

$ \Leftrightarrow  \left(4-{{i}^{2}}\right)z=\left[\left(x-3\right)+\left(y+2\right)i\right].\left(2+i\right) $ .

$ \Leftrightarrow  z=\dfrac{2x-y-8}{5}+\dfrac{x+2y+1}{5}i $ .

Vì  $ \left|z\right|=2 $  nên  $ {{\left(\dfrac{2x-y-8}{5}\right)}^{2}}+{{\left(\dfrac{x+2y+1}{5}\right)}^{2}}=4 $ .

$ \Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20 $ .

$ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}=20 $ .

Vây tập hợp biểu diễn số phức  $  {w} $  là đường tròn tâm  $ I\left(3\,;\,-2\right) $.

Cách 2.

Đặt  $ z=a+bi; {w}=x+yi $ .

Vì  $ \left|z\right|=2 $  nên  $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 $ .

Ta có  $  {w}=3-2i+\left(2-i\right)z $ .

 $ \Leftrightarrow  x+yi+2i-3=\left(2-i\right)\left(a+bi\right) $ .

 $ \Leftrightarrow  \left(x-3\right)+\left(y+2\right)i=\left(2a+b\right)+\left(2b-a\right)i $ .

 $ \Rightarrow {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}={{\left(2a+b\right)}^{2}}+{{\left(2b-a\right)}^{2}} $ .

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}=5\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\right) $ .

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}=20 $ .

Vây tập hợp biểu diễn số phức  $  {w} $  là đường tròn tâm  $ I\left(3\,;\,-2\right) $ .

Câu 46. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-2-4i\right|=\sqrt{5} $ . Gọi  $ a $  và  $ b $  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  $ \left|z\right| $ . Giá trị biểu thức  $ {{a}^{2}}-{{b}^{2}} $  bằng

A. 40.       B. $ 4\sqrt{5} $ .       . 20.       D.  $ 2\sqrt{5} $ .

Lời giải:

Gọi  $ M\left(x\,;\,y\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ z=x+yi $  với  $ x\,,\,y\in \mathbb{R} $ .

Ta có  $ \left|z-2-4i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow  {{\left(x-2\right)}^{2}}+{{\left(y-4\right)}^{2}}=5 $  $ \Rightarrow  $  tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $  là một đường tròn có tâm  $ I\left(2\,;\,4\right) $  và bán kính  $ R=\sqrt{5} $ .

Kẻ đường thẳng đi qua  2  điểm  $ O $  và  $ I $  cắt đường tròn tại  2  điểm  $ M $  và  $ N $  (HS tự vẽ hình tham khảo).

 $ OI=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5} $ ;  $ IM=IN=R=\sqrt{5} $ .

Từ hình vẽ ta thấy:

 $ {{\left|z\right|}_{\min}}=OM=OI-IM=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}=b $ .

 $ {{\left|z\right|}_{\max}}=ON=OI+IN=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}=a $ .

Vậy  $ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=40 $ .

Câu 47. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z+1-3i\right|=2 $ . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ w=\left(2-i\right)z-3i+5 $  là một đường tròn. Tọa độ tâm  $ I $  và bán kính của đường tròn trên là

A. $ I\left(-6;\,-4\right),\,R=2\sqrt{5} $ .       B.  $ I\left(6;\,4\right),\,R=10 $ .       C.  $ I\left(6;\,4\right),\,R=2\sqrt{5} $ .       D.  $ I\left(-6;\,4\right),\,R=2\sqrt{5} $ .

Lời giải:

Ta có:  $ w=\left(2-i\right)z-3i+5\Leftrightarrow  w=\left(2-i\right)\left(z+1-3i\right)+6+4i $

 $ \Leftrightarrow  w-6-4i=\left(2-i\right)\left(z+1-3i\right) $

 $ \Rightarrow \left|w-6-4i\right|=\left|\left(2-i\right)\left(z+1-3i\right)\right|=2\sqrt{5} $

Gọi  $ M\left(x;\,y\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ w=x+yi\,\,\left(x;\,y\in \mathbb{R}\right) $

 $ \left|w-6-4i\right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow  \left|\left(x-6\right)+\left(y-4\right)i\right|=2\sqrt{5} $

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-6\right)}^{2}}+{{\left(y-4\right)}^{2}}={{\left(2\sqrt{5}\right)}^{2}} $

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số  $ w $  là đường tròn tâm  $ I\left(6;\,4\right) $ , bán kính  $ R=2\sqrt{5} $.

Câu 48. Cho  $ {{z}_{1}} $ ,  $ {{z}_{2}} $  là hai trong các số phức  $z$  thỏa mãn điều kiện  $ \left|z-5-3i\right|=5 $ , đồng thời  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=8 $ . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  $ w={{z}_{1}}+{{z}_{2}} $  trong mặt phẳng tọa độ  $ Oxy $  là đường tròn có phương trình là

A. $ {{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)}^{2}}+{{\left(y-\dfrac{3}{2}\right)}^{2}}=\dfrac{9}{4} $ .       B. $ {{\left(x-10\right)}^{2}}+{{\left(y-6\right)}^{2}}=36 $ .       C.  $ {{\left(x-10\right)}^{2}}+{{\left(y-6\right)}^{2}}=16 $ .       D.  $ {{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)}^{2}}+{{\left(y-\dfrac{3}{2}\right)}^{2}}=9 $ .

Lời giải:

Gọi  $ A $ ,  $ B $ ,  $ M $  là các điểm biểu diễn của  $ {{z}_{1}} $ ,  $ {{z}_{2}} $ ,  $ w $ . Khi đó  $ A $ ,  $ B $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right):{{\left(x-5\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}=25 $  và  $ AB=\left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=8 $ .

 $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(5;3\right) $  và bán kính  $ R=5 $ , gọi  $ T $  là trung điểm của  $ AB $  khi đó  $ T $  là trung điểm của  $ OM $  và  $ IT=\sqrt{I{{A}^{2}}-T{{A}^{2}}}=3 $ .

Gọi  $ J $  là điểm đối xứng của  $ O $  qua  $ I $  suy ra  $ J\left(10;6\right) $  và  $ IT $  là đường trung bình của tam giác  $ OJM $ , do đó  $ JM=2IT=6 $ .

Vậy  $ M $  thuộc đường tròn tâm  $ J $  bán kính bằng  $ 6 $  và có phương trình  $ {{\left(x-10\right)}^{2}}+{{\left(y-6\right)}^{2}}=36 $ .

Câu 49. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-3i+4\right|=3 $ , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức  $ w=(12-5i)\overline{z}+4i $  là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó bằng

A. 39.       B. 17.       C. 13.       D. 3.

Lời giải:

Gọi số phức  $ w=x+yi, $ với  $ x,y\in R $ , biểu diễn bởi  $ M(x;y) $

 $ w=(12-5i)\overline{z}+4i $  $ \Leftrightarrow  x+yi=(12-5i)\overline{z}+4i $  $ \Leftrightarrow  \overline{z}=\dfrac{x+(y-4)i}{12-5i} $

 $ \Rightarrow z=\dfrac{x-(y-4)i}{12+5i} $

Ta có  $ \left|z-3i+4\right|=3 $  $ \Leftrightarrow  \left|\dfrac{x-(y-4)i}{12+5i}-3i+4\right|=3 $

 $ \Leftrightarrow  \left|\dfrac{x+63-(y+12)i}{12+5i}\right|=3 $  $ \Leftrightarrow  \dfrac{\sqrt{{{(x+63)}^{2}}+{{(y+12)}^{2}}}}{\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}}=3 $  $ \Leftrightarrow  {{(x+63)}^{2}}+{{(y+12)}^{2}}={{39}^{2}} $

Vậy  $ r=39 $ .

Câu 50. Cho số phức  $ z $  thảo mãn  $ \left(z+1-3i\right)\left(\bar{z}+1+3i\right)=25 $ . Biết tập hợp biểu diễn số phức  $ z $  là một đường tròn có tâm  $ I\left(a\,;b\right) $  và bán kính  $ c $ . Tổng  $ a+b+c $  bằng

A. 2.       B. 3.       C. 7.       D. 9.

Lời giải:

Ta có  $ \left(z+1-3i\right)\left(\bar{z}+1+3i\right)=25 $   $ \Leftrightarrow  z.\bar{z}+\left(z+\bar{z}\right)+\left(z-\bar{z}\right)3i=15 $   $ \left(*\right) $ .

Đặt  $ z=x+yi $ ,  $ \left(x,y\in \mathbb{R}\right) $  khi đó  $ \left\{\begin{align}&z.\bar{z}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\\ &z+\bar{z}=2x\\ &z-\bar{z}=2yi\end{align}\right. $ .

Thay vào  $ \left(*\right) $  ta được  $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y-15=0 $ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn  $ z $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(-1\,;3\right) $  và bán kính  $ R=5 $ .

Suy ra  $ \left\{\begin{align}&a=-1\\ &b=3\\ &c=5\end{align}\right. $ . Vậy  $ a+b+c=7 $ .

Cách 2:

Đặt  $ {{z}_{0}}=-1+3i $  và  $ R=5 $ .

Ta có  $ \left|z-{{z}_{0}}\right|\left|\bar{z}-{{{\bar{z}}}_{0}}\right|=\left|z-{{z}_{0}}\right|\left|\overline{z-{{z}_{0}}}\right|={{\left|z-{{z}_{0}}\right|}^{2}} $ .

Suy ra  $ \left|z-{{z}_{0}}\right|\left|\bar{z}-{{{\bar{z}}}_{0}}\right|={{R}^{2}}\Leftrightarrow  {{\left|z-{{z}_{0}}\right|}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow  \left|z-{{z}_{0}}\right|=R $ , với  $ R>0 $ .

Vậy tập hợp biểu diễn số phức  $ z $  thuộc đường tròn tâm  $ I\left(-1\,;3\right) $ , bán kính  $ R=5 $ .

Suy ra  $ \left\{\begin{align}&a=-1\\ &b=3\\ &c=5\end{align}\right. $ . Vậy  $ a+b+c=7 $ .

Câu 51. Xét số phức  $ z=a+bi $   $ \left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z-4-3i\right|=\sqrt{5} $ . Khi  $ \left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right| $  đạt giá trị lớn nhất, thì tổng  $ a+b $  bằng

A. 4.       B. 6.       C. 8.       D. 10.

Lời giải

Goi  $ M\left(a;b\right) $  là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có:  $ \left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow  {{\left(a-4\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}=5 $  $ \Rightarrow  $  Tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $  là đường tròn tâm  $ I\left(4;3\right) $  bán kính  $ R=\sqrt{5} $

Gọi:  $ \left\{\begin{align}&A\left(-1;3\right)\\ &B\left(1;-1\right)\end{align}\right.\Rightarrow Q=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=MA+MB $

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, kéo dài $EI$ cắt đường tròn tại $D$

Ta có  $ {{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB $

 $ \Leftrightarrow  {{Q}^{2}}\le M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2\left(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\right) $

Vì  $ ME $ là trung tuyến trong  $ \Delta MAB $  $ \Rightarrow M{{E}^{2}}=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{E}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} $  $ \Rightarrow {{Q}^{2}}\le2\left(2M{{E}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}\right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}} $ . Mặt khác  $ ME\le DE=EI+ID=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} $

 $ \Rightarrow {{Q}^{2}}\le4.{{\left(3\sqrt{5}\right)}^{2}}+20=200 $ 

$\Rightarrow Q\le 10\sqrt{2}$ $\Rightarrow {{Q}_{max}}=10\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& MA=MB \\ & M\equiv D \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{EI}=2\overrightarrow{ID}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4=2({{x}_{D}}-4) \\ & 2=2({{y}_{D}}-3) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}=6 \\ & {{y}_{D}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow M\left( 6;4 \right)$ $\Rightarrow P=a+b=10$

Cách 2: Đặt $ z=a+bi. $  Theo giả thiết ta có:  $ {{\left(a-4\right)}^{2}}+{{\left(b-5\right)}^{2}}=5. $

Đặt  $ \left\{\begin{align}&a-4=\sqrt{5}\sin t\\ &b-3=\sqrt{5}\cos t\end{align}\right. $.

Khi đó $ Q=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\sqrt{{{\left(a+1\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left(a-1\right)}^{2}}+{{\left(b+1\right)}^{2}}} $

 $ =\sqrt{{{\left(\sqrt{5}\sin t+5\right)}^{2}}+5{{\cos }^{2}}t}+\sqrt{{{\left(\sqrt{5}\sin t+3\right)}^{2}}+{{\left(\sqrt{5}\cos t+4\right)}^{2}}} $

 $ =\sqrt{30+10\sqrt{5}\sin t}+\sqrt{30+2\sqrt{5}\left(3\sin t+4\cos t\right)} $

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

 $ Q\le\sqrt{2\left(60+8\sqrt{5}\left(2\sin t+\cos t\right)\right)}\le\sqrt{2\left(60+8\sqrt{5}.\sqrt{5}\right)}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} $

 $ \Rightarrow Q\le10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{max}}=10\sqrt{2} $

Dấu bằng xảy ra khi  $\left\{ \begin{align}& \sin t=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ & \cos t=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow P=a+b=10.$

Câu 52. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-2-2i\right|=1 $ . Số phức  $ z-i $  có môđun nhỏ nhất là

A. $ \sqrt{5}-2 $ .       B.  $ \sqrt{5}-1 $ .       C.  $ \sqrt{5}+1 $ .       D.  $ \sqrt{5}+2 $ .

Lời giải:

Cách 1:

Đặt  $ w=z-i\Rightarrow z=w+i $ .

Gọi  $ M\left(x;y\right) $  là điểm biểu diễn hình học của số phức  $ w. $

Từ giả thiết  $ \left|z-2-2i\right|=1 $  ta được:

 $ \left|w+i-2-2i\right|=1 $  $ \Leftrightarrow  \left|w-2-i\right|=1 $  $ \Leftrightarrow  \left|\left(x-2\right)+\left(y-1\right)i\right|=1 $  $ \Leftrightarrow  {{\left(x-2\right)}^{2}}+{{\left(y-1\right)}^{2}}=1 $ .

Suy ra tập hợp những điểm  $ M\left(x;y\right) $  biểu diễn cho số phức  $ w $  là đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(2;1\right) $  bán kính  $ R=1 $ .

Giả sử  $ OI $  cắt đường tròn  $ \left(C\right) $  tại hai điểm  $ A,B $  với  $ A $  nằm trong đoạn thẳng  $ OI $ .

Ta có  $ \left|w\right|=OM $

Mà  $ OM+MI\ge OI $   $ \Leftrightarrow  OM+MI\ge OA+AI $   $ \Leftrightarrow  OM\ge OA $

Nên  $ \left|w\right| $  nhỏ nhất bằng  $ OA=OI-IA=\sqrt{5}-1 $  khi  $ M\equiv A. $

Cách 2:

Từ  $ \left|z-2-2i\right|=1 $  $ \Rightarrow {{\left(a-2\right)}^{2}}+{{\left(b-2\right)}^{2}}=1 $  với  $ z=a+bi\,\,\left(a,b\in \mathbb{R}\right) $

 $ a-2=\sin x; {}b-2=\cos x $   $ \Rightarrow a=2+\sin x, {}b=2+\cos x $

Khi đó:  $ \left|z-i\right|=\left|2+\sin x+\left(2+\cos x\right)i-i\right| $   $ =\sqrt{{{\left(2+\sin x\right)}^{2}}+{{\left(1+\cos x\right)}^{2}}} $  $ =\sqrt{6+\left(4\sin x+2\cos x\right)} $

 $ \ge\sqrt{6-\sqrt{\left({{4}^{2}}+{{2}^{2}}\right)\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x\right)}} $   $ =\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^{2}}}=\sqrt{5}-1 $

Nên  $ \left|z-i\right| $  nhỏ nhất bằng  $ \sqrt{5}-1 $  khi  $ \left\{\begin{align}&4\cos x=2\sin x\\ &4\sin x+2\cos x=-2\sqrt{5}\end{align}\right. $   $ \Rightarrow \left\{\begin{align}&\sin x=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ &\cos x=\dfrac{-\sqrt{5}}{5}\end{align}\right. $

Ta được  $ z=\left(2-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)+\left(2-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)i $

Cách 3:

Sử dụng bất đẳng thức  $ \left|\left|{{z}_{1}}\right|-\left|{{z}_{2}}\right|\right|\le\left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right|\le\left|{{z}_{1}}\right|+\left|{{z}_{2}}\right| $

 $ \left|z-i\right|=\left|\left(z-2-2i\right)+\left(2+i\right)\right|\ge\left|\left|z-2-2i\right|-\left|2+i\right|\right|=\sqrt{5}-1 $

Câu 53. Xét tất cả các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-3i+4\right|=1 $ . Giá trị nhỏ nhất của  $ \left|{{z}^{2}}+7-24i\right| $  nằm trong khoảng nào?

A. $ \left(0;1009\right) $.       B.  $ \left(1009;2018\right) $.       C.  $ \left(2018;4036\right)$.       D.  $ \left(4036;+\infty \right) $.

Lời giải:

Ta có  $ 1=\left|z-3i+4\right|\ge\left|\left|z\right|-\left|3i-4\right|\right|=\left|\left|z\right|-5\right|\Rightarrow -1\le\left|z\right|-5\le1\Rightarrow 4\le\left|z\right|\le6 $ .

Đặt  $ {{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left|{{z}_{0}}\right|=5,{{z}_{0}}^{2}=7-24i $ .

Ta có  $ A={{\left|{{z}^{2}}+7-24i\right|}^{2}}={{\left|{{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2}\right|}^{2}}=\left({{z}^{2}}+{{z}_{o}}^{2}\right)\left({{\overline{z}}^{2}}+{{\overline{{{z}_{o}}}}^{2}}\right) $  $ ={{\left|z\right|}^{4}}+{{\left|{{z}_{o}}\right|}^{4}}+{{\left(z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z}\right)}^{2}}-2{{\left|z.{{z}_{o}}\right|}^{2}} $

Mà  $ \left(z+{{z}_{o}}\right)\left(\overline{z}+\overline{{{z}_{o}}}\right)=1\Rightarrow z.\overline{{{z}_{o}}}+{{z}_{o}}.\overline{z}=1-{{\left|z\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{o}}\right|}^{2}} $

Suy ra  $ A={{\left|z\right|}^{4}}+{{\left|{{z}_{o}}\right|}^{4}}+{{\left(1-{{\left|z\right|}^{2}}-{{\left|\overline{{{z}_{o}}}\right|}^{2}}\right)}^{2}}-2{{\left|z.{{z}_{o}}\right|}^{2}}=2{{\left|z\right|}^{4}}-2{{\left|z\right|}^{2}}+1201 $ .

Hàm số  $ y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201 $  đồng biến trên  $ \left[4;6\right] $  nên  $ A\ge{{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681 $ .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  $ \left\{\begin{align}&\left|z\right|=4\\ &\left|z+4-3i\right|=1\end{align}\right. $ .

Do đó  $ \left|{{z}^{2}}+7-24i\right| $  nằm trong khoảng  $ \left(1009;2018\right) $ .

Câu 54. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=4. $  Gọi  $ M,m $  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  $ P=\left|z-2-2i\right|. $  Đặt  $ A=M+m. $  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $ A\in \left(\sqrt{34};6\right) $ .       B.  $ A\in \left(6;\sqrt{42}\right) $ .       C.  $ A\in \left(2\sqrt{7};\sqrt{33}\right) $ .       D.  $ A\in \left[4;3\sqrt{3}\right) $ .

Lời giải:

Đặt  $ z=x+iy $ và gọi  $ M\left(x;y\right) $  là điểm biểu diễn của  $ z=x+iy $

ta có:  $ \left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=4\Leftrightarrow  \left|x\right|+\left|y\right|=2 $

Gọi  $ A\left(2;2\right) $  và  $ P=MA $

* Theo hình vẽ  $ minP=d\left(A,\Delta \right),\, $  với  $ \Delta :x+y=2 $

và  $ minP=\dfrac{\left|2+2-2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} $

 $ maxP=AE=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5},\, $  với  $ E\left(0;-2\right) $

Vậy  $ M+m=\sqrt{2}+2\sqrt{5}\simeq5,88 $

Câu 55. Trong các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}+1-2i\right| $ , số phức  $ z $  có mô đun nhỏ nhất có phần ảo bằng

A. $ \dfrac{3}{10} $ .       B.  $ \dfrac{3}{5} $ .       C.  $ -\dfrac{3}{5} $ .       D.  $ -\dfrac{3}{10} $ .

Lời giải:

Gọi  $ z=x+yi $ ,  $ \left(x\,,\,y\,\,\in \mathbb{R}\right) $  được biểu diễn bởi điểm  $ M\left(x\,;\,y\right) $ .

 $ \left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}+1-2i\right|\Leftrightarrow  \left|\left(x-1\right)+\left(y+1\right)i\right|=\left|\left(x+1\right)-\left(y+2\right)i\right| $

 $ \Leftrightarrow  \sqrt{{{\left(x-1\right)}^{2}}+{{\left(y+1\right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}}\Leftrightarrow  4x+2y+3=0\Leftrightarrow  y=-2x-\dfrac{3}{2} $ .

Cách 1:

$ \left|z\right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left(-2x-\dfrac{3}{2}\right)}^{2}}}=\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left(x+\dfrac{3}{5}\right)}^{2}}+\dfrac{9}{20}}\ge\dfrac{3\sqrt{5}}{10},\forall x $ .

Suy ra  $ min\left|z\right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{10} $  khi  $ x=-\dfrac{3}{5};y=-\dfrac{3}{10} $ .

Vậy phần ảo của số phức  $ z $  có mô đun nhỏ nhất là  $ -\dfrac{3}{10} $ .

Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ  $ Oxy $ , tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $ là đường thẳng  $ d:\,\,4x+2y+3=0 $ .

Ta có  $ \left|z\right|=OM $ .  $ \left|z\right| $  nhỏ nhất  $ \Leftrightarrow  OM $ nhỏ nhất  $ \Leftrightarrow  M $ là hình chiếu của  $ O $  trên  $ d $ .

Phương trình đường thẳng  $ OM $  đi qua  $ O $  và vuông góc với  $ d $  là:  $ x-2y=0 $ .

Tọa độ của  $ M $  là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& 4x+2y+3=0 \\ & x-2y=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\ & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right.$   $\Rightarrow M\left(-\dfrac{3}{5};-\dfrac{3}{10}\right)$ . Hay  $z=-\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10}i$ .

Vậy phần ảo của số phức  $ z $  có mô đun nhỏ nhất là  $ -\dfrac{3}{10} $ .

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $  như sau:

 $ \left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}+1-2i\right|\Leftrightarrow  \left|z-\left(1-i\right)\right|=\left|z-\left(-1-2i\right)\right| $   $ \left(*\right) $

Gọi  $ M $  biểu diễn số phức  $ z $ , điểm  $ A\left(1\,;\,-1\right) $  biểu diễn số phức  $ 1-i $ , điểm  $ B\left(-1\,;\,-2\right) $  biểu diễn số phức  $ -1-2i $ .

Khi đó  $ \left(*\right)\Leftrightarrow  MA=MB $ . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $ là đường trung trực của đoạn thẳng  $ AB $ có phương trình  $ d:\,\,4x+2y+3=0 $ .

Câu 56. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-3-4i\right|=\sqrt{5} $ . Gọi  $ M $  và  $ m $  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P={{\left|z+2\right|}^{2}}-{{\left|z-i\right|}^{2}} $ . Môđun của số phức  $ w=M+mi $  là

A. $ \left|w\right|=3\sqrt{137} $ .       B.  $ \left|w\right|=\sqrt{1258} $ .       C.  $ \left|w\right|=2\sqrt{309} $ .       D.  $ \left|w\right|=2\sqrt{314} $ .

Lời giải:

- Đặt  $ z=x+yi $ , với  $ x,y\in \mathbb{R} $ .

Ta có:  $ \left|z-3-4i\right|=\sqrt{5} $  $ \Leftrightarrow  \left|\left(x-3\right)+\left(y-4\right)i\right|=\sqrt{5} $  $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y-4\right)}^{2}}=5 $ , hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức  $ z $  là đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính  $ r=\sqrt{5} $ .

- Khi đó  $ P={{\left|z+2\right|}^{2}}-{{\left|z-i\right|}^{2}} $  $ ={{\left(x+2\right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left(y-1\right)}^{2}} $  $ =4x+2y+3 $

 $ \Rightarrow 4x+2y+3-P=0 $ , kí hiệu là đường thẳng  $ \Delta  $ .

- Số phức  $ z $  tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  $ \Delta  $  cắt đường tròn  $ \left(C\right) $

 $ \Leftrightarrow  d\left(I;\Delta \right)\le r $  $ \Leftrightarrow  \dfrac{\left|23-P\right|}{2\sqrt{5}}\le\sqrt{5} $  $ \Leftrightarrow  \left|P-23\right|\le10 $  $ \Leftrightarrow  13\le P\le33 $

Suy ra $M=33$ và $m=13$   $\Rightarrow w=33+13i$. Vậy  $\left|w\right|=\sqrt{1258}$

 

Ấn đây vào bài Số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán năm 2023 phần 3

Ấn đây vào bài Số phức Ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2023 phần 2

Ấn đây vào bài Bài toán số phức phát triển đề tham khảo môn toán 2023 câu 35 42 45

 

Nguyễn Quốc Hoàn , 02/3/2023