Số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán năm 2023 phần 3

Câu 1. Giả sử  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  là hai trong các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left(z-6\right)\left(8-i\overline{z}\right) $  là số thực. Biết rằng  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=6 $ . Giá trị nhỏ nhất của  $ \left|{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. $ -5+\sqrt{73} $.       B.  $ 5+\sqrt{21} $.       C.  $ 20-2\sqrt{73} $.       D.  $ 20-4\sqrt{21} $

Lời giải:

Đặt  $ z=x+yi,\left(x,y\in \mathbb{R}\right) $ . Gọi  $ A,B $  lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $ . Suy ra  $ AB=\left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=4 $ .

Ta có:  $ \begin{align}&\left(z-6\right)\left(8-i\overline{z}\right)=\left(x+yi-6\right)\left(8-i\left(x-yi\right)\right)=\left(x+yi-6\right)\left(8-ix-y\right)\\ &=8x-{{x}^{2}}i-xy+8yi+xy-{{y}^{2}}i-48+6xi+6y\end{align} $

Do  $ \left(z-6\right)\left(8-i\overline{z}\right) $  là số thực nên ta được  $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 $ . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của  $ z $  là đường tròn tâm  $ I\left(3;4\right) $  bán kính  $ r=5. $

Xét điểm  $ M $  thuộc đoạn  $ AB $  thỏa  $ \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow  \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM} $ .

Gọi  $ H $  là trung điểm  $ AB $ .

Ta có  $ HA=HB=\dfrac{AB}{2}=3 $  và  $ MA=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{9}{2} $   $ \Rightarrow HM=MA-HA=\dfrac{3}{2} $ .

Từ đó  $ H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=16 $ ,  $ IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2} $ , suy ra điểm  $ M $  thuộc đường tròn  $ \left({{C}'}\right) $  tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính  $ r=\dfrac{\sqrt{73}}{2} $ .

Ta có  $ \left|{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right|=\left|4\overrightarrow{OM}\right|=4OM $ , do đó  $ \left|{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\right| $ nhỏ nhất khi  $ OM $ nhỏ nhất.

Ta có  $ O{{M}_{\min}}=O{{M}_{0}}=\left|OI-r\right|=5-\dfrac{\sqrt{73}}{2} $ .

Vậy  $ {{\left|{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\right|}_{\min}}=4O{{M}_{0}}=20-2\sqrt{73} $ .

Câu 2. Xét các số phức  $ z,w $  thỏa mãn  $ \left|z\right|=\left|w\right|=\left|z+w\right|=1 $ . Giá trị lớn nhất của  $ \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right| $  bằng

A. $ \sqrt{7} $ .       B.  $ 1+\sqrt{7} $ .       C.  $ 2\sqrt{7} $ .       D.  $ 2+\sqrt{7} $ .

Lời giải:

Gọi  $ A,B,C $  lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức  $ z,\,\,w,\,\,z+w $ .

Theo giả thiết  $ \left|z\right|=\left|w\right|=\left|z+w\right|=1 $   $ \Rightarrow OACB $  là hình thoi và  $ OA=OB=OC=1 $   $ \Rightarrow (\overrightarrow{OA\,}\,,\,\overrightarrow{OB}\,)={{120}^{o}} $ .

Gọi  $ D $  là điểm biểu diễn cho số phức  $ u=\left(1+\sqrt{3}i\right)w $ . Khi đó  $ \left|u\right|=\left|\left(1+\sqrt{3}i\right)w\right|=2.1=2 $   $ \Rightarrow (\overrightarrow{OB\,},\overrightarrow{OD}\,)={{60}^{o}} $ . Do đó  $ D $  là ảnh của  $ B $  qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp với hai phép: phép quay tâm  $ O $  góc quay  $ {{60}^{0}} $  và phép vị tự tâm  $ O $  tỉ số 2.

Ta có:  $ \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right|\le\left|z+(1+\sqrt{3}i)w\right|+\left|\sqrt{3}-2i\right| $

Xét hai trường hợp:

TH1: Góc lượng giác giữa  $ (OA\,,OB)={{120}^{o}} $ . Với  $ A $  là điểm bất kỳ trên  $ \left(O;1\right) $ , ta có:

Khi đó  $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD} $  là hai vectơ ngược hướng.

 $ \Rightarrow \left|z+(1+\sqrt{3}i)w\right| $ = $ \left|\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right|=1 $ .

 $ \Rightarrow \left(*\right)\Leftrightarrow  \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right|\le1+\sqrt{7} $ .

TH2: Góc lượng giác giữa  $ (OA,OB)=-{{120}^{0}} $ . Với  $ A $  là điểm bất kỳ trên  $ \left(O;1\right) $ , ta có:

Khi đó Tia  $ OD $  là phân giác của  $ \widehat{AOB} $ .

 $ \Rightarrow \left|z+(1+\sqrt{3}i)w\right| $ = $ \left|\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}-2OA.OD.\cos  {12}{{ {0}}^{o}}}=\sqrt{7} $ .

 $ \Rightarrow \left(*\right)\Leftrightarrow  \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right|\le\sqrt{7}+\sqrt{7} $

 $ \Leftrightarrow  \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right|\le2\sqrt{7} $

Dấu bằng xảy ra khi  $ \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} $ cùng hướng với vectơ  $ \overrightarrow{v}(\sqrt{3};\,-2) $

So sánh hai trường hợp, giá trị lớn nhất của  $ \left|z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i\right| $  bằng  $ 2\sqrt{7} $ .

Câu 3. Xét các số phức  $ z=a+bi,\,\,\left(a,\,\,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z-2+3i\right|=4 $  và  $ \left|z+1-4i\right|+\left|z-9\right| $  đạt giá trị lớn nhất. Khi đó  $ 5a-2b $  bằng

A. 4.       B. 8.       C. 12.       D. 16.

Lời giải:

Đặt  $ {{z}_{1}}=-1+4i,\,\,{{z}_{2}}=9 $ .

Gọi  $ M,\,\,B,\,\,C $  lần lượt là điểm biểu diễn các số phức  $ z,\,\,{{z}_{1}} $  và  $ {{z}_{2}} $ .

Khi đó  $ M\left(a;b\right),\,\,B\left(-1;4\right) $  và  $ C\left(9;0\right) $ .

Gọi  $ H $  là trung điểm  $ BC $  thì  $ H\left(4;2\right) $ .

Ta có  $ \left|z-2+3i\right|=4\Leftrightarrow  {{\left(a-2\right)}^{2}}+{{\left(b+3\right)}^{2}}=16 $  nên  $ M $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  tâm  $ I\left(2;-3\right) $ , bán kính  $ R=4 $ .

Dễ thấy  $ IB>R,\,\,IC>R $  nên hai điểm  $ B,\,\,C $  đều nằm ngoài đường tròn  $ \left(C\right) $ .

Do  $ \overrightarrow{IH}=\left(2;5\right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left(10;-4\right) $  nên  $ \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0 $

Suy ra  $ I $  thuộc trung trực  $ BC $ .

Do đó, nếu  $ IH $  cắt  $ \left(C\right) $  tại điểm  $ M $  sao cho  $ I $  nằm giữa  $ M $  và  $ H $  thì  $ MB+MC $  lớn nhất.

Vì với mọi điểm  $ N $  khác  $ M $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  thì

 $ NB+NC\le\sqrt{2\left(N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}}\right)}=\sqrt{2\left(2N{{H}^{2}}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{2}\right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}} $ .

Chú ý rằng  $ MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left(\dfrac{BC}{2}\right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}} $  nên  $ MB+MC>NB+NC $ .

Vậy điểm  $ M $  thỏa mãn  $ \overrightarrow{IM}=-\dfrac{R}{IH}.\overrightarrow{IH} $

trong đó  $ \overrightarrow{IM}=\left(a-2;b+3\right),\,\,\overrightarrow{IH}=\left(2;5\right),\,\,R=4,\,\,IH=\sqrt{29} $ .

Do đó tương với 

Do đó tương với $\left\{ \begin{align} & a-2=\frac{-4}{\sqrt{29}}.2 \\ & b+3=\frac{-4}{\sqrt{29}}.5 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 5a=10-\frac{40}{\sqrt{29}} \\ & 2b=-6-\frac{40}{\sqrt{29}} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 5a-2b=16$ .

Vậy  $ 5a-2b=16 $ .

Câu 4. Cho các số phức  $ z $  và  $ w $  thỏa mãn  $ \left|z-4\right|=1 $  và  $ \left|iw-2\right|=1 $ . Khi  $ \left|z+2w\right| $  đạt giá trị nhỏ nhất,  $ \left|iz+w\right| $  bằng

A. $ 2\sqrt{5} $ .       B.  $ 4\sqrt{2}-3 $ .       C.  $ \sqrt{6} $ .       D.  $ 4\sqrt{2}+3 $ .

Lời giải:

Gọi  $ A $  là điểm biểu diễn số phức  $ z $  và  $ B $  là điểm biểu diễn số phức  $ -2w $ .

Ta có:

 $ \left|z-4\right|=1 $  $ \Rightarrow A $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(4;\,0\right) $ , bán kính  $ R=1 $ .

 $ \left|iw-2\right|=1\Leftrightarrow  \left|-w-2i\right|=1\Leftrightarrow  \left|-2w-4i\right|=2\Rightarrow B $  thuộc đường tròn  $ \left({{C}'}\right) $  có tâm  $ {I}'\left(0;\,4\right) $ , bán kính  $ {R}'=2 $ .

Lại có:  $ \left|z+2w\right| $  $ =\left|z-\left(-2w\right)\right|=AB $  và  $ I{I}'=4\sqrt{2}>R+{R}'=3 $  $ \Rightarrow  $  Hai đường tròn  $ \left({{C}_{1}}\right) $  và  $ \left({{C}_{2}}\right) $  không có điểm chung  $ \Rightarrow A{{B}_{\min}} $  khi điểm  $ A $  có tung độ dương và điểm  $ B $  có hoành độ dương, với  $ A $  là giao điểm của  $ \left({{C}_{1}}\right) $  và đường thẳng  $ I{I}' $ ,  $ B $  là giao điểm của  $ \left({{C}_{2}}\right) $  và đường thẳng  $ I{I}' $ .

$ \begin{align}&\Rightarrow \,A\left(\dfrac{8-\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\,\Rightarrow z=\dfrac{8-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\,\,;\,\,\\ &\,\,\,\,\,\,B\left(\sqrt{2}\,;\,4-\sqrt{2}\right)\Rightarrow -2w=\sqrt{2}+\left(4-\sqrt{2}\right)i\Rightarrow w=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}i\end{align} $

Vậy  $ \left|iz+w\right|=\sqrt{6} $ .

Câu 5. Cho hai số phức  $ {{z}_{1}};\,{{z}_{2}} $  thỏa  $ \left|{{z}_{1}}\right|=2 $  và  $ \left|{{z}_{2}}+i\right|=1 $ . Biết rằng  $ \left|i\overline{{{z}_{1}}}-{{z}_{2}}+4+2i\right| $  đạt giá trị lớn nhất, khi đó  $ \left|{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i\right| $  bằng

A. $ \sqrt{533} $ .       B.  $ \dfrac{\sqrt{533}}{3} $ .       C.  $ \dfrac{\sqrt{533}}{5} $ .       D.  $ \dfrac{\sqrt{533}}{2} $ .

Lời giải:

Ta có:  $ \left|i\overline{{{z}_{1}}}-{{z}_{2}}+4+2i\right|=\left|i\overline{{{z}_{1}}}-({{z}_{2}}-4-2i)\right| $ .

Gọi  $ A;\,B $  lần lượt là điểm biểu diễn số phức  $ i\overline{{{z}_{1}}} $  và  $ {{z}_{2}}-4-2i $ .

Với  $ \left|{{z}_{1}}\right|=2\Leftrightarrow  \left|i\overline{{{z}_{1}}}\right|=2 $   $ \Rightarrow  $   $ A $  thuộc đường tròn tâm  $ O $ , bán kính  $ {{R}_{1}}=2 $ .

Với  $ \left|{{z}_{2}}+i\right|=1\Leftrightarrow  \left|{{z}_{2}}+i+2i+4-2i-4\right|=1\Leftrightarrow  \left|({{z}_{2}}-4-2i)+4+3i\right|=1 $

 $ \Rightarrow  $   $ B $  thuộc đường tròn tâm  $ I(-4;\,-3) $ , bán kính  $ {{R}_{2}}=1 $ .

 $ \left|i\overline{{{z}_{1}}}-{{z}_{2}}-4-2i\right| $  đạt giá trị lớn nhất là  $ MN $  biết  $ M(x;\,y)\in (O) $  và  $ N(x';\,y')\in (I) $ .

Ta có:  $ \overrightarrow{OM}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow  (x;\,y)=-\dfrac{2}{5}\left(-4;\,-3)\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{8}{5};\,\dfrac{6}{5}\right)\Rightarrow i\overline{{{z}_{1}}}=\dfrac{8}{5}+\dfrac{6}{5}i\Rightarrow {{z}_{1}}=\dfrac{6}{5}+\dfrac{8}{5}i $ .

Ta có:  $ \overrightarrow{ON}=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow  (x';\,y')=\dfrac{6}{5}\left(-4;\,-3)\right)\Rightarrow N\left(-\dfrac{24}{5};-\,\dfrac{18}{5}\right) $

 $ \Rightarrow {{z}_{2}}-4-2i=-\dfrac{24}{5}-\dfrac{18}{5}i\Rightarrow {{z}_{2}}=-\dfrac{4}{5}-\dfrac{8}{5}i $ .

Vậy  $ \left|{{z}_{1}}+2{{z}_{2}}-3i\right|=\left|\dfrac{6}{5}+\,\dfrac{8}{5}i+2.\left(-\dfrac{4}{5}-\,\dfrac{8}{5}i\right)-3i\right|=\dfrac{\sqrt{533}}{5} $ .

Câu 6. Xét các số phức  $ z=x+yi $ ,  $ \left(x,\,y\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z-4-3i\right|=3 $ . Khi biểu thức  $ P=\left|z+5-3i\right|+3\left|z-3-7i\right| $  đạt giá trị nhỏ nhất, tổng  $ x+y $  bằng

A. $ 3+2\sqrt{2} $ .       B.  $ 6-2\sqrt{2} $ .       C.  $ 2\sqrt{2} $ .       D.  $ 6+2\sqrt{2} $ .

Lời giải:

Ta có  $ \left|z-4-3i\right|=3 $   $ \Leftrightarrow  \left|\left(x-4\right)+\left(y-3\right)i\right|=3 $   $ \Leftrightarrow  {{\left(x-4\right)}^{2}}+{{\left(y-3\right)}^{2}}=9 $ .

Gọi  $ A\, $ , $ \,B\, $ ,  $ M $  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{1}}=-5+3i $ ;  $ {{z}_{2}}=3+7i $  và  $ z=x+yi $ .

Ta có  $ A\left(-5\,;\,3\right) $ ,  $ B\left(3\,;\,7\right) $  và  $ M $  thuộc đường tròn  $ \left(T\right) $  tâm  $ I\left(4\,;\,3\right) $ , bán kính  $ R=3 $ .

Bài toán trở thành: tìm điểm  $ M\in \left(T\right) $  sao cho  $ P=MA+3MB $  nhỏ nhất.

Ta có:  $ AI=9=3R=3MI $ . Ta đi tìm điểm  $ C $  trên  $ AI $  sao cho  $ MA=3MC $

Gọi  $ C\left(a\,;\,b\right) $  thỏa mãn  $ \overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{CI} $   $ \Rightarrow C\left(3\,;3\right) $

Khi đó  $ P=MA+3MB=3\left(MC+MB\right)\ge3BC $ .

Dấu “=” xảy ra  $ \Leftrightarrow   $  ba điểm  $ B,\,M,\,C $  thẳng hàng và  $ M $  nằm giữa  $ B $  và  $ C $ .

Phương trình đường thẳng  $ BC:\,x=3 $ .

 $ M=BC\cap\left(T\right) $   $ \Rightarrow  $  Tọa độ  $ M $  là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x=3 \\ & {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$

Giải ra $\left\{ \begin{align}& x=3 \\ & y=3+2\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$

 $ \Rightarrow  $   $ M\left( 3\,;\,3+2\sqrt{2} \right) $ . Vậy  $ x+y=6+2\sqrt{2} $ .

Câu 7. Cho  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  là hai nghiệm phương trình  $ \left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6-9i\right| $  thỏa mãn  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=\dfrac{8}{5} $ . Giá trị lớn nhất của  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. 5.       B. $ \dfrac{56}{5} $ .       C.  $ \dfrac{31}{5} $ .       D.  $ 4\sqrt{2} $ .

Lời giải:

Ta có:  $ \left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6-9i\right|\Leftrightarrow  \left|z-3-6i\right|=\left|2z-6-9i\right| $

Đặt  $ z=x+yi $ , khi đó  $ \left|z-3-6i\right|=\left|2z-6-9i\right|\Leftrightarrow  \left|\left(x-3\right)+\left(y-6\right)i\right|=\left|\left(2x-6\right)+\left(2y-9\right)i\right| $

 $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y-6\right)}^{2}}={{\left(2x-6\right)}^{2}}+{{\left(2y-9\right)}^{2}} $

 $ \Leftrightarrow  {{x}^{2}}-6x+9+{{y}^{2}}-12y+36=4{{x}^{2}}-24x+36+4{{y}^{2}}-36y+81 $

 $ \Leftrightarrow  3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}-18x-24y+72=0 $

 $ \Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+24=0 $

 $ \Rightarrow  $  Tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  là đường tròn tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính 1.

Gọi  $ A,B $  lần lượt là điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  và  $ C $  là trung điểm  $ AB $ .

Do  $ C $  là trung điểm dây cung  $ AB=\left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right| $  nên ta có  $ IC=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}}=\dfrac{3}{5} $ .

Nên  $ C $  thuộc đường tròn tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính  $ \dfrac{3}{5} $ .

Khi đó  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=2\left|\overrightarrow{OC}\right|=2\left|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\right|\le2\left(OI+IC\right)=2\left(5+\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{56}{5} $ .

Câu 8. Xét các số phức  $ z=a+bi(a,b\in \mathbb{R}) $  thỏa mãn  $ |z-3+2i|=\sqrt{5} $ . Khi  $ |z-3-3i|+|z-7-i| $  đạt giá trị lớn nhất, thì  $ a-b $  bằng

A. 4.       B. 6.       C. 8.       D. 10.

Lời giải:

 $ |z-3+2i|=\sqrt{5}\Rightarrow |a-3+\left(b+2\right)i|=\sqrt{5}\Leftrightarrow  {{\left(a-3\right)}^{2}}+{{\left(b+2\right)}^{2}}=5 $ .

Khi đó  $ z $ nằm trên đường tròn  $ \left(C\right) $ tâm  $ I\left(3;-2\right) $ , bán kính  $ R=\sqrt{5} $ .

Gọi  $ A(3;3),B(7;1) $ . Gọi  $ {I}' $  là trung điểm của  $ AB\Rightarrow {I}'\left(5;2\right) $ .

Đặt  $ P=|z-3-3i|+|z-7-i|=\sqrt{{{\left(a-3\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left(a-7\right)}^{2}}+{{\left(b-1\right)}^{2}}}=MA+MB $

Suy ra  $ P\le MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)} $ .

Mặt khác ta có  $ M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{{I}'}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} $ .  $ P $  lớn nhất khi  $ M{I}' $  lớn nhất

Khi  $ M,I,I' $  thẳng hàng. Ta có  $ \overrightarrow{I{I}'}=\left(2;4\right) $

Gọi  $ \Delta  $  là đường thẳng đi qua  $ I $  và nhận  $ \overrightarrow{n}=\left(2;-1\right) $  làm vectơ pháp tuyến có phương trình  $ \Delta :2(x-3)-1(y+2)=0\Leftrightarrow  y=2x-8 $

Khi đó tọa độ  $ M\left(a;b\right) $  là nghiệm của hệ ${{(a-3)}^{2}}+{{(b+2)}^{2}}=5b=2a-8$ giải ra  $\left\{ \begin{align}  & a=4 \\  & b=0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-4 \\ \end{align} \right.$.

+  $ \left\{\begin{align}&a=4\\ &b=0\end{align}\right.\Rightarrow M\left(4;0\right) $   $ \Rightarrow P=MA+MB=2\sqrt{10}\approx 6.32 $ ;

+  $ \left\{\begin{align}&a=2\\ &b=-4\end{align}\right.\Rightarrow M\left(2;-4\right) $   $ \Rightarrow P=MA+MB=10\sqrt{2}\approx 14.143 $ .

Vậy  $ P $  lớn nhất khi  $ M\left(2;-4\right)\Rightarrow \left\{\begin{align}&a=2\\ &b=-4\end{align}\right.\Rightarrow a-b=6 $ .

Câu 9. Gọi  $ S $  là tập hợp tất cả các số phức  $ z $  sao cho số phức  $ w=\dfrac{1}{|z|-z} $  có phần thực bằng  $ \dfrac{1}{18} $ . Xét các số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S $  thoả mãn  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=3 $ , giá trị lớn nhất của  $ P=5{{\left|{{z}_{1}}-3-5i\right|}^{2}}+ $   $ 2{{\left|{{z}_{2}}-3-5i\right|}^{2}} $  gần bằng với giá trị nào sau đây?

A. 1530.       B. 1531.       C. 1532.       D. 1533.

Lời giải:

Ta có:  $ \dfrac{1}{9}=w+\overline{w}=\dfrac{1}{|z|-z}+\dfrac{1}{|z|-\overline{z}}=\dfrac{2|z|-(z+\overline{z})}{2|z{{|}^{2}}-|z|(z+\overline{z})}=\dfrac{1}{|z|}\Rightarrow |z|=9 $

Đặt  ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i;\,\,\,\,{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i;\,\,\,{{z}_{3}}=3+5i$ $\Rightarrow A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,\text{B}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),\,\,C\left( 3;5 \right)$ tương ứng là các điểm biểu diễn của các số phức đó.

Ta có  $ P=5C{{A}^{2}}+2C{{B}^{2}} $  và  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=3\Rightarrow AB=3 $

Chọn điểm  $ H $  sao cho  $ 5\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}=\vec{0} $ .

*  $ |z|=9\Rightarrow {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  nằm trên đường tròn tâm  $ O $ , bán kính  $ R=9 $ . Do   $ 5\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{0} $  nên  $ H $  nằm giữa  $ AB\Rightarrow HA=\dfrac{2}{7}AB=\dfrac{6}{7};HB=\dfrac{5}{7}AB=\dfrac{15}{7} $ .

Gọi  $ K $  là trung điểm của  $ AB\Rightarrow OK=\dfrac{3\sqrt{35}}{2}\Rightarrow OH=\dfrac{3\sqrt{431}}{7} $ . Trong đó  $ HK=\dfrac{9}{14} $

 $ 5C{{A}^{2}}=5{{\overrightarrow{CA}}^{2}}=5{{\left(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA}\right)}^{2}}=5C{{O}^{2}}+10\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OA}+5O{{A}^{2}} $

 $ 2C{{B}^{2}}=2\overrightarrow{C{{B}^{2}}}=2{{\left(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}\right)}^{2}}=2C{{O}^{2}}+4\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OB}+2O{{B}^{2}} $

 $ \Rightarrow P=5C{{A}^{2}}+2C{{B}^{2}}=7C{{O}^{2}}+5O{{A}^{2}}+2O{{B}^{2}}+14.\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OH}=805+14.\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OH} $

 $ \Rightarrow P=805+14.CO.OH.\cos \left(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{OH}\right)\le805+14.CO.OH=805+14.\sqrt{34}.\dfrac{3\sqrt{431}}{7} $ .

 $ P $  lớn nhất khi  $ \cos \left(\overrightarrow{CO},\overrightarrow{OH}\right)=1 $ . Vậy  $ maxP=805+14.\sqrt{34}.\dfrac{3\sqrt{431}}{7}\approx 1531,322 $

Câu 10. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z+\bar{z}\right|+2\left|z-\bar{z}\right|=8 $ . Gọi  $ M $ ,  $ m $  lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P=\left|z-3-3i\right| $ . Giá trị của  $ M+m $  bằng

A. $ \sqrt{10}+\sqrt{34} $ .       B.  $ 2\sqrt{10} $ .       C.  $ \sqrt{10}+\sqrt{58} $ .       D.  $ \sqrt{5}+\sqrt{58} $ .

Lời giải:

Đặt  $ z=x+yi\left(x,y\in \mathbb{R}\right) $ .

Ta có  $ \left|z+\bar{z}\right|+2\left|z-\bar{z}\right|=8\Leftrightarrow  2\left|x\right|+4\left|y\right|=8\Leftrightarrow  \left|x\right|+2\left|y\right|=4 $ .

Trong mặt phẳng phức, gọi  $ M $  là điểm biểu diễn hình học của số phức  $ z $ . Khi đó tập hợp điểm  $ M $  là hình bình hành  $ ABCD $  với  $ A\left(0;2\right) $ ,  $ B\left(4;0\right) $ ,  $ C\left(0;-2\right) $ ,  $ D\left(-4;0\right) $ .

 $ P=\left|z-3-3i\right|=EM $  với  $ E\left(3;3\right) $ .

 $ minP=EH=d\left(E,AB\right)=\sqrt{5} $  với  $ H $  là hình chiếu vuông góc của  $ E $  lên đoạn  $ AB $ .

 $ maxP=ED=\sqrt{58} $ .

Vậy  $ M+m=\sqrt{5}+\sqrt{58} $ .

Câu 11. Gọi  $ S $  là tập hợp tất cả các số phức  $ z $  thoả mãn điều kiện  $ z.\bar{z}=|z+\bar{z}| $ . Xét các số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S $  sao cho  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=1 $ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P=\left|{{z}_{1}}-\sqrt{3}i\right|+\left|{{{\bar{z}}}_{2}}+\sqrt{3}i\right| $  bằng

A. 2.       B. $ 1+\sqrt{3} $ .       C.  $ 2\sqrt{3} $ .       D.  $ \sqrt{20-8\sqrt{3}} $ .

Lời giải:

Đặt  $  {w}=z-\sqrt{3}i\,,\,{{ {w}}_{1}}={{z}_{1}}-\sqrt{3}i,\,\,{{ {w}}_{2}}={{z}_{2}}-\sqrt{3}i $ . Khi đó từ giả thiết ta có  $ \left|{{ {w}}_{1}}-{{ {w}}_{2}}\right|=1 $ , $ P=\left|{{z}_{1}}-\sqrt{3}i\right|+\left|{{{\bar{z}}}_{2}}+\sqrt{3}i\right|=\left|{{ {w}}_{1}}\right|+\left|\overline{{{{\bar{z}}}_{2}}+\sqrt{3}i}\right|=\left|{{ {w}}_{1}}\right|+\left|{{z}_{2}}-\sqrt{3}i\right|=\left|{{ {w}}_{1}}\right|+\left|{{ {w}}_{2}}\right| $ , và  $ {{ {w}}_{1}},{{ {w}}_{2}} $  là các số phức thuộc tập hợp các số phức  $  {w} $  thỏa mãn  $ \left( {w}+\sqrt{3}i\right).\overline{ {w}+\sqrt{3}i}=| {w}+\sqrt{3}i+\left(\overline{ {w}+\sqrt{3}i}\right)| $

Đặt  $  {w}=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R} {)} $ .

Khi đó $\Leftrightarrow {{\left| x+\left( y+\sqrt{3} \right)i \right|}^{2}}=\left| 2x \right|$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| 2x \right|$  ta có $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{3} \right)}^{2}}=1 \\ & x\ge 0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{3} \right)}^{2}}=1 \\  & x\le 0 \\ \end{align} \right.$

Do đó tập hợp điểm  $ X(x;y) $  biểu thị số phức  $  {w} $  là hai đường tròn và lần lượt có tâm là  $ I\left(-1;-\sqrt{3}\right) $  và  $ G\left(1;-\sqrt{3}\right) $ , cùng có bán kính  $ R=1 $  và cùng tiếp xúc với trục tung tại điểm  $ L\left(0;-\sqrt{3}\right) $ .

Giả sử  $ {{X}_{1}},{{X}_{2}} $  là hai điểm biểu diễn của  $ {{ {w}}_{1}};\,{{ {w}}_{2}} $ .

Ta có  $ OI=OG=2 $  nên cho dù điểm  $ X $  thuộc đường tròn hay thì ta luôn có  $ OX\ge2-R=2-1=1 $  do vậy  $ P=\left|{{ {w}}_{1}}\right|+\left|{{ {w}}_{2}}\right|=O{{X}_{1}}+O{{X}_{2}}\ge2 $ , dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi  $ {{X}_{1}} $  trùng với điểm  $ P $  là giao của đoạn  $ OI $  với đường tròn và  $ {{X}_{2}} $  trùng với  $ M $  là giao của đoạn  $ OG $  với đường tròn. Khi đó  $ \left|{{ {w}}_{1}}-{{ {w}}_{2}}\right|={{X}_{1}}{{X}_{2}}=PM=1 $ .

Vậy  $ MinP=2 $

Câu 12. Cho các số phức  $ z,\,w $  thỏa mãn  $ \left|w-3+i\right|=3\sqrt{2} $  và  $ \dfrac{w}{z-2}=1+i $ . Giá trị lớn nhất của biểu thức  $ P=\left|z-1-2i\right|+\left|z-5-2i\right| $  bằng

A. $ \dfrac{29}{2} $ .       B.  $ 2\sqrt{53} $ .       C.  $ \sqrt{52}+\sqrt{55} $ .       D.  $ 3+\sqrt{134} $ .

Lời giải:

Từ giả thiết  $ \dfrac{w}{z-2}=1+i $ , ta có  $ w=\left(z-2\right)\left(1+i\right) $ . Khi đó:  $ \left|w-3+i\right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow  \left|\left(z-2\right)\left(1+i\right)-3+i\right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow  \left|\left(1+i\right)\left(z-3+2i\right)\right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow  \left|z-3+2i\right|=3 $ .

Suy ra điểm  $ M\left(x\,;\,y\right) $  biểu diễn cho số phức  $ z $  sẽ thuộc đường tròn  $ \left(C\right)\,:\,\,{{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}=9 $

Ta có:  $ \,P=MA+MB $ , với  $ A\left(1\,;\,2\right),\,B\left(5\,;\,2\right) $ .

Gọi  $ H $  là trung điểm của  $ AB $ , ta có  $ H\left(3\,;\,2\right) $ . Khi đó:

 $ P=MA+MB\le\sqrt{2\left(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\right)}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}} $ .

Mặt khác:  $ MH\le KH $  với mọi điểm  $ M\in \left(C\right) $ , nên  $ P\le\sqrt{4K{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{\left(IH+R\right)}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53} $ .

Vậy  $ {{P}_{\max}}=2\sqrt{53} $  khi  $ \left\{\begin{align}&M\equiv K\\ &MA=MB\end{align}\right. $  hay  $ z=3-5i $  và  $ w=6-4i $ .

Câu 13. Cho hai số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  thỏa mãn  $ \left|{{z}_{1}}+3-3i\right|=2\sqrt{2} $  và  $ \left|{{z}_{2}}-m-\left(m-4\right)i\right|=\sqrt{2},m\in \mathbb{R} $ . Giá trị nhỏ nhất của  $ \left|{{z}_{1}}\right|+\left|{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. $ 2\sqrt{2} $ .       B.  $ \sqrt{2} $ .       C.  $ 3\sqrt{2} $ .       D. 3.

Lời giải:

Đặt  $ {{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i $ ,  $ {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i $ ,  $ {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} $ .

Gọi  $ M,N $  lần lượt là điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $ .

Theo giả thiết ta có:

+)  $ \left|{{z}_{1}}+3-3i\right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow  \sqrt{{{\left({{x}_{1}}+3\right)}^{2}}+{{\left({{y}_{1}}-3\right)}^{2}}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow  {{\left({{x}_{1}}+3\right)}^{2}}+{{\left({{y}_{1}}-3\right)}^{2}}=8 $

 $ \Rightarrow  $   $ M\left({{z}_{1}}\right) $  thuộc đường tròn  $ \left({{C}_{1}}\right) $  có tâm  $ I\left(-3;3\right) $  và bán kính  $ {{R}_{1}}=2\sqrt{2} $ .

+)  $ \left|{{z}_{2}}-m-\left(m-4\right)i\right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow  \sqrt{{{\left({{x}_{2}}-m\right)}^{2}}+{{\left[{{y}_{2}}-\left(m-4\right)\right]}^{2}}}=\sqrt{2} $

 $ \Leftrightarrow  {{\left({{x}_{2}}-m\right)}^{2}}+{{\left[{{y}_{2}}-\left(m-4\right)\right]}^{2}}=2 $

 $ \Rightarrow  $   $ N\left({{z}_{2}}\right) $  thuộc đường tròn  $ \left({{C}_{2}}\right) $  có tâm  $ J\left(m;m-4\right) $  và bán kính  $ {{R}_{2}}=\sqrt{2} $ .

Đồng thời điểm  $ J $  luôn thuộc một đường thẳng cố định  $ d:x-y-4=0 $ .

Mà:  $ \left|{{z}_{1}}\right|+\left|{{z}_{2}}\right|=OM+ON $   $ \Rightarrow {{\left(\left|{{z}_{1}}\right|+\left|{{z}_{2}}\right|\right)}_{\min}} $  khi và chỉ khi  $ {{\left(OM+ON\right)}_{\min}} $ .

Ta lại có:  $ \overrightarrow{OI}=\left(-3;3\right) $ ,  $ \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left(1;1\right) $   $ \Rightarrow \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow OI\bot d $ .

Dựa vào hình vẽ ta có:  $ {{\left(OM+ON\right)}_{\min}}=d\left(I,d\right)-\left({{R}_{1}}+{{R}_{2}}\right)=\dfrac{\left|-3-3-4\right|}{\sqrt{2}}-\left(2\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2} $ .

Câu 14. Gọi  $ S $  là tập hợp tất cả các số phức  $ z\notin \mathbb{R} $  sao cho số phức  $ w=\dfrac{z}{{{z}^{2}}+4} $  là số thực. Xét các số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  thuộc  $ S $  sao cho  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=2 $ . Giá trị lớn nhất của  $ {{\left|{{z}_{1}}-2-2i\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{2}}-2-2i\right|}^{2}} $  bằng

A. $ 8\sqrt{2} $ .       B.  $ 4\sqrt{2} $ .       C. 16.       D.  $ 6\sqrt{2} $ .

Lời giải:

Đặt  $ z=a+bi\left(a,b\in \mathbb{R};b\ne 0\right),z\ne \pm 2i $ .

Vì  $ w\ne 0 $  nên  $ w\in \mathbb{R}\Leftrightarrow  \dfrac{1}{w}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow  z+\dfrac{4}{z}\in \mathbb{R} $ . Mà $ a+bi+\dfrac{4\left(a-bi\right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\left(a+\dfrac{4a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\right)+b\left(1-\dfrac{4}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\right)i $

Suy ra  $ z+\dfrac{4}{z}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 $ .

Gọi  $ A,B $  lần lượt là điểm biểu diễn của  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  và gọi  $ M\left(2;2\right) $ .

Khi đó  $ A,B $  thuộc đường tròn tâm  $ O\left(0;0\right) $ , bán kính bằng 2 và  $ AB=2 $ ( $ A,B $  khác các điểm  $ \left(2;0\right),\left(-2;0\right),\left(0;2\right),\left(0;-2\right) $ ).

Ta có  $ {{\left|{{z}_{1}}-2-2i\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{2}}-2-2i\right|}^{2}}=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}-{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)}^{2}}-{{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)}^{2}} $

 $ =2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{BA}=2.MO.BA.\cos (\overrightarrow{MO},\overrightarrow{BA})\le8\sqrt{2} $ . Dấu bằng xảy ra khi  $ \overrightarrow{BA} $  cùng hướng  $ \overrightarrow{MO} $ .

Vậy giá trị lớn nhất của  $ {{\left|{{z}_{1}}-2-2i\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{2}}-2-2i\right|}^{2}} $  bằng  $ 8\sqrt{2} $ .

Câu 15. Cho số phức  $ z=a+bi\,\,\left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|\dfrac{z-1+3i}{1-i\sqrt{3}}\right|=1 $ . Khi biểu thức  $ P=2\left|z-i\right|+\left|z-5+3i\right| $  đạt giá trị nhỏ nhất, thì giá trị của biểu thức  $ T=3a-2b $  bằng

A. 5.       B. 2.       C.  $ -3 $ .       D.  $ -2 $ .

Lời giải:

Gọi  $ M $  là điểm biểu diễn số phức  $ z=a+bi\Rightarrow M\left(a;b\right) $ .

Theo giả thiết  $ \left|\dfrac{z-1+3i}{1-\sqrt{3}i}\right|=1\Leftrightarrow  \left|z-1+3i\right|=\left|1-\sqrt{3}i\right|\Leftrightarrow  {{\left(a-1\right)}^{2}}+{{\left(b+3\right)}^{2}}=4 $

Khi đó điểm  $ M $  luôn thuộc đường tròn tâm  $ I\left(1;-3\right) $  và bán kính  $ R=2 $ .

Gọi  $ A,\,B $  lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức  $ {{z}_{1}}=i,\,{{z}_{2}}=5-3i $  ta có  $ A\left(0;1\right),\,\,B\left(5;-3\right) $ . Do đó  $ P=2\left|z-i\right|+\left|z-5+3i\right|=2MA+MB $

Lấy điểm  $ E $  thuộc đoạn thẳng  $ IB $  sao cho  $ IE=1 $ .

Ta có  $ IB=4\Rightarrow \overrightarrow{IB}=4\overrightarrow{IE}\Rightarrow E\left(2;-3\right) $ .

Mặt khác  $ I{{M}^{2}}=IE.IB $   $ \Rightarrow \dfrac{IM}{IE}=\dfrac{IB}{IM} $  mà  $ \widehat{MIE}=\widehat{BIM} $  suy ra hai tam giác  $ \Delta IME $  và  $ \Delta IBM $  đồng dạng.

 $ \Rightarrow \dfrac{MB}{ME}=\dfrac{IB}{IM}=2\Rightarrow MB=2ME $   $ \Rightarrow 2MA+MB=2\left(MA+ME\right)\ge2AE=4\sqrt{5} $ .

Do đó  $ P=2MA+MB $  có giá trị nhỏ nhất là  $ 4\sqrt{5} $  khi  $ M $  là giao điểm của đoạn thẳng  $ EA $  và đường tròn tâm  $ I $ .

Đường thẳng  $ EA $  nhận  $ \overrightarrow{EA}=\left(-2;4\right) $  làm vectơ chỉ phương nên có một vectơ pháp tuyến là  $ \overrightarrow{n}=\left(2;1\right) $ . Mà  $ EA $  đi qua điểm  $ A\left(0;1\right) $  nên có phương trình là  $ 2x+y-1=0 $ .

Giả sử  $ M\left(t;1-2t\right) $  thuộc đoạn  $ EA $  ( $ 0\let\le2 $ ).

Mặt khác  $ M $  thuộc đường tròn tâm  $ I $  nên  $ I{{M}^{2}}=4\Leftrightarrow  {{\left(t-1\right)}^{2}}+{{\left(4-2t\right)}^{2}}=4 $

 $ \Leftrightarrow  5{{t}^{2}}-18t+13=0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&t=1\\ &t=\dfrac{13}{5}\end{align}\right. $ .

Kết hợp với điều kiện  $ 0\let\le2 $  ta được  $ t=1\Rightarrow M\left(1;-1\right) $ .

Vậy  $ a=1;\,\,b=-1 $  $ \Rightarrow T=3a-2b=5 $ .

Câu 16. Gọi  $ S $  là tập hợp tất cả các số phức  $ z $  sao cho số phức  $ w=\dfrac{1}{|z|-z} $  có phần thực bằng  $ \dfrac{1}{8} $ . Xét các số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in S $  thỏa mãn  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=2 $ , giá trị lớn nhất của  $ P={{\left|{{z}_{1}}-5i\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{2}}-5i\right|}^{2}} $  bằng

A. 10.       B. 16.       C. 20.       D. 32.

Lời giải:

Giả sử  $ z=x+yi $ , với  $ x,y\in \mathbb{R} $  và điều kiện  $ |z|-z\ne 0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&x<0\\ &y\ne 0\end{align}\right. $ .

Ta có:  $ w=\dfrac{1}{|z|-z}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)+yi}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)}^{2}}-{{y}^{2}}}+\dfrac{y}{{{\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}i $

Theo giả thiết, ta có:  $ \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x}{{{\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow  8\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} $

 $ \Leftrightarrow  4\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x\right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x) $

 $ \Leftrightarrow  (\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x)\left(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-4\right)=0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4\\ &\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x=0\end{align}\right. $

TH1:  $ \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x=0\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&x\ge0\\ &y=0\end{align}\right. $ .

TH2:  $ \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4\Leftrightarrow  {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=16 $

Gọi  $ {{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i;\ {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\ \Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=16;x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=16 $

Ta có:  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=2\Leftrightarrow  {{\left({{x}_{1}}-{{x}_{2}}\right)}^{2}}+{{\left({{y}_{1}}-{{y}_{2}}\right)}^{2}}=4 $

Xét  $ P={{\left|{{z}_{1}}-5i\right|}^{2}}-{{\left|{{z}_{2}}-5i\right|}^{2}}=x_{1}^{2}+{{\left({{y}_{1}}-5\right)}^{2}}-x_{2}^{2}-{{\left({{y}_{2}}-5\right)}^{2}}=-10\left({{y}_{1}}-{{y}_{2}}\right) $

 $ \Rightarrow P\le10\left|{{y}_{1}}-{{y}_{2}}\right|=10\sqrt{4-{{\left({{x}_{1}}-{{x}_{2}}\right)}^{2}}}\le20 $

Dấu  $ ''='' $  xảy ra khi và chỉ khi  $ {{x}_{1}}={{x}_{2}} $ và  $ {{y}_{2}}-{{y}_{1}}=2 $ .

Câu 17. Xét hai số phức  $ {{z}_{1}};\,{{z}_{2}} $  thỏa mãn  $ \left|{{z}_{1}}\right|=1;\,\left|{{z}_{2}}\right|=2 $  và  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=\sqrt{3} $ . Giá trị lớn nhất của  $ \left|3{{ {z}}_{1}}+{{z}_{2}}-5i\right| $  bằng

A. $ 5-\sqrt{19} $ .       B.  $ 5+\sqrt{19} $ .       C.  $ -5+2\sqrt{19} $ .       D.  $ 5+2\sqrt{19} $ .

Lời giải:

Gọi  $ A $  là điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{1}} $ ;   $ B $  là điểm biểu diễn số phức  $ {{z}_{2}} $ ;   $ C $  là điểm biểu diễn số phức  $ \omega =3{{ {z}}_{1}}+{{z}_{2}} $ ; điểm  $ M=\left(0;5\right) $

Ta có:  $ \overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\Rightarrow O{{C}^{2}}=9O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+6\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2}=19 $

 $ \Rightarrow \left|\omega \right|=\sqrt{19} $

Ta nhận thấy  $ MC\le OM+OC $

Lúc này  $ P=\left|3{{ {z}}_{1}}+{{z}_{2}}-5i\right| $  lớn nhất  $ \Leftrightarrow  MC $  lớn nhất  $ \Leftrightarrow  O,M,C $  thẳng hàng ( $ O $  nằm giữa  $ M $  và  $ C $ ). Suy ra  $ maxP=OM+R=5+\sqrt{19} $ .

Câu 18. Xét số phức  $ z=a+bi $   $ \left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  thỏa mãn  $ \left|z-4-3i\right|=\sqrt{5} $ . Khi  $ \left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right| $  đạt giá trị lớn nhất, thì  $ a+b $  bằng

A. 4.       B. 6.       C. 8.       D. 10.

Lời giải:

Gọi  $ M\left(a;b\right) $  là điểm biểu diễn của số phức  $ z $ .

Theo giả thiết ta có:  $ \left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow  {{\left(a-4\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}=5 $   $ \Rightarrow  $  Tập hợp điểm biểu diễn số phức  $ z $  là đường tròn tâm  $ I\left(4;3\right) $  bán kính  $ R=\sqrt{5} $

Gọi:  $ \left\{\begin{align}&A\left(-1;3\right)\\ &B\left(1;-1\right)\end{align}\right.\Rightarrow Q=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=MA+MB $

Gọi  $ E $  là trung điểm của  $ AB $ , kéo dài  $ EI $  cắt đường tròn tại  $ D $ .

Ta có:  $ {{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB $

 $ \Leftrightarrow  {{Q}^{2}}\le M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2\left(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\right) $

Vì  $ ME $  là trung tuyến trong  $ \Delta MAB $  $ \Rightarrow M{{E}^{2}}=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{E}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} $   

$\Rightarrow {{Q}^{2}} \le 2\left(2M{{E}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}\right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}$ . Mặt khác  $ME \le DE=EI+ID=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

 $\Rightarrow {{Q}^{2}} \le 4.{{\left(3\sqrt{5}\right)}^{2}}+20=200$   

$\Rightarrow Q \le 10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{max}}=10\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& MA=MB \\ & M\equiv D \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{EI}=2\overrightarrow{ID}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4=2({{x}_{D}}-4) \\ & 2=2({{y}_{D}}-3) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}=6 \\  & {{y}_{D}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow M\left( 6;4 \right)$ $\Rightarrow P=a+b=10$

Cách 2: Đặt  $ z=a+bi. $  Theo giả thiết ta có:  $ {{\left(a-4\right)}^{2}}+{{\left(b-5\right)}^{2}}=5. $

Đặt  $ \left\{\begin{align}&a-4=\sqrt{5}\sin t\\ &b-3=\sqrt{5}\cos t\end{align}\right. $ . Khi đó:

 $ Q=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\sqrt{{{\left(a+1\right)}^{2}}+{{\left(b-3\right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left(a-1\right)}^{2}}+{{\left(b+1\right)}^{2}}} $

 $ =\sqrt{{{\left(\sqrt{5}\sin t+5\right)}^{2}}+5{{\cos }^{2}}t}+\sqrt{{{\left(\sqrt{5}\sin t+3\right)}^{2}}+{{\left(\sqrt{5}\cos t+4\right)}^{2}}} $

 $ =\sqrt{30+10\sqrt{5}\sin t}+\sqrt{30+2\sqrt{5}\left(3\sin t+4\cos t\right)} $

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

 $ Q\le\sqrt{2\left(60+8\sqrt{5}\left(2\sin t+\cos t\right)\right)}\le\sqrt{2\left(60+8\sqrt{5}.\sqrt{5}\right)}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} $

 $ \Rightarrow Q\le10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{max}}=10\sqrt{2} $

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& \sin t=\frac{2}{\sqrt{5}} \\  & \cos t=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow P=a+b=10$

Câu 19. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}. $  Gọi  $ m, M $  lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của  $ \left|z-1+i\right|. $  Tổng  $ m+M $  bằng

A. $ \dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2} $ .       B.  $ 5\sqrt{2}+\sqrt{73} $ .       C.  $ \dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{73}}{2} $ .       D.  $ \sqrt{13}+\sqrt{73} $ .

Lời giải:

Gọi  $ A $  là điểm biểu diễn số phức  $ z $ ,  $ E\left(-2;1\right), {}F\left(4;7\right) $  và  $ N\left(1;-1\right). $

Từ  $ AE+A\,F=\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2} $  và  $ EF=6\sqrt{2} $  nên ta có  $ A $  thuộc đoạn thẳng  $ EF $ . Gọi  $ H $  là hình chiếu của  $ N $  lên  $ EF $ , ta có  $ H\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right) $ . Suy ra  $ P=NH+NF=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}. $

Câu 20. Cho hai số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau  $ \left|z-1\right|=\sqrt{34},\left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right| $  và sao cho  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right| $  là lớn nhất. Khi đó giá trị  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. $ \sqrt{2} $ .       B. 10.       C. 2.       D.  $ \sqrt{130} $ .

Lời giải:

Gọi  $ M,N $  lần lượt là điểm biểu diễn của số phức  $ {{z}_{1}},{{z}_{2}} $

Gọi  $ z=x+iy,\left(x,y\in \mathbb{R}\right) $

Ta có  $ \left|z-1\right|=\sqrt{34}\Rightarrow M,N $  thuộc đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(1;0\right) $ , bán kính  $ R=\sqrt{34} $

Mà  $ \left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right|\Leftrightarrow  \left|x+yi+1+mi\right|=\left|x+yi+m+2i\right| $

 $ \Leftrightarrow  \sqrt{{{\left(x+1\right)}^{2}}+{{\left(y+m\right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left(x+m\right)}^{2}}+{{\left(y+2\right)}^{2}}} $

 $ \Leftrightarrow  2\left(m-1\right)x+2\left(m-2\right)y-3=0 $

Suy ra  $ M,N $  thuộc đường thẳng  $ d:2\left(m-1\right)x+2\left(m-2\right)y-3=0 $

Do đó  $ M,N $  là giao điểm của đường thẳng  $ d $  và đường tròn  $ \left(C\right) $

Ta có  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=MN $  nên  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right| $  lớn nhất khi và chỉ khi  $ MN $  lớn nhất

 $ \Leftrightarrow  MN $  đường kính của  $ \left(C\right) $ . Khi đó  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right|=2OI=2 $

 $ \left|z-i\right|=\left|\left(z-2-2i\right)+\left(2+i\right)\right|\ge\left|\left|z-2-2i\right|-\left|2+i\right|\right|=\sqrt{5}-1 $

Câu 21. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-6\right|+\left|z+6\right|=20 $ . Gọi  $ M $ ,  $ n $  lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của  $ z $ . Tổng  $ M-n $  bằng

A. 2.       B. 4.       C. 7.       D. 14.

Lời giải:

Gọi  $ z=x+yi $    $ x,y\in \mathbb{R} $ . Theo giả thiết, ta có  $ \left|z-6\right|+\left|z+6\right|=20 $ .

 $ \Leftrightarrow  \left|x-6+yi\right|+\left|x+6+yi\right|=20 $   $ \Leftrightarrow  \sqrt{{{\left(x-6\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left(x+6\right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\,\,\,\,\,\left(*\right) $ .

Gọi  $ M\left(x;y\right) $ ,  $ {{F}_{1}}\left(6;0\right) $  và  $ {{F}_{2}}\left(-6;0\right) $ .

Khi đó  $ \left(*\right)\Leftrightarrow  M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20>{{F}_{1}}{{F}_{2}}=12 $  nên tập hợp các điểm  $ E $  là đường elip  $ (E) $  có hai tiêu điểm  $ {{F}_{1}} $  và  $ {{F}_{2}} $ . Và độ dài trục lớn bằng 20.

Ta có  $ c=6 $ ;  $ 2a=20\Leftrightarrow  a=10 $  và  $ {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=64\Rightarrow b=8 $ .

Do đó phương trình chính tắc của  $ (E) $  là  $ \dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{64}=1 $ .

Suy ra  $  {max}\left|z\right|=OA=O{{A}^{'}}=10 $  khi  $ z=\pm 10 $  và  $  {min}\left|z\right|=OB=O{{B}^{'}}=8 $  khi  $ z=\pm 8i $ .

Vậy  $ M-n=2 $ .

Câu 22. Gọi  $ S $  là tập hợp các số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-1\right|=\sqrt{34} $  và  $ \left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right| $ . Gọi  $ {{z}_{1}} $ ,  $ {{z}_{2}} $  là hai số phức thuộc  $ S $  sao cho  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right| $  lớn nhất, khi đó giá trị của  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right| $  bằng

A. 2.       B. 10.       C.  $ \sqrt{2} $ .       D.  $ \sqrt{130} $ .

Lời giải:

Đặt  $ z=x+yi $ ,  $ \left(x\,,y\in \mathbb{R}\right) $ . Khi đó

 $ \left|z-1\right|=\sqrt{34} $   $ \Leftrightarrow  {{\left(x-1\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=34 $ ;  $ \left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right| $   $ \Leftrightarrow  2\left(m-1\right)x+2\left(2-m\right)y+3=0 $ .

Do đó tập hợp các điểm  $ M $  biểu diễn số phức  $ z $  là giao điểm của đường tròn  $ \left(C\right):{{\left(x-1\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=34 $  và đường thẳng  $ d:2\left(m-1\right)x+2\left(2-m\right)y+3=0 $ .

Gọi  $ A $ ,  $ B $  là hai điểm biểu diễn  $ {{z}_{1}} $  và  $ {{z}_{2}} $ . Suy ra  $ \left(C\right) \cap d=\left\{A,B\right\} $ .

Mặt khác  $ \left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=AB\le2R=2\sqrt{34} $  do đó  $ \max\left|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}\right|=2\sqrt{34}\Leftrightarrow  AB=2R\Leftrightarrow  I\left(1\,;0\right)\in d $ .

Từ đó ta có  $ m=-\dfrac{1}{2} $  nên  $ d:3x-5y-3=0 $   $ \Rightarrow \left[\begin{align}&{{z}_{1}}=6+3i\\ &{{z}_{2}}=-4-3i\end{align}\right. $ .

Vậy  $ \left|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\right|=2 $ .

Câu 23. Cho hai số phức  $ z\,,\,w $  thỏa mãn  $ \left|z-3\sqrt{2}\right|=\sqrt{2} $ ,  $ \left|w-4\sqrt{2}i\right|=2\sqrt{2} $ . Biết rằng  $ \left|z-w\right| $  đạt giá trị nhỏ nhất khi  $ z={{z}_{0}} $ ,  $ w={{w}_{0}} $ . Khi đó  $ \left|3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}\right| $  bằng

A. $ 2\sqrt{2} $ .       B.  $ 4\sqrt{2} $ .       C. 1.       D.  $ 6\sqrt{2} $ .

Lời giải:

Ta có:

+  $ \left|z-3\sqrt{2}\right|=\sqrt{2} $ , suy ra tập hợp điểm biểu diễn  $ M $  biểu diễn số phức  $ z $  là đường tròn có tâm  $ I\left(3\sqrt{2}\,;\,0\right) $ , bán kính  $ r=\sqrt{2} $ .

+  $ \left|w-4\sqrt{2}i\right|=2\sqrt{2} $ , suy ra tập hợp điểm biểu diễn  $ N $  biểu diễn số phức  $ w $  là đường tròn có tâm  $ J\left(0\,;\,4\sqrt{2}\,\right) $ , bán kính  $ R=2\sqrt{2} $ .

Ta có  $ \min\left|z-w\right|=minMN $ .

+  $ IJ=5\sqrt{2};\,IM=r=\sqrt{2};\,NJ=R=2\sqrt{2} $ .

Mặt khác  $ IM+MN+NJ\ge IJ $   $ \Rightarrow MN\ge IJ-IM-NJ $  hay  $ MN\ge5\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2} $ .

Suy ra  $ minMN=2\sqrt{2} $  khi  $ I,\,M,\,N,\,J $  thẳng hàng và  $ M,\,N $  nằm giữa  $ I,\,J $ .

Cách 1:

Khi đó ta có:  $ \left|3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}\right|=\left|3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right| $  và  $ IN=3\sqrt{2} $   $ \Rightarrow \overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IJ};\,\,\overrightarrow{IN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ} $ .

Mặt khác  $ \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN} $   $ =\,\,\overrightarrow{OI}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ} $ ;  $ 3\overrightarrow{OM}=\,\,3\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM}\right)= $   $ 3\left(\overrightarrow{OI}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IJ}\right)=\,\,\,3\overrightarrow{OI}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ} $ .

Suy ra  $ \left|3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}\right|=\left|3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right| $   $ =\left|3\overrightarrow{OI}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ}-\left(\overrightarrow{OI}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ}\right)\right|=\left|2\overrightarrow{OI}\right| $   $ =6\sqrt{2} $ .

Cách 2:

Ta có  $ \overrightarrow{IN}=3\overrightarrow{IM}\Rightarrow 3\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0} $ .

Do đó  $ \left|3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}\right|=\left|3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right|=\left|3\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM}\right)-\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}\right)\right|=\left|2\overrightarrow{OI}\right|=2.OI=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2}. $

Cách 3:

+)  $ \overrightarrow{IM}=\dfrac{IM}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow  \overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&{{x}_{M}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\\ &{{y}_{M}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}\end{align}\right.\Rightarrow {{z}_{0}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}+\dfrac{4\sqrt{2}}{5}i $ .

+)  $ \overrightarrow{IN}=\dfrac{IN}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow  \overrightarrow{IN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow  \left\{\begin{align}&{{x}_{N}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{5}\\ &{{y}_{N}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{5}\end{align}\right.\Rightarrow {{w}_{0}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{5}+\dfrac{12\sqrt{2}}{5}i $ .

Suy ra  $ \left|3{{z}_{0}}-{{w}_{0}}\right|=\left|6\sqrt{2}\right|=6\sqrt{2} $ .

Câu 23. Cho hai số phức  $ z $  và  $ w $  thỏa mãn  $ z+2w=8-6i $  và  $ \left|z-w\right|=4. $  Giá trị lớn nhất của biểu thức  $ \left|z\right|+\left|w\right| $  bằng

A. $ 4\sqrt{6}. $       B.  $ 2\sqrt{26}. $       C.  $ \sqrt{66}. $       D.  $ 3\sqrt{6}. $

Lời giải:

Giả sử  $ M,N $  lần lượt là các điểm biểu diễn cho  $ z $  và  $ w. $  Suy ra  $ \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OI}, $   $ \left|z-w\right|=MN=4 $  và  $ OF=2OI=10. $

Đặt  $ \left|z\right|=ON=\dfrac{a}{2};\left|w\right|=OM=b. $  Dựng hình bình hành  $ OMFE $

Ta có  $ \left\{\begin{align}&\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\dfrac{M{{E}^{2}}}{4}=25\\ &\dfrac{{{b}^{2}}+M{{E}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=16\end{align}\right.\Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=\dfrac{264}{3} $

 $ {{\left(\left|z\right|+\left|w\right|\right)}^{2}}={{\left(\dfrac{a}{2}+b\right)}^{2}}\le\left({{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\right)\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=66 $

Suy ra  $ a+b\le\sqrt{66}, $  dấu “=” xảy ra khi  $ a=b=\dfrac{2\sqrt{66}}{3}. $

Vậy  $ {{\left(a+b\right)}_{\max}}=\sqrt{66}. $

Câu 24. Cho số phức  $ z $  thoả mãn  $ \left|z\right|=1 $ . Gọi  $ M $  và  $ m $  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P=\left|z+1\right|+\left|{{z}^{2}}-z+1\right| $ . Tích  $ M.m $  bằng

A. $ \dfrac{13\sqrt{3}}{4} $ .       B.  $ \dfrac{39}{4} $ .       C.  $ 3\sqrt{3} $ .       D.  $ \dfrac{13}{4} $ .

Lời giải:

Thay  $ {{\left|z\right|}^{2}}=1 $  vào  $ P $  ta có

 $ P=\left|z+1\right|+\left|{{z}^{2}}-z+1\right| $  $ =\left|z+1\right|+\left|{{z}^{2}}-z+{{\left|z\right|}^{2}}\right| $  $ =\left|z+1\right|+\left|{{z}^{2}}-z+z.\overline{z}\right| $  $ =\left|z+1\right|+\left|z\right|\left|z+\overline{z}-1\right| $

 $ =\left|z+1\right|+\left|z+\overline{z}-1\right| $ .

Mặt khác  $ {{\left|z+1\right|}^{2}}=\left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)=2+z+\overline{z} $ .

Đặt  $ t=z+\overline{z} $  do  $ \left|z\right|=1 $  nên điều kiện  $ t\in \left[-2;2\right] $ .

Suy ra  $ P=\sqrt{t+2}+\left|t-1\right| $ .

Xét hàm số  $ f\left(t\right)=\sqrt{t+2}+\left|t-1\right| $  với  $ t\in \left[-2;2\right] $ .

 $ {f}'\left(t\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+2}}+1 $  với  $ t>1 $ . Suy ra  $ {f}'\left(t\right)>0 $  với  $ t>1 $ .

 $ {f}'\left(t\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+2}}-1 $  với  $ t<1 $ . Suy ra  $ {f}'\left(x\right)=0 $   $ \Leftrightarrow  x=\dfrac{-7}{4} $ .

Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra  $ M=\dfrac{13}{4} $  tại  $ t=\dfrac{-7}{4} $  và  $ m=\sqrt{3} $  tại  $ t=2 $ .

Vậy  $ M.m=\dfrac{13\sqrt{3}}{4} $ .

Câu 25. Gọi  $ z=a+bi $   $ \left(a,b\in \mathbb{R}\right) $  là số phức thỏa mãn điều kiện  $ \left|z-1-2i\right|+\left|z+2-3i\right|=\sqrt{10} $  và có mô đun nhỏ nhất. Tổng  $ 7a+b $  bằng

A. 0.       B. 5.       C. 7.       D.  $ -12 $ .

Lời giải:

Gọi  $ M\left(a;b\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ z=a+bi $

 $ A\left(1;2\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ \left(1+2i\right) $

 $ B\left(-2;3\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ \left(-2+3i\right) $ ,  $ AB=\sqrt{10} $

 $ \left|z-1-2i\right|+\left|z+2-3i\right|=\sqrt{10} $  trở thành  $ MA+MB=AB $

 $ \Leftrightarrow  M,A,B $  thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi  $ H $  là điểm chiếu của  $ O $  lên AB, phương trình  $ \left(AB\right):x+3y-7=0 $ ,  $ \left(OH\right):3x-y=0 $

Tọa độ điểm  $ H\left(\dfrac{7}{10};\dfrac{21}{10}\right) $ , Có  $ \overrightarrow{AH}=\left(-\dfrac{3}{10};\dfrac{1}{10}\right) $ ,  $ \overrightarrow{BH}=\left(\dfrac{27}{10};-\dfrac{9}{10}\right) $  và  $ \overrightarrow{BH}=-9\overrightarrow{AH} $

Nên  $ H $  thuộc đoạn  $ AB $

 $ \left|z\right| $  nhỏ nhất  $ \Leftrightarrow  OM $  nhỏ nhất, mà  $ M $  thuộc đoạn AB

 $ \Leftrightarrow  M\equiv H\left(\dfrac{7}{10};\dfrac{21}{10}\right) $

Lúc đó  $ S=7a+b=\dfrac{49}{10}+\dfrac{21}{10}=7 $ .

Câu 26. Xét số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-2-2i\right|=2 $ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P=\left|z-1-i\right|+\left|z-5-2i\right| $  bằng

A. $ 1+\sqrt{10} $ .       B. 4.       C.  $ \sqrt{17} $ .       D. 5.

Lời giải:

Gọi  $ M\left(x;\,\,y\right) $  là điểm biểu diễn số phức  $ z $ . Do  $ \left|z-2-2i\right|=2 $  nên tập hợp điểm  $ M $  là đường tròn  $ \left(C\right):{{\left(x-2\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}=4 $ .

Các điểm  $ A\left(1;1\right) $ ,  $ B\left(5;2\right) $  là điểm biểu diễn các số phức  $ 1+i $  và  $ 5+2i $ . Khi đó,  $ P=MA+MB $ .

Nhận thấy điểm  $ A $  nằm trong đường tròn  $ \left(C\right) $  còn điểm  $ B $  nằm ngoài đường tròn  $ \left(C\right) $ , mà  $ MA+MB\ge AB=\sqrt{17} $ . Đẳng thức xảy ra khi  $ M $  là giao điểm của đoạn  $ AB $  với  $ \left(C\right) $ .

Ta có, phương trình đường thẳng  $ AB:x-4y+3=0 $ .

Tọa độ giao điểm của đường thẳng  $ AB $  và đường tròn  $ \left(C\right) $  là nghiệm của hệ với  $ 1<y<5 $

$\left\{ \begin{align}& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 \\  & x-4y+3=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{\left( 4y-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 \\ & x=4y-3 \\ \end{align} \right.$

Ta có  $ {{\left(4y-5\right)}^{2}}+{{\left(y-2\right)}^{2}}=4\Leftrightarrow  17{{y}^{2}}-44y+25=0\Leftrightarrow  \left[\begin{align}&y=\dfrac{22+\sqrt{59}}{17}\left(N\right)\\ &y=\dfrac{22-\sqrt{59}}{17}\left(L\right)\end{align}\right. $

Vậy  $ minP=\sqrt{17} $  khi  $ z=\dfrac{37+4\sqrt{59}}{17}+\dfrac{22+\sqrt{59}}{17}i $ .
Câu 27. Cho số phức  $ z $  thỏa mãn  $ \left|z-3-4i\right|=\sqrt{5} $ . Gọi  $ M $  và  $ m $  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $ P={{\left|z+2\right|}^{2}}-{{\left|z-i\right|}^{2}} $ . Môđun của số phức  $ w=M+mi $  là

A. $ \left|w\right|=3\sqrt{137} $ .       B.  $ \left|w\right|=\sqrt{1258} $ .       C.  $ \left|w\right|=2\sqrt{309} $ .       D.  $ \left|w\right|=2\sqrt{314} $ .

Lời giải:

- Đặt  $ z=x+yi $ , với  $ x,y\in \mathbb{R} $ .

Ta có:  $ \left|z-3-4i\right|=\sqrt{5} $   $ \Leftrightarrow  \left|\left(x-3\right)+\left(y-4\right)i\right|=\sqrt{5} $  $ \Leftrightarrow  {{\left(x-3\right)}^{2}}+{{\left(y-4\right)}^{2}}=5 $ , hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức  $ z $  là đường tròn  $ \left(C\right) $  có tâm  $ I\left(3;4\right) $ , bán kính  $ r=\sqrt{5} $ .

- Khi đó :  $ P={{\left|z+2\right|}^{2}}-{{\left|z-i\right|}^{2}} $  $ ={{\left(x+2\right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left(y-1\right)}^{2}} $  $ =4x+2y+3 $

 $ \Rightarrow 4x+2y+3-P=0 $ , kí hiệu là đường thẳng  $ \Delta  $ .

- Số phức  $ z $  tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng  $ \Delta  $  cắt đường tròn  $ \left(C\right) $

 $ \Leftrightarrow  d\left(I;\Delta \right)\le r $   $ \Leftrightarrow  \dfrac{\left|23-P\right|}{2\sqrt{5}}\le\sqrt{5} $   $ \Leftrightarrow  \left|P-23\right|\le10 $   $ \Leftrightarrow  13\le P\le33 $

Suy ra  $ M=33 $  và  $ m=13 $   $ \Rightarrow w=33+13i $ .

Vậy  $ \left|w\right|=\sqrt{1258} $ .

 

Ấn đây vào Ôn thi tốt nghiệp THPT 2023 Số phức phần 4

Ấn đây vào Số phức Ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2023 phần 2

Ấn đây vào Bài toán số phức phát triển đề tham khảo môn toán 2023 câu 35 42 45

Nguyễn Quốc Hoàn , 02/3/2023