Số phức Ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2023 phần 2

Câu 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thoả mãn $iz+\left( 1-i \right)\bar{z}=-2i$ bằng

A. 6.        B. $-2$.       C. 2.       D. $-6$.

Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2-i \right)z+3+16i=2\left( \overline{z}+i \right)$. Môđun của $z$ bằng

A. $\sqrt{13}$.       B. 5.       C. $\sqrt{5}$.       D. 13.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi$.

$\left( 2-i \right)z+3+16i=2\left( \overline{z}+i \right)$ $\Leftrightarrow \left( 2-i \right)\left( x+yi \right)+3+16i=2\left( x-yi+i \right)$

$\Leftrightarrow 2x+2yi-xi+y+3+16i=2x-2yi+2i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2x+y+3=2x \\ & 2y-x+16=-2y+2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& y+3=0 \\ & -x+4y=-14 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.$

Suy ra $z=2-3i$. Vậy $\left| z \right|=\sqrt{13}$.

Câu 3. Cho ${z={{\left( 1+i \right)}^{2017}}}$. Khi đó

A. $z~=~-{{2}^{1008~}}-~{{2}^{1008}}~i$.       B. ${z=-{{2}^{1008}}{{i}^{1008}}}$.       C. $z~=~{{2}^{1008}}~+{{2}^{1008}}~i$.       D. ${z={{2}^{1008}}{{i}^{1008}}}$.

Lời giải:

Ta có $z={{\left( 1+i \right)}^{2017}}$ $=\left( 1+i \right){{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1008}}$ $={{\left( 2i \right)}^{1008}}\left( 1+i \right)$ $={{2}^{1008}}{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{504}}\left( 1+i \right)$ ${z={{\left( 1+i \right)}^{2017}}=\left( 1+i \right){{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{1008}}={{\left( 2i \right)}^{1008}}\left( 1+i \right)={{2}^{1008}}{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{504}}\left( 1+i \right)={{2}^{1008}}+{{2}^{1008}}i}$.

Câu 4. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 2z-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$. Mô đun của số phức $z$ bằng

A. $\frac{1}{9}$.       B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.        C. $\frac{2}{9}$.        D. $\frac{1}{3}$

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Do đó $\left( 2z-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( \overline{z}+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$ $\Leftrightarrow \left( 2a+2bi-1 \right)\left( 1+i \right)+\left( a-bi+1 \right)\left( 1-i \right)=2-2i$

$\Leftrightarrow \left( 2a-2b-1 \right)+\left( 2a+2b-1 \right)i+\left( a-b+1 \right)-\left( a+b+1 \right)i=2-2i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left( 2a-2b-1 \right)+\left( a-b+1 \right)=2 \\  & \left( 2a+2b-1 \right)-\left( a+b+1 \right)=-2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3a-3b=2 \\ & a+b=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{1}{3} \\ & b=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.$

Khi đó $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Câu 5. Cho số phức $z$ có phần thực là số nguyên và $z$ thỏa mãn $\left| z \right|-2\overline{z}=-7+3i+z$. Môđun của số phức $w=1-z+{{z}^{2}}$ bằng

A. $\left| w \right|=\sqrt{445}$.       B. $\left| w \right|=\sqrt{425}$.       C. $\left| w \right|=\sqrt{37}$.       D. $\left| w \right|=\sqrt{457}$

Lời giải:

Đặt $z=a+bi\,\,\left( a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{R} \right)$.

Khi đó: $\left| z \right|-2\overline{z}=-7+3i+z\Leftrightarrow $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2a+2bi=-7+3i+a+bi$

$\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-3a+7 \right)+\left( b-3 \right)i=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=3 \\ & a=\frac{5}{4} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}  & b=3 \\ & a=4 \\ \end{align} \right.$ với $a\ge \frac{7}{3}$.

Do $a\in \mathbb{Z}$ nên $a=4\Rightarrow z=4+3i\Rightarrow w=4+21i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{457}$

Câu 6. Số các số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{3}}+2i{{\left| z \right|}^{2}}=0$ là

A. 2.       B. 3.       C. 4.       D. 6.

Lời giải:

${{z}^{3}}+2i{{\left| z \right|}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow {{z}^{3}}+2iz{\bar{z}}=0$ $\Leftrightarrow z\left( {{z}^{2}}+2i\bar{z} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& z=0 \\  & {{z}^{2}}+2i\bar{z}=0\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Gọi $z=x+yi\Rightarrow \bar{z}=x-yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$ thay vào $\left( 2 \right)$ có:

${{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y+2{x}\left( y+1 \right)i=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\ & 2x\left( y+1 \right)=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\ & x=0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\ & y=-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=0 \\ & -{{y}^{2}}+2y=0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& y=-1 \\ & {{x}^{2}}-3=0 \\ \end{align} \right.$. Giải ra có $\left[ \begin{align}  & z=0 \\ & z=2i \\ & z=-\sqrt{3}-i \\  & z=\sqrt{3}-i \\ \end{align} \right.$. Vậy phương trình có 4 nghiệm

Câu 7. Số các số phức $z$ thỏa $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\frac{z-2i}{\overline{z+i}}$ là một số thuần ảo là

A. 0.       B. 1.       C. 2.       D. 3.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$

Theo bài ra ta có $\left| x+1+\left( y-2 \right)i \right|=\left| x+3+\left( 4-y \right)i \right|$

$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=x+5$

Số phức ${w}=\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left( y-2 \right)i}{x+\left( 1-y \right)i}=\frac{{{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)+x\left( 2y-3 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

$w$ là một số ảo khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-\left( y-2 \right)\left( y-1 \right)=0 \\ & {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}>0 \\ & y=x+5 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{12}{7} \\ & y=\frac{23}{7} \\ \end{align} \right.$

Vậy $z=-\frac{12}{7}+\frac{23}{7}i$. Vậy chỉ có 1 số phức $z$ thỏa mãn.

Câu 8. Số các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-(2+i) \right|=\sqrt{10}$ và $z.\overline{z}=25$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Gọi số phức cần tìm là $z=a+bi{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.

Ta có: $z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25{     (1)}$.

Lại có: ${ }\left| z-(2+i) \right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow \left| a-2+(b-1)i \right|=\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}=\sqrt{10}$ $\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=10$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-2b+5=10{     (2)}$

Thay vào ta được: $25-4a-2b+5=10\Leftrightarrow b=-2a+10$.

Nên ${ }{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(-2a+10)}^{2}}=25$

$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-40a+75=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a=5  \\a=3  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}b=0  \\ b=4  \\\end{matrix} \right.$

Vậy có 2 số phức $z$ thoả mãn là $z=5$ và $z=3+4i$.

Câu 9. Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ và $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực. Tổng $a+b$ bằng

A. $-2$.       B. 0.       C. 2.       D. 4.

Lời giải:

Ta có $z=a+bi\,$ $\left( a,\,b\in \mathbb{R} \right)$.

+) $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow -4a+8=0$ $\Leftrightarrow a=2$.

+) $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)=\left( a+bi+2 \right)\left( a-bi-i \right)=\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b+1 \right)i \right]$ $=a\left( a+2 \right)+b\left( b+1 \right)-\left( a+2b+2 \right)i$.

$\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực $\Leftrightarrow a+2b+2=0$.

Thay $a=2$ tìm được $b=-2$. Vậy $a+b=0$.

Câu 10. Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,{ }b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tổng $S=2a+3b$ bằng

A. $-6$.       B. 6.       C. $-5$.       D. 5.

Lời giải:

Ta có $z+1+3i-\left| z \right|i=0$ $\Leftrightarrow \left( a+1 \right)+\left( b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a+1=0 \\  & b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & \sqrt{1+{{b}^{2}}}=b+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.$.

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b\ge -3 \\ & 1+{{b}^{2}}={{\left( b+3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b\ge -3 \\ & b=-\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow b=-\frac{4}{3}$.

Vậy $\left\{ \begin{align}& a=-1 \\ & b=-\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow S=2a+3b=-6$.

Câu 11. Cho số phức $z=a+bi\,\left( a,\,b\in \mathbb{Z} \right)$ thỏa mãn $\left| z+2+5i \right|=5$ và $z.\bar{z}=82$. Giá trị của biểu thức $P=a+b$ bằng

A. 10.       B. $-8$.       C. $-35$.       D. $-7$.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{align}& \sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}}=5 \\  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=\frac{-5b-43}{2}\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $29{{b}^{2}}+430b+1521=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=-9 \\  & b=\frac{-169}{29} \\ \end{align} \right.$

Vì $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=-9\Rightarrow a=1$. Do đó $P=a+b=-8$.

Câu 12. Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left| z-m \right|=6$ và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo. Tổng của các phần tử của tập $S$ bằng

A. 0.       B. 8.       C. 10.       D. 16.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi $z=x+iy$ với $x,y\in \mathbb{R}$ ta có $\frac{z}{z-4}=\frac{x+iy}{x-4+iy}=\frac{\left( x+iy \right)\left( x-4-iy \right)}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ là số thuần ảo khi $x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$

Mà $\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36$

Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36 \\ & {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( 4-2m \right)x=36-{{m}^{2}} \\ & {{y}^{2}}=4-{{\left( x-2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m} \\ & {{y}^{2}}=4-{{\left( \frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$

Ycbt $\Leftrightarrow 4-{{\left( \frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2 \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow 2=\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2$ hoặc $-2=\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}-2$

$\Leftrightarrow m=10$ hoặc $m=-2$ hoặc $m=\pm 6$

Vậy tổng là 10-2+6-6=8.

Câu 13. Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,\,b\in \mathbb{R},\,a>0 \right)$ thỏa $z.\bar{z}-12\left| z \right|+\left( z-\bar{z} \right)=13-10i$. Tổng $S=a+b$ bằng

A. $-17$.       B. 5.       C. 7.       D. 17.

Lời giải:

Ta có:

$z.\bar{z}-12\left| z \right|+\left( z-\bar{z} \right)=13-10i$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-12\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2bi=13-10i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-12\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=13 \\ & 2b=-10 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+25-12\sqrt{{{a}^{2}}+25}=13 \\  & b=-5 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=\pm 12 \\ & b=-5 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=12 \\ & b=-5 \\ \end{align} \right.$, vì $a>0$.

Vậy $S=a+b=7$.

Câu 14. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+3-5i \right|=\sqrt{10}$ và $w=2z\left( 1-3i \right)+9-14i$. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( -33;-14 \right)$.

B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có tâm $I\left( 33;14 \right)$.

C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có tâm $I\left( -33;14 \right)$.

D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $R=10$.

Lời giải:

Ta có $w=2z\left( 1-3i \right)+9-14i\Leftrightarrow w-\left( 9-14i \right)=2\left( 1-3i \right)z\Leftrightarrow z=\frac{w-\left( 9-14i \right)}{2-6i}$.

Khi đó $\left| z+3-5i \right|=\sqrt{10}\Leftrightarrow \left| \frac{w-\left( 9-14i \right)}{2-6i}+3-5i \right|=\sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| w-\left( 9-14i \right)+\left( 3-5i \right)\left( 2-6i \right) \right|}{\left| 2-6i \right|}=\sqrt{10}$ $\Leftrightarrow \left| w-\left( 33+14i \right) \right|=20$

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( 33;14 \right)$, bán kính $R=20$.

Câu 15. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức $z$ là

A. là đường thẳng $3x-y-1=0$.       B. là đường thẳng $3x-y+1=0$.       C. là đường thẳng $3x+y+1=0$.       D. là đường thẳng $3x+y-1=0$.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi\,\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)$.

Ta có $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}$$\Leftrightarrow 3x-y+1=0$.

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn các số phức $z$ là đường thẳng $3x-y+1=0$.

Câu 16. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| 5z \right|=\left| \left( 4+3i \right)z-25 \right|$ là đường thẳng có phương trình:

A. $8x-6y-25=0$.       B. $8x-6y+25=0$.       C. $8x+6y+25=0$.       D. $8x-6y=0$.

Lời giải:

Ta có $\left| 5z \right|=\left| \left( 4+3i \right)z-25 \right|\Leftrightarrow \left| 5z \right|=\left| \left( 4+3i \right)\left( z-4+3i \right) \right|\Leftrightarrow \left| 5z \right|=\left| 4+3i \right|\left| z-4+3i \right|$

$\Leftrightarrow \left| z \right|=\left| z-4+3i \right|$.

Gọi $z=x+yi$ thay vào biến đổi ta được ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8x-6y-25=0$.

Câu 17. Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn hình học của $z$ là một đường tròn có bán kính bằng

A. $2\sqrt{2}$.       B. $\sqrt{2}$.       C. 2.       D. 4.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có biểu diễn hình học là điểm $M\left( x;y \right)$.

Ta có $\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)=\left[ x-\left( y+4 \right)i \right]\left( x+4+yi \right)$.

Phần thực của số phức trên là $x\left( x+4 \right)+y\left( y+4 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y$.

Do đó $\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)$ là số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y=0$.

Khi đó quỹ tích của $M$ là đường tròn tâm $I\left( -2;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}-0}=2\sqrt{2}$.

Câu 18. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left| zi-(2+i) \right|=2$ là đường tròn có phương trình:

A. ${{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=4$.       B. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4$.       C. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=4$.       D. ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=9$

Lời giải:

Gọi $z=x+yi$

Ta có: $\left| zi-(2+i) \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| (x+yi)i-(2+i) \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| xi-y-2-i \right|=2$ $\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=4$

Câu 19. Gọi $(C)$ là tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z}-4 \right|+4\left| z-\overline{z} \right|=8$. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi $(C)$ bằng

A. 24.       B. 16.       C. 8.       D. 4.

Lời giải:

Đặt $z=x+iy,{ }x,y\in \mathbb{R}$. Khi đó, đẳng thức $\left| z+\overline{z}-4 \right|+4\left| z-\overline{z} \right|=8$ $\Leftrightarrow \left| 2x-4 \right|+4\left| 2iy \right|=8$ $\Leftrightarrow 2\left| x-2 \right|+8\left| y \right|=8$ $\Leftrightarrow \left| x-2 \right|+4\left| y \right|=4$

Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng: 2.8 = 16.

Câu 20. Cho số phức $w=\left( 1+i \right)z+2$ với $\left| 1+iz \right|=\left| z-2i \right|$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${w}$ là đường thẳng $\Delta $. Khoảng cách từ điểm $A(1;-2)$ đến $\Delta $ bằng

A. 0.       B. $2\sqrt{2}$.       C. 2.       D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải:

Ta có $w=\left( 1+i \right)z+2\Leftrightarrow z=\frac{{w}-2}{1+i}$, thay vào $\left| 1+iz \right|=\left| z-2i \right|$ ta được:

$\left| 1+i\frac{{w}-2}{1+i} \right|=\left| \frac{{w}-2}{1+i}-2i \right|\Leftrightarrow \left| \frac{i\left( {w}-2 \right)+1+i}{1+i} \right|=\left| \frac{{w}-2-2i-2{{i}^{2}}}{1+i} \right|\Leftrightarrow \left| i\left( {w}-2 \right)+1+i \right|=\left| {w}-2i \right|$

$\Leftrightarrow \left| i\left( {w}-2+\frac{1+i}{i} \right) \right|=\left| {w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| {w}-2+1-i \right|=\left| {w}-2i \right|\Leftrightarrow \left| {w}-1-i \right|=\left| {w}-2i \right|{ }\left( {1} \right)$

Gọi $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, từ $\left( 1 \right)$ ta có $\left| x+yi-1-i \right|=\left| x+yi-2i \right|$.

$\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\left| x+\left( y-2 \right)i \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow x-y+1=0$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng phức là đường thẳng $\Delta :x-y+1=0.$

Khi đó ${d}\left( A,\Delta  \right)=\frac{\left| 1-\left( -2 \right)+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=2\sqrt{2}.$

Câu 21. Gọi $H$ là hình biểu diễn tập hợp các số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, sao cho $\left| 2z-3\overline{z} \right|\le 5$, và số phức $z$ có phần thực không âm. Diện tích hình $H$ bằng

A. $2\pi $.       B. $5\pi $.       C. $\frac{5\pi }{2}$.       D. $\frac{5\pi }{4}$.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R},\,x\ge 0 \right)$.

Ta có $\left| 2\left( x+yi \right)-3\left( x-yi \right) \right|\le 5\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}}\le 5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+25{{y}^{2}}\le 25\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{1}\le 1$.

Xét elip$\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1$, có tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là miền trong của Elip với $x\ge 0$.

Ta có $a=5,\,\,b=1$, nên diện tích hình $H$ là $S=\frac{1}{2}.\pi .a.b=\frac{5\pi }{2}$.

Câu 22. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-1+2i \right|\le 3$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=z\left( 1+i \right)$ trong mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right)$ là hình phẳng $\left( H \right)$ có diện tích bằng

A. $S=9\pi $.       B. $S=9$.       C. $S=18\pi $.       D. $S=18$.

Lời giải:

Ta có $\left| z-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| z\left( 1+i \right)+\left( -1+2i \right)\left( 1+i \right) \right|=3\left| 1+i \right|$ $\Leftrightarrow \left| w-3+i \right|\le 3\sqrt{2}$.

Giả sử $w=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow \left| x-3+\left( y+1 \right)i \right|\le 3\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\le 18$.

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là hình tròn $\left( H \right)$ tâm $I\left( 3\,;\,1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{18}$. Khi đó diện tích hình tròn là $S=\pi {{R}^{2}}=18\pi .$

Câu 23. Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\frac{z-1+i}{\left( z+\overline{z} \right)i+1}$ là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=3z$ là một parabol có đỉnh

A. $I\left( -\frac{3}{2};-\frac{9}{2} \right)$.       B. $I\left( \frac{3}{2};\frac{9}{2} \right)$.       C. $I\left( \frac{3}{4};-\frac{33}{8} \right)$.       D. $I\left( \frac{3}{2};-\frac{9}{2} \right)$.

Lời giải:

Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$,

Khi đó $\frac{z-1+i}{\left( z+\overline{z} \right)i+1}=\frac{(a-1)+(b+1)i}{2ai+1}$

Vì $\frac{z-1+i}{\left( z+\overline{z} \right)i+1}$là số thực nên $\left( \left( a-1 \right)+\left( b+1 \right)i \right)\left( 1-2ai \right)$ là số thực hay $-2a\left( a-1 \right)+\left( b+1 \right)$=0

Suy ra $2{{a}^{2}}-2a-b-1=0\left( * \right)$

Mà $w=3z$, gọi $w=x+yi$, suy ra:$\left\{ \begin{align}& a=\frac{x}{3} \\ & b=\frac{y}{3} \\ \end{align} \right.$,  thay vào biểu thức $\left( * \right)$ ta được $2{{\left( \frac{x}{3} \right)}^{2}}-2\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-1=0$ $\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}{{x}^{2}}-2x-3$

Do đó, tập hợp biểu biễn $w$ là một parabol có đỉnh là $I\left( \frac{3}{2};-\frac{9}{2} \right)$.

Câu 24. Trên tập số phức, xét phương trình $z^2-4(m+1)z+4m^2+2=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_0$ thoả mãn $|z_0|=4$?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Phương trình $z^2-4(m+1)z+4m^2+2=0$ có $\Delta '=4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}-2=8m+2$.

Trường hợp 1: Nếu $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{4}$. Phương trình đã cho có nghiệm $z_0$ thoả mãn $|z_0|=4$, suy ra $z_0=4$ hoặc $z_0=-4$.

Nếu $z_0=4$, suy ra $16-4\left( m+1 \right).4+4{{m}^{2}}+2=0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=\frac{4+\sqrt{14}}{2} \\ & m=\frac{4-\sqrt{14}}{2} \\ \end{align} \right.\,\,(t)$

Nếu $z_0=-4$, suy ra $16+4\left( m+1 \right).4+4{{m}^{2}}+2=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+16m+34=0$.

Trường hợp 2: Nếu $\Delta <0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{4}$, phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}=2\left( m+1 \right)-i\sqrt{-8m-2}$ và ${{z}_{2}}=2\left( m+1 \right)+i\sqrt{-8m-2}$.

Khi đó  $\Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-8m-2=16$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=14$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=\frac{\sqrt{14}}{2}\,\,(l) \\ & m=-\frac{\sqrt{14}}{2}\,\,(t) \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 25. Cho các số thực $b\,,\,c$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}\,;\,{{z}_{2}}\,$ với phần thực là số nguyên và thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+3-2i \right|=1$ và $\left( {{z}_{1}}\,-2i \right)\left( {{z}_{2}}\,+2 \right)$ là số thuần ảo. Khi đó $b+c$ bằng

A. $-1$.       B. 4.       C. 12.       D. $-12$.

Lời giải:

Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực $x\,;\,y\,$ thì

$\left| {{z}_{1}}+3-2i\, \right|=\left| \left( x+3 \right)-2i\, \right|=\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{2}}+4\,}=2>1$ mâu thuẫn với giả thiết.

Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực.

Giả sử ${{z}_{1}}=x+yi\Rightarrow {{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}=x-yi$.

Khi đó $\left| {{z}_{1}}+3-2i\, \right|=1\,\,\Leftrightarrow \,\,{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Lại có $\left( {{z}_{1}}\,-2i \right)\left( {{z}_{2}}\,+2 \right)=\left[ x+\left( y-2 \right)i \right].\left[ \left( x+2 \right)-yi \right]$

$=x.\left( x+2 \right)+y.\left( y-2 \right)+\left[ \left( x+2 \right).\left( y-2 \right)-xy \right].i$ là một số thuần ảo.

Suy ra $x.\left( x+2 \right)+y.\left( y-2 \right)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y=0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.

Giải hệ gồm (1) và (2): $\left\{ \begin{align} & {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1 \\& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y=0\, \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & x=-2 \\  & y=2\, \\ \end{align} \right.$.

$\,\Rightarrow \,\,{{z}_{1}}=-2+2i\,\,;\,\,\,{{z}_{2}}=-2-2i$.

Vì vậy theo Viet ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+\,{{z}_{2}}=-b=\left( -2+2i\, \right)+\left( -2-2i \right)=-4 \\ & {{z}_{1}}.\,{{z}_{2}}=c=\left( -2+2i\, \right).\left( -2-2i \right)=8 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \,\,b+c=4+8=12$.

Câu 26. Gọi ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}},\,{{z}_{3}},\,{{z}_{4}}$ là 4 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{4}}+\left( 4-m \right){{z}^{2}}-4m=0$. Tất cả các giá trị của $m$ để $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|=6$ là

A. $m=-1$.       B. $m=\pm 2$.       C. $m=\pm 3$.       D. $m=\pm 1$.

Lời giải:

Ta có: ${{z}^{4}}+\left( 4-m \right){{z}^{2}}-4m=0$ $\Leftrightarrow \left( {{z}^{2}}+4 \right)\left( {{z}^{2}}-m \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}^{2}}=-4\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{z}^{2}}=m\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$

Ta có: $\left| {{z}^{n}} \right|={{\left| z \right|}^{n}}$.

${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$. Ta có: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\left| -4 \right|}=2$.

${{z}_{3}};{{z}_{4}}$ là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$. Ta có: $\left| {{z}_{3}} \right|=\left| {{z}_{4}} \right|=\sqrt{\left| m \right|}$.

Theo đề ra ta có: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|=6\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| m \right|}+4=6\Leftrightarrow \sqrt{\left| m \right|}=1\Leftrightarrow \left| m \right|=1$.

Kết luận $m=\pm 1$.

Câu 27. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2mz-m+12=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Phương trình đã cho có ${\Delta }'={{m}^{2}}+m-12$.

Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<-4 \\ & m>3 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ phân biệt.

Do đó $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]$

$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-6{{z}_{1}}{{z}_{2}}-2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6\left( -m+12 \right)-2\left| -m+12 \right|=0\ \left( * \right)$

Nếu  hoặc  thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8\left( -m+12 \right)=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-24=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-6 \\  & m=4 \\ \end{align} \right.$.

Nếu $m\ge 12$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( -m+12 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12=0$.

Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12<0\Leftrightarrow -4<m<3$.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp:

$-m+i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$ và $-m-i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$.

Do đó $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)}=2\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$ $\Leftrightarrow -m+12=-{{m}^{2}}-m+12$ $\Leftrightarrow m=0$.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.

Câu 28. Cho các số thực $b,c$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-4+3i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-8-6i \right|=4$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $5b+c=-12.$       B. $5b+c=4.$       C. $5b+c=-4.$       D. $5b+c=12.$

Lời giải:

Vì ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ nên ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$

Khi đó ta có $\left| {{z}_{2}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| \overline{{{z}_{1}}}-8-6i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}-8+6i \right|=4.$

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}.$

$\Rightarrow M$ vừa thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 4;-3 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=1$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm ${{I}_{1}}\left( 8;-6 \right),$ bán kính ${{R}_{1}}=4$ $\Rightarrow m\in \left( {{C}_{1}} \right)\cap \left( {{C}_{2}} \right).$

Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài.

Do đó có duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn, tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+6y+24=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+12y+84=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{24}{5} \\ & y=-\frac{18}{5} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow M\left( \frac{24}{5};-\frac{18}{5} \right)$ $\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{24}{5}-\frac{18}{5}i$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ $\Rightarrow {{z}_{2}}=\frac{24}{5}+\frac{18}{5}i$ cũng là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0.$

Áp dụng định lí Viét ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-b=\frac{48}{5}\Rightarrow b=-\frac{48}{5};{ }{{z}_{1}}.{{z}_{2}}=c=36$

Vậy $5b+c=-48+36=-12.$

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên và $m\in \left[ -2022\,;\,2022 \right]$ để phương trình ${{z}^{2}}-2z+1-3m=0$ có hai nghiệm phức thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$.

A. 2021.       B. 2022.       C. 2023.       D. 4045.

Lời giải:

$\Delta =4-4(1-3m)=12m$

TH1. Nếu $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\ge 0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=1-\sqrt{3m}$ và ${{z}_{2}}=1+\sqrt{3m}$

$\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}=1-\sqrt{3m},\,\,\,\overline{{{z}_{2}}}=1+\sqrt{3m}$

Ta có ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left( 1-\sqrt{3m} \right)}^{2}}={{\left( 1+\sqrt{3m} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=0$

TH2. Nếu $\Delta <0\Leftrightarrow m<0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}=1-i\sqrt{-3m}$ và ${{z}_{2}}=1+i\sqrt{-3m}$

$\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}=1+i\sqrt{-3m},\,\,\,\overline{{{z}_{2}}}=1-i\sqrt{-3m}$

Mà ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow \left( 1-i\sqrt{-3m} \right)\left( 1+i\sqrt{-3m} \right)=\left( 1+i\sqrt{-3m} \right)\left( 1-i\sqrt{-3m} \right)$ $\Leftrightarrow 1-3m=1-3m$

Kết hợp hai TH suy ra $m\le 0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm phức thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$.

Mà $m\in Z,\,m\in \left[ -2022\,;\,2022 \right]$ $\Rightarrow m=\left\{ -2022\,;\,-2021\,;\,...;\,-1\,;\,0 \right\}$.

Vậy có 2023 giá trị $m$ cần tìm.

Câu 30. Biết phương trình ${{z}^{2}}+mz+{{m}^{2}}-2=0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{0}}=i$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để diện tích tam giác $ABC$ bằng 1?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

+) Để phương trình có hai nghiệm phức thì $\Delta =-3{{m}^{2}}+8<0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-\sqrt{\frac{8}{3}} \\ & m>\sqrt{\frac{8}{3}} \\ \end{align} \right.$

+) Ta có $A{{B}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=3{{m}^{2}}-8\Rightarrow AB=\sqrt{3{{m}^{2}}-8}$

Lại có $d\left( C,AB \right)=d\left( O,AB \right)=\left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|=\left| \frac{m}{2} \right|\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}d\left( C,AB \right).AB=\left| \frac{m}{4} \right|.\sqrt{3{{m}^{2}}-8}$

+) ${{S}_{\Delta ABC}}=1\Leftrightarrow \left| \frac{m}{4} \right|.\sqrt{3{{m}^{2}}-8}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 3{{m}^{2}}-8 \right)=16$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=2{   }(TM) \\ & m=-2{ }(TM) \\ \end{align} \right.$

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31. Trên tập hợp các số phức, phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$ ($a$ là tham số thực) có 2 nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$. Gọi $M$, $N$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 giá trị của tham số $a$ để tam giác $OMN$ có một góc bằng $120{}^\circ $. Tổng các giá trị đó bằng

A. 6.       B. $-4$.       C. 4.       D. $-6$.

Lời giải:

Vì $O$, $M$, $N$ không thẳng hàng nên ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo $\Rightarrow $ ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$. Do đó, ta phải có $\Delta ={{a}^{2}}-12a+16<0$ $\Leftrightarrow a\in \left( 6-2\sqrt{5};\,\,6+2\sqrt{5} \right)$.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}=\frac{2-a}{2}-\frac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\ & {{z}_{1}}=\frac{2-a}{2}+\frac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}}{2}i \\ \end{align} \right.$.

$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2a-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{a}^{2}}+12a-16}$.

Tam giác $OMN$ cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ $ $\Rightarrow \frac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=\cos 120{}^\circ $ $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}-8a+10}{2\left( 2a-3 \right)}=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Leftrightarrow a=3\pm \sqrt{2}$.

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của $a$ bằng 6.

Câu 32. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2{z}-m+2=0$ ($m$ là tham số thực). Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học bởi hai điểm $A,B$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{2}$, với $C\left( -1;1 \right)$. Tổng các phần tử trong $T$ bằng

A. 9.       B. 8.       C. 4.       D. $-1$.

Lời giải:

Ta có: ${{z}^{2}}-2{z}-m+2=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=m-1{ }\left( 1 \right)$

TH1. có hai nghiệm phức$\Leftrightarrow $ $m-1<0\Leftrightarrow m<1$.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}=1+\sqrt{1-m}\,i$; ${{z}_{2}}=1-\sqrt{1-m}\,i$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:

$A\left( 1\,;\,-\sqrt{1-m} \right)$; $B\left( 1\,;\,\sqrt{1-m} \right)$.

Ta có: $AB=2\sqrt{1-m}$; $d\left( C;AB \right)=d\left( C;\left( x=1 \right) \right)=2$.

Khi đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=2\sqrt{1-m}=2\sqrt{2}\Rightarrow m=-1.$

TH2. có hai nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow $ $m-1>0\Leftrightarrow m>1$.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}=1+\sqrt{1-m}\,$; ${{z}_{2}}=1-\sqrt{1-m}\,$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:

$A\left( 1\,-\sqrt{1-m};0 \right)$; $B\left( 1\,+\sqrt{1-m};0 \right)$.

Ta có: $AB=2\sqrt{1-m}$; $d\left( C;AB \right)=d\left( C;Ox \right)=1$.

Khi đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=\sqrt{1-m}=2\sqrt{2}\Rightarrow m=9.$ Vậy $T=\left\{ -1;9 \right\}$ nên tổng các phần tử trong $T$ bằng 8.

Câu 33. Biết rằng phương trình ${{z}^{2}}+2az+b=0$ $(a,b$ là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức $w=2,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$. Khi ba điểm $A,B,C$ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 9, giá trị của biểu thức $T=b-4a$ bằng

A. 6.       B. $-8$.       C. 9.       D. 14.

Lời giải:

Do phương trình ${{z}^{2}}+2az+b=0$ $(a,b$ là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ nên từ giả thiết ta gọi tọa độ các điểm biểu diễn cho các số phức $w=2,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ là $A(2;0);\,B(x;y);\,C(x;-y)$ với $x\ne 2,y\ne 0$

$\overrightarrow{AB}=(x-2;y);\,\overrightarrow{AC}=(x-2;-y)$. Do $A$ thuộc $Ox$, $B,C$ đối xứng qua $Ox$

Nên theo giả thiết suy ra $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow {{(x-2)}^{2}}-{{y}^{2}}=0\,\,\,\,(1)$

Mặt khác ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC$ $\Leftrightarrow 9=\frac{1}{2}\left[ {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]$

Từ và suy ra $\left[ \begin{align}& x=5\Rightarrow y=\pm 3 \\ & x=-1\Rightarrow y=\pm 3 \\ \end{align} \right.$

Với $x=5,y=\pm 3$ ta tìm được ${{z}_{1}}=5+3i;\,{{z}_{2}}=5-3i$.

Với $x=-1,y=\pm 3$ ta tìm được ${{z}_{1}}=-1+3i;\,{{z}_{2}}=-1-3i$ suy ra $a=1;\,b=10\Rightarrow T=6$

Câu 34. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}-3m+5=0$ ($m$ là tham số thực). Hỏi tổng các giá trị của $m$ để phương trình trên có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn ${{\left| \overline{{{z}_{0}}} \right|}^{3}}-12=5\left| {{z}_{0}} \right|$?

A. 8.        B. 9.       C. 10.       D. 11.

Lời giải:

Ta có ${{\left| \overline{{{z}_{0}}} \right|}^{3}}-12=5\left| {{z}_{0}} \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{3}}-5\left| {{z}_{0}} \right|-12=0\Leftrightarrow \left( \left| {{z}_{0}} \right|-3 \right)\left( {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+3\left| {{z}_{0}} \right|+4 \right)=0\Leftrightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=3$

Đặt phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}-3m+5=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=5m-4$

TH1: xét ${\Delta }'\ge 0\Rightarrow 5m-4\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{4}{5}$ khi đó ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}.$ Ta có $\left| {{z}_{0}} \right|=3$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=3 \\ & {{z}_{0}}=-3 \\ \end{align} \right.$ 

Với ${{z}_{0}}=3$ thay vào $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ ${{m}^{2}}-9m+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\ & m=8 \\ \end{align} \right.$

Với ${{z}_{0}}=-3$ thay vào $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow$ ${{m}^{2}}+3m+20=0$ $\Rightarrow $pt vô nghiệm.

TH2: xét ${\Delta }'<0\Rightarrow 5m-4<0\Leftrightarrow m<\frac{4}{5}$.

Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}={{z}_{0}}$ và ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{0}}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=3$ $\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=9$ $\Leftrightarrow {{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=9$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=9$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+5=9$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-1 \\ & m=4 \\ \end{align} \right.$.

Với $m=-1$ thay vào $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ ${{z}^{2}}+9=0\Leftrightarrow z=\pm 3i$ thỏa mãn

Với $m=4$ không thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Vậy có 3 giá trị $\left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=8 \\  & m=-1 \\ \end{align} \right.$

Nên tổng các giá trị của tham số $m$ là 8.

Câu 35. Cho $S$ là tập hợp các số nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( m-3 \right)z+{{m}^{2}}+m=0$ có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Số tập con của S là

A. 16.       B. 8.       C. 4.       D. 1.

Lời giải:

Ta có $\Delta =-3{{m}^{2}}-10m+9$.

+) TH1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{m-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$, khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-3 \right|=\left| \sqrt{\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}=\Delta $ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=-1 \\ \end{align} \right.$.

+) TH2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{m-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$, khi đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-3 \right|=\left| i\sqrt{-\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( m-3 \right)}^{2}}=-\Delta $ $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+16m-18=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=-9 \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 4 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó số tập con của $S$ là 16.

Câu 36. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Cách 1: Ta có ${\Delta }'=m+1$.

Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.

Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=7 \\ & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right.$.

Từ đó suy ra $\left[ \begin{align}& {{7}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)7+4{{m}^{2}}-5m=0 \\ & {{\left( -13 \right)}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)\left( -13 \right)+4{{m}^{2}}-5m=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4{{m}^{2}}-33m+63=0 \\ & 4{{m}^{2}}-47m+143=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3{    }\left( tm \right) \\ & m=\frac{21}{4}{ }\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$.

Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là ${{z}_{0}}$ và ${{\bar{z}}_{0}}$ và thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$

$\Leftrightarrow \left( {{z}_{0}}+3 \right)\left( {{{\bar{z}}}_{0}}+3 \right)=100\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{0}}+{{{\bar{z}}}_{0}} \right)+9=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+3.2\left( 2m-1 \right)-91=0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{7+\sqrt{1601}}{8}{ }\left( tm \right) \\ & m=-\frac{7-\sqrt{1601}}{8}{ }\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Ta có ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0\Leftrightarrow {{\left( z-2m+1 \right)}^{2}}=m+1{ }\left( 1 \right)$.

Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=2m-1+\sqrt{m+1} \\ & z=2m-1-\sqrt{m+1} \\ \end{align} \right.$.

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.

Do đó $\left[ \begin{align}& \left| 2m+2+\sqrt{m+1} \right|=10 \\ & \left| 2m+2-\sqrt{m+1} \right|=10 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=3{    }\left( tm \right) \\ & m=\frac{21}{4}{ }\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$.

Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=2m-1+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\ & z=2m-1-i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\ \end{align} \right.$.

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.

Do đó $\left| 2m+2+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \right|=10\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-m-1=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{7+\sqrt{1601}}{8}{ }\left( tm \right) \\ & m=-\frac{7-\sqrt{1601}}{8}{ }\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37. Trong tập các số phức, cho phưong trình $z^{2}-6 z+m=0, m \in \mathbb{R}(1)$. Gọi $m_{0}$ là một giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} \cdot \overline{z_{1}}=z_{2} \cdot \overline{z_{2}}$. Hỏi trong khoảng $(0 ; 20)$ có bao nhiêu giá trị $m_{0} \in \mathbb{N} ?$

A. 10.       B. 11.       C. 12.       D. 13.

Lời giải:

$z^{2}-6 z+m=0, m \in \mathbb{R}(1)$.  $\Delta '=9-m$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$

+ Khi $\Delta '>0\Leftrightarrow 9-m>0\Leftrightarrow m<9$ khi đó phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}=3-\sqrt{9-m},\ {{z}_{2}}=3+\sqrt{9-m}\ ,\left( {{z}_{1}}\ne {{z}_{2}} \right)$.

Ta có ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{1}}},{{z}_{2}}=\overline{{{z}_{2}}}$ $\Rightarrow {{z}_{1}}\cdot \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\cdot \overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 6=0$ không có giá trị của $m$

+ Khi $\Delta '<0\Leftrightarrow 9-m<0\Leftrightarrow m>9$ khi đó phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}=3-i\sqrt{m-9},\ {{z}_{2}}=3+i\sqrt{m-9}$.

${{z}_{1}}\cdot \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\cdot \overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ luôn thỏa mãn $m>9$.

Do $\left\{ \begin{align} & m\in (0;20) \\ & m\in \mathbb{N} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow m\in \left\{ 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 \right\}$. Vậy có 10 giá trị của $m$.

Câu 38. Cho hai số phức ${w}$ và hai số thực ${a,}\ {b}{.}$ Biết ${{{z}}_{1}}={w}-2-3i$ và ${{z}_{2}}=2w-5$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0.$ Tổng $T=\left| z_{1}^{2} \right|+\left| z_{2}^{2} \right|$ bằng

A. $4\sqrt{13}.$        B. 5.        C. 10.        D. 25.

Lời giải:

Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a\ \ \left( 1 \right) \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=b\ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\ \end{align} \right..$

Theo giả thiết ta có $2{{{z}}_{1}}-{{z}_{2}}=1-6i\ \left( 3 \right).$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}=\frac{1-a}{3}-2i \\  & {{z}_{2}}=-\frac{1+2a}{3}+2i \\ \end{align} \right..$

Thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $\left( \frac{1-a}{3}-2i \right)\left( -\frac{1+2{a}}{3}+2i \right)=b\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( 1+2{a} \right)}{9}+4+\frac{4+2{a}}{3}i=b.$

Vì $a,\ b\in \mathbb{R}$ nên $\left\{ \begin{align}& \frac{\left( a-1 \right)\left( 1+2a \right)}{9}+4=b \\& \frac{4+2a}{3}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=-2 \\ & b=5 \\ \end{align} \right..$

Khi đó ${{z}_{1}}=1-2i,\ {{z}_{2}}=1+2i$ $\Rightarrow T=\left| z_{1}^{2} \right|+\left| z_{2}^{2} \right|=10.$

Câu 39. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|$?

A. 3.       B. 4.       C. 5.       D. 6.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-6m+5$ và $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|$

$\Leftrightarrow \left| z_{1}^{2}-2\left( m+1 \right){{z}_{1}}+8m-4+2{{z}_{1}}+4 \right|=\left| z_{2}^{2}-2\left( m+1 \right){{z}_{2}}+8m-4+2{{z}_{2}}+4 \right|$

$\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}+4 \right|=\left| 2{{z}_{2}}+4 \right|$ $\left( 1 \right)$

* Xét ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>5 \\ & m<1 \\ \end{align} \right.$. Khi đó PT có 2 nghiệm thực phân biệt

Nên $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow 2{{z}_{1}}+4=-\left( 2{{z}_{2}}+4 \right)\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)=-4\Leftrightarrow m=-3$

* Xét ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 1<m<5$. Khi đó PT có 2 nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ liên hợp của nhau

Nên $2{{z}_{1}}+1,\,\,2{{z}_{2}}+1$ cũng là hai số phức liên hợp của nhau. Suy ra $\left| 2{{z}_{1}}+1 \right|=\left| 2{{z}_{2}}+1 \right|$ luôn thỏa

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.

Câu 40. Số các giá trị thực của tham số $m$ để trên tập số phức phương trình ${{z}^{2}}+2(m+2)z+{{m}^{2}}+1=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có: $\Delta =4{{(m+2)}^{2}}-4({{m}^{2}}+1)=16m+12$

TH1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow 16m+12\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{3}{4}$

Phương trình có hai nghiệm thực, đồng thời $\frac{c}{a}={{m}^{2}}+1>0$ nên hai nghiệm này cùng dấu

Khi đó $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4 \\  & -{{z}_{1}}-{{z}_{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4 \\  & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -2(m+2)=4 \\  & -2(m+2)=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-4\left( ktm \right) \\ & m=0\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow 16m+12<0\Leftrightarrow m<-\frac{3}{4}$, pthương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp

Ta có: ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}+1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+1}$

$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+1}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\sqrt{3}\left( tm \right) \\ & m=\sqrt{3}\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$

Vậy có hai giá trị thực của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 41. Trên tập hợp số phức cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$, với $b,c\in \mathbb{R}$. Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng ${{z}_{1}}=w+3$ và ${{z}_{2}}=3w-8i+13$ với $w$ là một số phức. Tổng $b+c$ bằng

A. 9.        B. 10.        C. 11.        D. 12.

Lời giải:

Gọi $w=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$

${{z}_{1}}=w+3=x+yi+3=x+3+yi$

${{z}_{2}}=3w-8i+13=3(x+yi)-8i+13=3x+13+\left( 3y-8 \right)i$

${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp nên: $\left\{ \begin{align}& x+3=3x+13 \\ & y=-\left( 3y-8 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-5 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.$

Khi đó ${{z}_{1}}=-2+2i$, ${{z}_{2}}=-2-2i$

Ta có $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4 \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=8 \\ \end{align} \right.$

Suy ra ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình: ${{z}^{2}}+4z+8=0$

Vậy $b+c=4+8=12$.

Câu 42. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}^{2}+\left( 1-4m \right){{z}_{0}}+4{{m}^{2}}-5m-3 \right|=10$?

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Cách 1: Ta có ${\Delta }'=m+1$.

Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.

Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{z}_{0}}=7 \\ & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right.$.

Từ đó suy ra $\left[ \begin{align} & {{7}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)7+4{{m}^{2}}-5m=0 \\ & {{\left( -13 \right)}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)\left( -13 \right)+4{{m}^{2}}-5m=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4{{m}^{2}}-33m+63=0 \\ & 4{{m}^{2}}-47m+143=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=3{    }\left( tm \right) \\ & m=\frac{21}{4}{ }\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$.

Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là ${{z}_{0}}$ và ${{\bar{z}}_{0}}$ và thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$

$\Leftrightarrow \left( {{z}_{0}}+3 \right)\left( {{{\bar{z}}}_{0}}+3 \right)=100\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{0}}+{{{\bar{z}}}_{0}} \right)+9=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+3.2\left( 2m-1 \right)-91=0$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{7+\sqrt{1601}}{8}{ }\left( tm \right) \\ & m=-\frac{7-\sqrt{1601}}{8}{ }\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Ta có ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0\Leftrightarrow {{\left( z-2m+1 \right)}^{2}}=m+1{ }\left( 1 \right)$.

Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& z=2m-1+\sqrt{m+1} \\ & z=2m-1-\sqrt{m+1} \\  \end{align} \right.$.

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.

Do đó $\left[ \begin{align}& \left| 2m+2+\sqrt{m+1} \right|=10 \\ & \left| 2m+2-\sqrt{m+1} \right|=10 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=3{    }\left( tm \right) \\ & m=\frac{21}{4}{ }\left( tm \right) \\ \end{align} \right.$.

Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$

Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& z=2m-1+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\ & z=2m-1-i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\ \end{align} \right.$.

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.

Do đó $\left| 2m+2+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \right|=10\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-m-1=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{7+\sqrt{1601}}{8}{ }\left( tm \right) \\ & m=-\frac{7-\sqrt{1601}}{8}{ }\left( ktm \right) \\ \end{align} \right.$.

Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 43. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+3m+10=0$ ($m$là tham số thực). Số các giá trị nguyên của $m$để phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ không phải số thực thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\le 8$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-3m-10$.

Phương trình không có nghiệm thực khi ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-10<0\Leftrightarrow -2<m<5\,(1)$.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}=m+\sqrt{-{{m}^{2}}+3m+10}.i,\,\,{{z}_{2}}=m-\sqrt{-{{m}^{2}}+3m+10}.i$

Vậy $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\le 8\Leftrightarrow 2\sqrt{3m+10}\le 8\Leftrightarrow \sqrt{3m+10}\le 4$ $\Leftrightarrow 3m+10\le 16\Leftrightarrow m\le 2$.

Kết hợp với điều kiện ta có $-2<m\le 2$. Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Câu 44. Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m-4 \right)z+{{m}^{2}}-4m+1=0$, $m$ là tham số thực. Số các giá trị $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa điều kiện $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|$ là

A. 0.       B. 1.       C. 2.        D. 3.

Lời giải:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt trong đó ${{z}_{1}}$ là nghiệm có phần ảo âm là: ${\Delta }'={{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+1 \right)<0\Leftrightarrow -4m+15<0\Leftrightarrow m>\frac{15}{4}$.

Khi đó: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=2\left( m-4 \right)-2\left( {{m}^{2}}-4m+1 \right)=-2{{m}^{2}}+10m-10$

Và ${{z}_{1}}=-{b}'-i\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}=m-4-i\sqrt{\left| -4m+15 \right|}$

Ta có: $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\Leftrightarrow \left| -2{{m}^{2}}+10m-10 \right|={{\left( m-4 \right)}^{2}}+\left( 4m-15 \right)$

$\Leftrightarrow \left| -2{{m}^{2}}+10m-10 \right|={{m}^{2}}-4m+1$

Vì $m>\frac{15}{4}$ nên ${{m}^{2}}-4m+1>0$, do đó $(*)\Rightarrow \left[ \begin{align}& -2{{m}^{2}}+10m-10={{m}^{2}}-4m+1 \\ & -2{{m}^{2}}+10m-10=-{{m}^{2}}+4m-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3{{m}^{2}}-14m+11=0 \\ & {{m}^{2}}-6m+9=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1,m=\frac{11}{3} \\ & m=3 \\ \end{align} \right.$

Đối chiếu điều kiện $m>\frac{15}{4}$ suy ra không có giá trị nào của $m$ thỏa điều kiện bài toán.

Câu 45. Trên tập các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-mz+m+8=0$ ($m$ là tham số thực). Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ phân biệt thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ là

A. 5.        B. 6.        C. 11.         D. 12.

Lời giải:

Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4m-32$

TH1: Xét $\Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-32>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>8 \\ & m<-4 \\ \end{align} \right.$ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta có $z_{1}^{2}=m{{z}_{1}}-m-8$ suy ra $z_{1}^{2}+m{{z}_{2}}=m\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)-m-8={{m}^{2}}-m-8$ do đó $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$.

Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}=0$ thì $m+8=0\Rightarrow m=-8$ không thỏa mãn.

Khi đó $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-m-8>0 \\  & \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-m-8>0 \\ & {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m-8>0 \\ & m=0 \\ \end{align} \right.$ hệ vô nghiệm.

TH2: Xét $\Delta <0\Leftrightarrow -4<m<8$ khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$, ta có $\left| {{z}_{1}}\left( z_{1}^{2}+m{{z}_{2}} \right) \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{m}^{2}}-m-8 \right|\left| {{z}_{1}} \right|=\left( {{m}^{2}}-m-8 \right)\left| {{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-8\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\ge \frac{1+\sqrt{33}}{2} \\ & m\le \frac{1-\sqrt{33}}{2} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\ge \frac{1+\sqrt{33}}{2} \\ & m\le \frac{1-\sqrt{33}}{2} \\ \end{align} \right.$. Kết hợp điều kiện ta được $m\in \left\{ -3;\,4;\,5;\,6;\,7 \right\}$.

Vậy có tất cả là 5 số nguyên cần tìm.

Câu 46. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ ($m$ là tham số thực). Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ là

A. 3.        B. 4.        C. 5.        D. 6.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$

Trường hợp 1: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<2 \\  & m>6 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:

$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$

Trường hợp 2: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.

Khi đó các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ liên hợp nhau nên luôn thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

Vậy ta có các giá trị nguyên của $m$ là 0, 3, 4, 5.

Câu 47. Cho phương trình ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$ có hai nghiệm phức. Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, tổng $P=c+2d$ bằng

A. 18.       B. $-10$.       C. $-14$.        D. 22.

Lời giải:

Ta có: ${{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0$có hai nghiệm phức $\Leftrightarrow $ ${\Delta }'=4-\frac{c}{d}<0$.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức ${{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}\,i$; ${{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}\,i$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:

$A\left( 2\,;\,\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$; $B\left( 2\,;\,-\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|} \right)$.

Ta có: $AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}$; $OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}$.

Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }'} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }'} \right|}\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }'} \right|=4+\left| {{\Delta }'} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {{\Delta }'} \right|=\frac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }'=-\frac{4}{3}$ hay $4-\frac{c}{d}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{c}{d}=\frac{16}{3}$.

Từ đó ta có $c=16$; $d=3$.

Vậy: $P=c+2d=22$.

Câu 48. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ với phần ảo khác 0 thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}.$

A. 1.        B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Ta có $\Delta =3-4\left( {{a}^{2}}-2a \right)=3-4{{a}^{2}}+8a$.

Phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức khi và chỉ khi

$\Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-8a-3>0\quad \left( * \right).$

Khi đó phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp của nhau và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|.$

Ta có

${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right|$.

Theo giả thiết có ${{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{a}^{2}}-2a=3 \\ & {{a}^{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-1 \\  & a=3 \\ \end{align} \right.$

Các giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$. Vậy có 1 giá trị dương $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 49. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$ là tham số thực). Số các giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=7$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1$.

+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=7\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 7$.

Thế ${{z}_{0}}=7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}-14m+35=0\Leftrightarrow m=7\pm \sqrt{14}$.

Thế ${{z}_{0}}=-7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}+14m+63=0$, phương trình này vô nghiệm.

+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}={{7}^{2}}$ hay $m=7$ hoặc $m=-7$.

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=7\pm \sqrt{14}$ và $m=-7$.

Câu 50. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$là tham số thực). Số các giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=5$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'=2m+1$.

$\centerdot \,\,\,$TH1: ${\Delta }'=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$ thì ${{z}_{0}}=\frac{1}{2}$, suy ra $m=-\frac{1}{2}$.

$\centerdot \,\,\,$TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$ thì ${{z}_{0}}=m+1+\sqrt{\left| 2m+1 \right|}.i$ hoặc ${{z}_{0}}=m+1-\sqrt{\left| 2m+1 \right|}.i$.

Theo đề bài $\left| {{z}_{0}} \right|=5\Rightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}+\left( -2m-1 \right)=25\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=5\,\,\,\,\,\left( L \right) \\ & m=-5\,\,\left( N \right) \\ \end{align} \right.$.

$\centerdot \,\,\,$TH 3: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

Theo đề bài $\left| {{z}_{0}} \right|=5\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 5$.

+ Khi ${{z}_{0}}=5:$ thế vào phương trình ta được ${{m}^{2}}-10m+15=0\Leftrightarrow m=5\pm \sqrt{10}$.

+ Khi ${{z}_{0}}=-5$: thế vào phương trình ta được ${{m}^{2}}+10m+35=0$ vô nghiệm.

Vậy có ba giá trị của $m$.

Câu 51. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+4az+{{b}^{2}}+2=0,$ ($a,\,\,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;\,b\, \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i?$

A. 1.       B. 2.        C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\ & {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2\, \\ \end{align} \right.$.

Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn

${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i=0$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i \right)\left( {{z}_{2}}+2i{{z}_{1}}-3-3i \right)=0$

$\Leftrightarrow -3{{z}_{1}}{{z}_{2}}-\left( 1+2i \right)\left( 3+3i \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+18i+2i\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)=0$ $\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=0$

$\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ 16{{a}^{2}}-2\left( {{b}^{2}}+2 \right) \right]=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)-12a=0 \\  & 36a+18+32{{a}^{2}}-4\left( {{b}^{2}}+2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{b}^{2}}+2=-4a \\  & 36a+18+32{{a}^{2}}+16a=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{b}^{2}}+2=-4a \\ & 32{{a}^{2}}+52a+18=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-\frac{1}{2};b=0 \\  & a=-\frac{9}{8};{{b}^{2}}=\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-\frac{1}{2};b=0 \\ & a=-\frac{9}{8};b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2} \\ \end{align} \right..$

Vậy có 3 cặp số thực $\left( a;\,b\, \right)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 52. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2az+{{b}^{2}}+2=0$ ($a,{ }b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},{ }{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$?

A. 1.       B. 2.       C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có ${{z}_{1}},{ }{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình, khi đó $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$

Khi đó $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i \\ & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left( 1-2i \right){{z}_{2}}=2a-3-31 \\ & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{z}_{2}}=\frac{2a-3-3i}{1-2i} \\ & {{z}_{1}}=\frac{3+\left( 3-4a \right)i}{1-21} \\ \end{align} \right.$

Thay vào ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2$ ta có

$\frac{2a-3-3i}{1-2i}.\frac{3+\left( 3-4a \right)i}{1-2i}={{b}^{2}}+2$

$\Leftrightarrow -6a+\left( 18a-8{{a}^{2}}-18 \right)i=\left( {{b}^{2}}+2 \right)\left( -3-4i \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -6a=-3\left( {{b}^{2}}+2 \right) \\ & 18a-8{{a}^{2}}-18=-4\left( {{b}^{2}}+2 \right) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2a={{b}^{2}}+2 \\ & 4{{a}^{2}}-9a+9=4a \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{9}{4} \\  & b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2} \\ \end{align} \right.$

Vậy có 3 cặp số thực $\left( a;b \right)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 53. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2az+{{b}^{2}}+2=0$  ($a,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$?

A. 1.        B. 2.        C. 3.         D. 4.

Lời giải:

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2a  \\ {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2  \\\end{matrix} \right.\text{ }\left( 1 \right)$.

TH1: ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các số thực. Khi đó ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{z}_{1}}=3  \\  {{z}_{2}}=\frac{3}{2}  \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{9}{2}  \\ {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{9}{2}  \\ \end{matrix} \right.\text{  }\left( 2 \right)$.

Từ và suy ra $\left\{ \begin{matrix} -2a=\frac{9}{2}  \\{{b}^{2}}+2=\frac{9}{2}  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=-\frac{9}{4}  \\ {{b}^{2}}=\frac{5}{2}  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=-\frac{9}{4}  \\ b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}  \\ \end{matrix} \right.$.

Suy ra trường hợp này có 2 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn đề bài.

TH2: ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các số phức. Khi đó ${{z}_{2}}={{\bar{z}}_{1}}$. Gọi ${{z}_{1}}=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{z}_{2}}=x-yi$.

Ta có ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i\Leftrightarrow \left( x+yi \right)+2i\left( x-yi \right)=3+3i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+2y=3  \\2x+y=3  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=1  \\  y=1  \\\end{matrix} \right.$.

Khi đó ${{z}_{1}}=1+i,{{z}_{2}}=1-i\text{ }\left( 3 \right)$.

Từ và suy ra $\left\{ \begin{matrix}-2a=2  \\{{b}^{2}}+2=2  \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}  a=-1  \\  b=0  \\\end{matrix} \right.$.

Suy ra trường hợp này có 1 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn đề bài.

Vậy có tất cả 3 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 54. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+4az+{{b}^{2}}+2=0,$ ($a,\,\,b$ là các tham số thực). Số các cặp số thực $\left( a;\,b\, \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ là

A. 1.       B. 2.       C. 3.        D. 4.

Lời giải:

Theo định lý Viét, ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4a \\ & {{z}_{1}}{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2\, \\ \end{align} \right.$.

Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn

${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i=0$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}-3-3i \right)\left( {{z}_{2}}+2i{{z}_{1}}-3-3i \right)=0$

$\Leftrightarrow -3{{z}_{1}}{{z}_{2}}-\left( 1+2i \right)\left( 3+3i \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+18i+2i\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \right)=0$ $\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]=0$ $\Leftrightarrow -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)+\left( 3-9i \right)\left( -4a \right)+18i+2i\left[ 16{{a}^{2}}-2\left( {{b}^{2}}+2 \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -3\left( {{b}^{2}}+2 \right)-12a=0 \\  & 36a+18+32{{a}^{2}}-4\left( {{b}^{2}}+2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{b}^{2}}+2=-4a \\ & 36a+18+32{{a}^{2}}+16a=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{b}^{2}}+2=-4a \\  & 32{{a}^{2}}+52a+18=0 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=-\frac{1}{2};b=0 \\ & a=-\frac{9}{8};{{b}^{2}}=\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-\frac{1}{2};b=0 \\ & a=-\frac{9}{8};b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2} \\ \end{align} \right..$

Vậy có 3 cặp số thực $\left( a;\,b\, \right)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 55. Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-4az+{{b}^{2}}+2=0$($a$, $b$ là các tham số thực). Số các cặp số thực $(a;\ b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ là

A. 3.        B. 2.        C. 1.        D. 4.

Lời giải:

TH1: Nếu ${{z}_{1}}$ là số thực thì ${{z}_{2}}$ cũng là số thực.

Khi đó từ ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ suy ra $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}=3 \\ & {{z}_{2}}=3/2 \\ \end{align} \right.$

Áp dụng viet ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$. Thay vào được $\left\{ \begin{align}& 4a=9/2 \\ & {{b}^{2}}+2=9/2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=9/8 \\ & {{b}^{2}}=5/2 \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán

TH2: Nếu ${{z}_{1}}$ không là số thực, thì ${{z}_{2}}$ là số phức liên hợp của ${{z}_{1}}$

Giả sử ${{z}_{1}}=m+in\ (m,\ n\in \mathbb{R})$ thay vào ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ ta được $m+in+2i(m-in)=3+3i$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m=1 \\ & n=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy có ${{z}_{1}}=1+i$; ${{z}_{2}}=1-i$.

Với $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$ ta có $\left\{ \begin{align} & 4a=2 \\ & {{b}^{2}}+2=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1/2 \\ & {{b}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1/2 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$

Vậy có một cặp $(a;\ b)$

Kết luận: có 3 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 56. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$ ($m$ là tham số thực). Số các giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=6$ là

A. 4.        B. 3.        C. 2.        D. 1.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-{{m}^{2}}=2m+1$.

+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=6\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 6$.

* Thay ${{z}_{0}}=6$ vào phương trình ta được $36-12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-12m+24=0\Leftrightarrow m=6\pm 2\sqrt{3}$.

* Thay ${{z}_{0}}=-6$ vào phương trình ta được

$36+12\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+12m+48=0$.

+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}^{2}}={{6}^{2}}$ hay $m=6$ hoặc $m=-6$.

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=6\pm 2\sqrt{3}$ và $m=-6$.

Câu 57. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0$. Số các giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{o}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{o}} \right|=8$ là

A. 1.        B. 2.        C. 3.       D. 4.

Lời giải:

Ta có $\Delta =8m+4$.

Trường hợp 1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có 2 nghiệm thực $\Rightarrow {{z}_{o}}$ là nghiệm thực $\left| {{z}_{o}} \right|=8$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{o}}=8 \\ & {{z}_{o}}=-8 \\ \end{align} \right.$ thay vào phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}-16m+48=0 \\ & {{m}^{2}}+16m+80=0(VN) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=12 \\ \end{align} \right.\left( T/M \right)$

Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$ suy ra phương trình sẽ có 2 nghiệm phức, vì ${{z}_{o}}$ là nghiệm nên suy ra $\overline{{{z}_{o}}}$ cũng là nghiệm

$\left| {{z}_{o}} \right|=8\Rightarrow {{\left| {{z}_{o}} \right|}^{2}}=64$ $\Leftrightarrow {{z}_{o}}.\overline{{{z}_{o}}}=64$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}=64$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=8 \\ & m=-8 \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp điều kiện nên ta nhận $m=-8$.

Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn.

Xem thêm:  Bài toán số phức phát triển đề tham khảo môn toán 2023 câu 35 42 45

Số phức ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán năm 2023 phần 3

Ôn thi tốt nghiệp THPT 2023 Số phức phần 4

Nguyễn Quốc Hoàn , 9/3/2023